Fondamenti di Fisica:

 
 
 
Fondamenti di Fisica
di Domenico Azarnia Tehran
 
Riassunto del manuale per affrontare l'esame di fisica, che tratta
esaustivamente i capisaldi della materia: la fisica viene descritta nelle sue
componenti di statica, dinamica e cinematica; ampio spazio anche alla
termodinamica.
 
Università: Università degli Studi di Roma La Sapienza
Facoltà: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso: Scienze Biologiche
Esame: Fisica
Titolo del libro: Fondamenti di fisica
Autore del libro: David Halliday
Editore: CEA
Anno pubblicazione: 20061. Le misure della fisica: lunghezza tempo e massa
La fisica è basata sulla misurazione. Nelle grandezze implicate nelle leggi della fisica troviamo: la
lunghezza, il tempo, la massa, la temperatura, la pressione e la resistenza elettrica (grandezze fondamentali).
La misura di ogni grandezza fisica viene espressa nella sua unità mediante raffronto con un campione di
quell'unità.  Nel 1971 la 14esima Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure ha selezionato sette
grandezze come grandezze fondamentali, che quindi costituiscono la base del Sistema Internazionale di
unità (SI). In quest'ultimo molte grandezze sono anche derivate (cioè, derivano dalla combinazione delle
grandezza fondamentali) come: 1 watt = 1 W = 1 Kg xm2/m3. Per esprimere numeri molto grandi o molto
piccoli, inoltre, nella fisica si usa la cosiddetta nozione scientifica, che utilizza le potenze di 10 (es:
1,27x109 watt = 1,27 gigawatt = 1,27 GW).  
1.1. LA LUNGHEZZA 
Per misurare la lunghezza è necessario un metro campione. Nel corso del tempo questo metro campione è
variato per rendere la misura sempre più precisa: 
1799: il metro è la 10-7esima  parte della distanza tra il polo Nord e l'equatore; 
1960: un metro è la distanza tra due linee sottili incise vicino all'estremità di una sbarra di platino; 
1963: un metro è uguale a 1650763,73 volte la lunghezza d'onda della luce rosso-arancione emessa dal
cripton-86 (un isotopo particolare, 86Kr); 
1983 ad oggi: il metro è la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in un intervallo di tempo pari a
1/(299792458) secondi (questo numero fu scelto in modo tale che la velocità c della luce potesse essere
esattamente c=299792458). 
1.2 IL TEMPO 
Ciò che si misura molto spesso in fisica, non è il tempo ma piuttosto un intervallo di tempo. Anche nel caso
del tempo nel corso degli anni abbiamo avuto diverse definizioni che si sono avvalse di diversi oggetti,
come: il pendolo (l'errore è circa 1 s per anno), la rotazione della terra (l'errore è di circa 1 ms ogni giorno);
un orologio al quarzo (l'errore è di circa 1 s ogni 10 anni); un secondo è il tempo necessario alla luce (di una
specifica lunghezza d'onda) emessa da un atomo di cesio-133 per effettuare 9162631770 oscillazioni (errore
di circa 1 s ogni 300000 anni!) 
1.3 LA MASSA 
Il campione del Sistema Internazionale di massa è un cilindro di platino-iridio conservato a Parigi, al quale è
stato assegnato per convenzione internazionale la massa i 1 Kg. Comunque le masse degli atomi si possono
confrontare fra di loro con molta maggior precisione di quanto non si possano confrontare con il
chilogrammo campione. Per questa ragione è stato definito un secondo campione per l'unità di misura della
massa. É l'atomo del carbonio-12 (12C) al quale, per accordo internazionale, è stato attribuito la massa di 12
unità di massa atomica (u). Il rapporto fra le due unità è: 1u = 1,6605402 x 10-27 Kg. 
 
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Fondamenti di Fisica 2. Definizione di vettore
Un vettore è un ente individuato da un intensità, o modulo, da una direzione, cioè da una linea retta lungo la
quale agisce, e da un verso, cioè uno dei due sensi possibili lungo la retta. Quindi una grandezza vettoriale è
una grandezza che si può rappresentare con un vettore (spostamento, forza, velocità, accelerazione etc.).
Però non tutte le grandezze fisiche implicano una direzione, per questo esistono anche grandezze scalari
(massa, temperatura, energia, tempo, etc.).   
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Fondamenti di Fisica 3. Somma di vettori: metodo grafico
Supponiamo che una particella si muova da A a B e, in seguito, da B a C. Possiamo rappresentare il suo
spostamento globale con due successivi vettori spostamento AB e BC. L'effetto complessivo di questi due
spostamenti è un solo spostamento da A a C. Chiamiamo dunque AC la somma (o risultante) dei vettori AB
e BC.  
AC = AB + BC             S = a + b 
Se definiamo in questo modo la somma tra due vettori, possiamo attribuirle due proprietà molto importanti: 
1.La proprietà commutativa, infatti l'ordine degli addendi non è rilevante, ossia sommando a e b si ottiene lo
stesso risultato che sommando b e c (a+b = b+c); 
2.La proprietà associativa, infatti non è rilevante, se ci sono più di due vettori, il modo in cui li
raggruppiamo quando li sommiamo ( (a+b)+c = a+(b+c)). 
Il vettore -b è un vettore con lo stesso modulo e direzione di b, ma orientato in verso opposto. Infatti se
proviamo a sommare i due vettori b e -b otterremo 0 (b+(-b) = 0). Grazie a questa proprietà possiamo
definire la differenza tra due vettori. Se d = a-b allora: 
d = a-b = a+(-b)
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Fondamenti di Fisica 4. I vettori e le loro componenti
Se il vettore è collocato in un sistema di coordinate ortogonali (x e y) si definisce componente di un vettore
la sua posizione su uno dei due assi. Ad esempio ax è la componente del vettore a sull'asse x (o lungo l'asse
x), mentre ay è la componente lungo l'asse y. Per trovare le proiezioni di un vettore lungo un asse si traccia
la perpendicolare da uno dei due estremi del vettore all'asse. Questa proiezione è detta componente x se
proiettata sull'asse x e viceversa. Per trovare le componenti: 
ax = acos           ay =  asin 
dove  è l'angolo formato dal vettore a con l'asse delle x e a è il modulo del vettore stesso. Una volta che il
vettore è stato scomposto nelle sue componenti, le componenti stesse si possono usare al posto del vettore e
calcolare: 
a =  ax2 + ay2    e    tan = ay/ax
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Fondamenti di Fisica 5. I vettori unitari
Un vettore unitario, detto anche versore, è un vettore di lunghezza unitaria (cioè modulo uguale a 1). Il suo
scopo è quello di indicare una direzione e nel sistema di coordinate ortogonali di solito si usano i simboli i, j
e k per indicare i versori tracciati rispettivamente nelle direzioni degli assi x, y e z con verso positivo. I
versori sono molto utili per descrivere altri vettori. Per esempio possiamo descrivere il vettore a
(dell'esempio) come: a = axi + ayj. Le quantità axi e ayj sono le componenti vettoriali di a, da non
confondere con ax e ay che sono le componenti scalari. Di conseguenza nelle tre dimensioni:  
dx = ax-bx;      dy = ay-by;         dz = az-bz    quindi    d = dxi+dyj+dzk
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Fondamenti di Fisica 6. Prodotto di vettori
In generale, ci sono tre modalità per la moltiplicazione con i vettori: 
Prodotto di un vettore per uno scalare: se moltiplichiamo un vettore a per uno scalare s otteniamo un nuovo
vettore. Il suo modulo è il prodotto del modulo di a per il valore assoluto di s. La sua direzione è la stessa
direzione di a, tranne se s è negativo (direzione opposta). Volendo dividere a per s moltiplichiamo a per 1/s; 
(Esistono due modi per calcolare e moltiplicare un vettore per un vettore): il prodotto scalare dei vettori a e b
si scrive a . b, si pronuncia “a scalare b” è definito dall'espressione:  
a . b = abcos 
dove a è il modulo del vettore a, b il modulo del vettore b e  è l'angolo compreso fra i due vettori. Notiamo
che tutti i termini della precedente equazione, a destra dell'uguale, sono scalari, e quindi il prodotto della
moltiplicazione della parte sinistra è uno scalare. N.B. Se =0° (o 180°) allora cos=1, la componente di un
vettore lungo l'altro assume il massimo valore, e così pure fa il prodotto scalare, che diventa uguale al
prodotto dei due moduli. Se =90° (o 270°) allora cos=0, la componente sarà uguale a 0 e il prodotto scalare
quindi nullo. Quando per calcolare il prodotto scalare usiamo i versori avremo: a . b = (axi+ayj+azk) .
(bxi+byj+bzk) => (axbx+ayby+azbz); 
Il prodotto vettoriale di a e b, che si pronuncia “a vettore b”, e si scrive axb è un vettore c il cui modulo è
dato dall'equazione: c = absin, in cui , diversamente dal prodotto scalare, è il minore dei due angoli che si
vengono a formare tra i due vettori. Se le direzioni di a e b sono parallele, axb=0 e sono, invece
perpendicolari quando sin=1. La direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b e si determina
con la cosiddetta “regola della mano destra”. Se usiamo i versori avremo: axb = (aybz-byaz)i+(azbx-
bzax)j+(axby+bxay)k.
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Fondamenti di Fisica 7. Cinematica: il moto rettilineo
In questa parte della fisica chiamata cinematica bisogna esaminare il moto, limitandolo sempre a tre
condizioni fondamentali: 
1.il moto sia esclusivamente rettilineo, ossia segue una linea retta; 
2.le forze devono essere le cause del moto; 
3.l'oggetto in movimento può essere una particella oppure un oggetto che si muove come una particella
(tutte le sue parti si devono muovere solidamente nella stessa direzione e nella stessa velocità
contemporaneamente). 
Per localizzare un oggetto spesso si prende in considerazione l'origine (o il punto zero) di un asse come
quello delle x. Il verso positivo dell'asse è nella direzione dei numeri crescenti. La direzione opposta, invece,
è il verso negativo. Il cambiamento di posizione da un punto x1 a x2 è detto spostamento: x=x2-x1. Lo
spostamento quindi come si può vedere, dipende solo dalla posizione iniziale e quella finale. Esso, inoltre, è
un esempio di grandezza vettoriale, cioè una grandezza che è caratterizzata da una direzione, da un verso e
da un modulo.  
Un altro modo per descrivere la posizione di un oggetto consiste nel tracciare un grafico della sua posizione
x in base al tempo t: ossia, la curva x(t). In questo caso possiamo calcolarci quella che è la velocità vettoriale
media che è il rapporto fra lo spostamento x che si verifica in un intervallo di tempo t, e l'intervallo stesso:  
v=x/t=x2-x1/t2-t1 
Nella curva x(t), la velocità vettoriale media, indica la pendenza della retta che unisce i punti x1(t1) e x2(t2),
ed è inoltre anch'essa una grandezza vettoriale definita da un modulo e da una direzione. La velocità scalare
media, invece, considera la lunghezza totale effettivamente percorsa (m), indipendentemente dalla direzione: 
u=lunghezza totale del percorso/t 
Questa velocità però non include il verso e quindi manca di segno algebrico. Se invece vogliamo conoscere
la velocità di una particella in un istante dato, dobbiamo avvalerci della velocità vettoriale istantanea, che si
ottiene dalla velocità vettoriale media restringendo l'intervallo di tempo t, in modo che si avvicini sempre di
più allo 0: 
v=limt->0 x/t=dx/dt 
Quando la velocità di una particella varia si dice che la particella è sottoposta ad un'accelerazione. Per il
moto lungo un asse, l'accelerazione media a, durante un intervallo di tempo t, è: 
a=v2-v1/t2-t1=v/t 
L'accelerazione istantanea è, invece, la derivata della velocità rispetto al tempo: 
a=dv/dt 
Queste due equazioni possono essere combinate per definire che l'accelerazione di una particella in un certo
istante è la derivata seconda della sua posizione x(t) rispetto al tempo: 
a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/d2t    (m/s2) 
Anche l'accelerazione è una grandezza vettoriale. Dobbiamo dire però, che l'equazioni descritte sin ora
riguardano e sono applicabili solo quando l'accelerazione non è costante. Nel caso lo fosse dobbiamo
apportare alcune modificazioni. La distinzione fra accelerazione media e istantanea non perde di significato
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Fondamenti di Fisica e possiamo scrivere: a=a=v-v0/t-0. Dove v0 è la velocità al tempo t=0 e v è la velocità nell'istante generico
successivo t. Possiamo trasformare quest'ultima equazione in: 
v=v0+at 
In modo analogo possiamo trasformare anche la velocità vettoriale media che diventerà: v=x-x0/t-0 e quindi
x=x0+vt. Quindi la velocità media sarà v=1/2(v0+v) sostituendo si ottiene: v=v0+1/2at. Infine sostituendo a
v la precedente equazione avremo: 
x-x0=v0t+1/2at2  
Le due equazioni principali (messe al centro) si possono ulteriormente combinare tra di loro in tre modi
diversi, ricavando tre equazioni aggiuntive, ciascuna delle quali implica una diversa “variabile mancante”.
Così per eliminare t:  
v2=v02+2a(x-x0) 
Questa equazione è utile se non conosciamo t e non ci viene chiesto di calcolarlo. Nel caso di a
avremo:                                                     
x-x0=1/2(v0+v)t 
Nel caso di v0:                                           
x-x0 = vt-1/2at2 
 
 
EQUAZIONE           GRANDEZZA MANCANTE 
v = v0+at                        x-x0 
x-x0 = v0t+1/2at2           v 
v2 = v02+2a(x-x0)          t 
 x-x0 = 1/2(v0+v)t          a 
x-x0 = v0t+1/2at2           v0 
 
Le prime due equazioni di questa tabella sono l'equazioni fondamentali da cui sono derivate tutte le altre.
Queste due equazioni si possono ottenere integrando l'espressione dell'accelerazione per a=costante. Come
sappiamo la definizione di a (vedi accelerazione istantanea) è: dv=adt  se operiamo l'integrale indefinito di
entrambi i termini otterremo  dv=adt  dato che l'accelerazione è costante, si può portare fuori dall'integrale,
ottenendo  dv=adt, ossia: 
v = at+c 
Per valutare la costante c poniamo t=0 e quindi v=v0. Sostituendo questi valori nell'equazione
x=v0t+1/2at2+c risulta v0=(a)(0)+c=c. Con questa sostituzione l'equazione x=v0t+1/2at2 prende la stessa
forma dell'equazione v=v0+at. Per ottenere l'altra equazione fondamentale x-v0=v0t+1/2at2 riscriviamo la
definizione di velocità: dx=vdt  e calcolando l'integrale indefinito di entrambi i membri, si ottiene dx=vdt.
Normalmente la velocità non è costante, per cui non possiamo portarla fuori dall'integrale. Ma possiamo
sostituire v con l'espressione v=v0+at  dx=(v0+at)dt. Dato che v0 è una costante, come l'accelerazione,
possiamo scrivere: dx=v0dt+atdt  a questo punto l'integrazione ci darà l'equazione da noi cercata: 
x=v0t+1/2at2+c' dove c' è la costante di integrazione 
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Fondamenti di Fisica Se lanciando un oggetto verso l'alto o verso il basso, si potesse riuscire ad eliminare l'effetto dell'aria sul suo
moto, si troverebbe che la sua accelerazione verso il basso ha un particolare valore ben definito, il cui
modulo viene indicato con il simbolo g, ed è chiamato accelerazione di gravità o di caduta libera.
L'accelerazione g è indipendente dalle caratteristiche dell'oggetto, quali la massa, la densità, la forma ect. Il
valore di g varia leggermente con la latitudine e anche con la quota. A livello di latitudini medie il valore è
di 9,8 m/s2. L'equazioni del moto uniformemente accelerato si applicano alla caduta libera vicino alla
superficie della Terra. L'accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre vale a=-g=-9,8 m/s2,
e il modulo dell'accelerazione è g=9,8 m/s2. Non bisogna attribuire a g il valore -9,8 m/s2.  
 
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Fondamenti di Fisica 8. Il moto in due e tre dimensioni
POSIZIONE E SPOSTAMENTO 
Un modo usuale di localizzare un oggetto assimilabile ad una particella è per mezzo del vettore posizione r,
un vettore che si estende da un punto di riferimento (di solito l'origine del sistema di coordinate) al punto in
cui si trova l'oggetto. Secondo la notazione dei vettori unitari, possiamo
scrivere:                                                           
r=xi+yj+zk 
in cui xi, yj e zk sono i vettori componenti di r, e i coefficienti x,y e z sono le sue componenti scalari.
Inoltre, quest'ultimo forniscono la posizione dell'oggetto rispetto all'origine lungo i tre assi. Per esempio:
r=(-3m)i+(2m)j+(5m)k. Quando un corpo si muove il suo vettore posizione cambia in modo da puntare
sempre dall'origine verso le diverse posizioni da questo occupate. Se è individuato dal vettore posizione r1
al tempo t1 e r2 al tempo t2 il suo vettore spostamento r durante l'intervallo del tempo
vale:                                  r=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k 
 
VELOCITA' VETTORIALE MEDIA E ISTANTANEA 
Se una particella subisce uno spostamento r in un intervallo di tempo t, la sua velocità vettoriale media v è:
velocità vettoriale media=vettore spostamento/intervallo di tempo ossia: 
v=r/t 
Scrivendo questa equazione in termini di componenti vettoriali avremo: 
v=xi+yj+zk/t=xi/t+yj/t+zk/t 
Quando parliamo di velocità solitamente intendiamo velocità istantanea v in un dato istante. Questa v è il
valore limite a cui tende v al tendere a zero dell'intervallo di tempo a quell'istante. Nel linguaggio dell'analisi
matematica possiamo scrivere v come una derivata: v=dr/dt. Usando i versori:
v=d/dt(xi+xy+zk)=dxì/dt+dyj/dt+dzk/dt, che si può semplificare scrivendo: 
v=vxi+vyj+vzk 
 
 
ACCELERAZIONE MEDIA E ACCELERAZIONE ISTANTANEA 
Quando la velocità di una particella cambia da v1 a v2 in un intervallo t, la sua accelerazione media a
durante tale intervallo è: a=variazione di velocità/intervallo di tempo, ossia: 
a=v2-v1/t=v/t 
Se riduciamo a zero t, si tende all'accelerazione istantanea a nell'istante t: a=dv/dt. Utilizzano la nozione dei
versori: a=d/dt(vxi+vyj+vzk)=dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt, che possiamo riscrivere come: 
a=axi+ayj+azk 
nella quale le tre componenti scalari del vettore accelerazione sono date da ax=dvx/dt, ay=dvy/dt e
az=dvz/dt. 
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Fondamenti di Fisica 9. Il moto dei proiettili
Consideriamo ora una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocità iniziale v0 e
accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso. Alla particella in queste condizioni viene dato il
nome di proiettile. Il proiettile nella figura è lanciato ad una velocità v0 che si può
esprimere:                                           v0=v0xi+v0yj 
Conoscendo l'angolo 0 fra v0 e il verso positivo dell'asse delle x, si possono ricavare le componenti v0x e
v0y:                                         v0x=v0cos0       e       v0y=v0sen0 
Durante il suo moto in due dimensioni il vettore posizione r e il vettore velocità v del proiettile cambiano
continuamente, ma il suo vettore accelerazione è costante e sempre diretto verso il basso. Il proiettile,
inoltre, possiede accelerazione orizzontale nulla. Quindi affermando che nel moto del proiettile, il moto
orizzontale e quello verticale sono indipendenti l'uno dall'altro, possiamo scindere questo problema di moto
a due dimensioni in due distinti e più semplici problemi unidimensionali, uno di moto orizzontale (con
accelerazione nulla) e l'altro di moto verticale (con accelerazione costante diretta verso il basso). 
ANALISI DEL MOTO DEI PROIETTILI 
Dal momento che l'accelerazione in direzione orizzontale è nulla, la componente orizzontale vx della
velocità rimane invariata e pari a v0x durante tutto il moto. Lo spostamento orizzontale x-x0 dalla posizione
iniziale x0 è determinato, come abbiamo già visto, in ogni istante t dall'equazione: x-x0=v0t+1/2at2, nella
quale poniamo a=0  x-x0=v0xt e sostituendo v0x con v0cos0: 
x-x0=(v0cos0)t 
Il moto verticale invece è quello che abbiamo esaminato per una particella in caduta libera. Siccome a vale -
g e la variabile spaziale è y possiamo sostituire l'equazione x-x0=v0t+1/2at2 in: 
y-y0=vgt-1/2gt2=(v0sen0)t-1/2gt2 
E di conseguenza le altre equazioni diventeranno: 
v=v0+at    vy=v0sen0-gt 
v2=v02+2a(x-x0)       vy2=(v0sen0)2-2g(y-y0) 
Ora possiamo inoltre trovare l'equazione del percorso del proiettile (la traettoria) sostituendo nell'equazione
y-y0=vgt-1/2gt2=(v0sen0)t-1/2gt2 alla variabile t la sua espressione ricavata dall'equazione x-x0=(v0cos0)t
ed avremo: 
y=(tan0)x-[(gx2)/2(v0cos0)2)] 
Questa ultima equazione risulta sotto forma di y=ax+bx2, con a e b costanti. Si tratta dell'equazione di una
parabola e quindi il percorso è parabolico. La gittata R del proiettile, invece, è la distanza orizzontale
coperta dal proiettile all'istante in cui ripassa alla quota di partenza (quota di lancio). Per ricavarla poniamo
x-x0=R nell'equazione x-x0=(v0cos0)t e y-y0=0 nell'equazione y-y0=(v0sen0)t-1/2gt2 e avremo:
R=(v0cos0)t  e  0=(v0sen0)t-1/2gt2. Eliminando t fra queste due equazioni otteniamo: R=(2v02/g)sen0cos0.
Applicando l'identità sen(20)=2sen0cos0 si ottiene:                                                 R=(v02/g)sen(20) 
Si noti che la gittata orizzontale R è massima quando l'alzo (angolo di lancio) è di 45° (R nell'equazione
precedente ha valore massimo per sen(20)=1, che corrisponde a 20=90° ovvero 0=45°). N.B. In tutti questi
casi abbiamo ammesso che l'aria nella quale il proiettile si muove non abbia alcun effetto sul suo
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Fondamenti di Fisica movimento, ipotesi ragionevole a basse velocità, ma per alte velocità l'aria si oppone al moto.  
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Fondamenti di Fisica 10. Il moto circolare uniforme
Una particella si definisce in moto circolare uniforme se si muove su una circonferenza o su un arco di
questo a velocità di modulo costante (uniforme). Al procedere del moto entrambi i vettori (vettori velocità e
accelerazione) restano costanti in modulo, ma le loro direzioni variano continuamente. La velocità è sempre
diretta lungo la tangente al cerchio nello stesso verso del moto. L'accelerazione, invece, è sempre diretta
radialmente verso il centro. Per questo motivo l'accelerazione associata al moto circolare uniforme è detta
accelerazione centripeta (ossia “che tende al centro). Il modulo di questa accelerazione è dato
da:                        
a=v2 (velocità scalare della particella)/r (raggio della circonferenza) 
Inoltre durante questo moto a velocità scalare costante la particella percorre una circonferenza (di lunghezza
2r) nel tempo t data da:               
T=2r/v 
 
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