Determinazione dell'energia potenziale

Se consideriamo un copro assimilabile ad una particella, che fa parte di un sistema sul quale agisce una forza conservativa F, quando la forza compie il lavoro L la variazione di energia potenziale ΔU associata al sistema vale l'opposto del lavoro svolto. L'equazione ΔU=-L ha messo in rilievo questo fatto. Nel caso più generale in cui la forza varia durante il percorso l'espressione del lavoro è:
L=∫xixfF(x)dx
Questa espressione fornisce il lavoro svolto dalla forza su una particella che si muove dal punto xi al punto xf variando la configurazione del sistema. Utilizzando quest'ultima equazione si trova la variazione di energia potenziale subita dal sistema, che è:
ΔU= -∫xixfF(x)dx
Sapendo questo consideriamo ora una particella di massa m che si muove verticalmente lungo l'asse y (orientato positivamente verso l'alto). Se la particella si sposta dal punto yi al punto yf, subisce il lavoro svolto dalla forza gravitazionale. Per trovare la variazione di energia potenziale indotta dal sistema particella-Terra cambiamo gli estremi di integrazione nell'equazione ΔU=-∫xixfF(x)dx per adattarli all'asse y e sostituiamo F con -mg, cioè il modulo della forza di gravità diretta verso il basso. Si ottiene:
ΔU= -∫yiyf(-mg)dy=mg∫yiyfdy=mg[y]yiyf
che dà:  ΔU=mg(yf-yi)=mgΔy
Per semplificare i calcoli è possibile associare un valore U di energia potenziale gravitazionale a una certa configurazione del sistema, in cui la particella si trova in una determinata posizione y. Per fare ciò riscriviamo l'equazione precedente come:
U-Ui=mg(y-yi)
Poi assegniamo a Ui il valore di energia potenziale gravitazionale di riferimento del sistema quando si trova nella configurazione di riferimento, con la particella nella posizione di riferimento yi. Normalmente poniamo Ui=0 e yi=0. Con questi cambiamenti l'equazione ΔU=mg(yf-yi)=mgΔy diventa:                                                          U(y)=mgy
Ora consideriamo, invece, il sistema blocco-molla, con il blocco ancorato ad un estremità della molla di costante elastica k. Durante lo spostamento del blocco dalla posizione xi alla posizione xf la forza di richiamo della molla F=-kx compie lavoro sul blocco. Per trovare la corrispondente variazione di energia potenziale elastica del sistema blocco-molla, sostituiamo -kx a F(x) nell'equazione ΔU=-∫xixfF(x)dx ottenendo:
ΔU= -∫xixf(-kx)dx=k∫xixfxdx=1/2k[x2]xixf
e quindi:  ΔU=1/2kxf2-1/2kxi2
Per associare un'energia potenziale U a una data configurazione di riferimento del sistema che vede il blocco in posizione x, scegliamo la posizione di riferimento per il blocco x1=0, che si fa coincidere sempre con la posizione di riposo della molla, e poniamo la corrispondente energia potenziale elastica del sistema Ui=0. L'equazione ΔU=1/2kxf2-1/2kxi2 pertanto diventa:
U-0=1/2kx2-0
da cui si ottiene:   U(x)=1/2kx2