Urti elastici in una dimensione

Tutti gli urti più comuni sono prevalentemente anelastici, ma possiamo approssimare alcuni urti come se fossero elastici, urti nei quali pressoché tutta l'energia cinetica si conserva senza quindi trasformarsi in altre forme di energia. In un urto elastico dunque:
(energia cinetica totale iniziale) = (energia cinetica totale finale)
Questo vuol dire che in un urto elastico l'energia cinetica di ciascun corpo coinvolto può variare, ma l'energia cinetica totale rimane costante. Prendiamo in considerazione due corpi di massa diversa prima e dopo un urto unidimensionale, per esempio una boccia che colpisce fortemente il boccino. Il corpo proiettile di massa m1 e velocità iniziale v1,i colpisce il bersaglio di massa m2 inizialmente a riposo (v2,i=0). Assumiamo che il sistema dei due corpi sia chiuso e isolato. Applicando quindi all'urto i principi della conservazione della quantità di moto (sistema chiuso e isolato) e dell'energia cinetica (urto elastico) di trova:
m1v1,i = m1v1,f+m2v2,f  (quantità di moto)
e    1/2m1v1,i2 = 1/2m1v1,f2+1/2m2v2,f2 (energia cinetica)
ove gli indici “i” e “f” indicano rispettivamente le velocità iniziali e finali. Se sono note le masse dei due corpi e la velocità iniziale del corpo 1, siamo in grado, disponendo di due equazioni, di ricavare le velocità finali v1,f e v2,f dei due corpi. A questo scopo, trasformiamo le due equazioni precedenti nelle due seguenti:
m1(v1,i-v1,f) = m2v2,f
e    m1(v1,i-v1,f)(v1,i+v1,f) = m2v2,f2
Dividendo l'ultima equazione per la penultima, con qualche ulteriore passaggio, otteniamo:
v1,f = [(m1-m2)/(m1+m2)]v1,i
e    v2,f = [(2m1)/(m1+m2)]vf,1
Da quest'ultima equazione risulta che v2,f è sempre positivo, ossia il bersaglio di massa m2 si muove sempre in avanti. Ma dalla penultima equazione si vede che la velocità finale v1,f del primo corpo può essere positiva o negativa: il proiettile, di massa m1, prosegue se m1>m2, ma rimbalza de m1<m2. Esaminiamo ora alcune situazioni particolari:
Masse uguali. Se m1=m2, le ultime due equazioni illustrate in precedenza si riducono a:
v1,f = 0   e   v2,f = v1,i
che potremmo chiamare regola del giocatore di bocce. Da essa risulta che in un urto frontale fra due corpi di uguale massa, il corpo 1 (il proiettile, inizialmente in moto) si arresta nel punto dell'urto, mentre il corpo 2 (il bersaglio, inizialmente fermo) si allontana con la velocità iniziale del corpo 1.
Bersaglio massiccio. Il bersaglio è massiccio se m2>>m1. Potremmo per esempio sparare una pallina da golf contro una palla di cannone. In questo caso le stesse equazioni si riducono a :
            v1,f = -v1,i   e   v2,f = (2m1/m2)v1,i
Da queste ultime equazioni risulta che il corpo 1 (la pallina da golf) rimbalza semplicemente all'indietro nella direzione di provenienza a velocità invariata, mentre il corpo 2 (la palla di cannone) si muove lentamente in avanti, perché la quantità fra parentesi nell'equazione precedente è molto inferiore all'unità.
Proiettile massiccio. Questo è il caso opposto: m1>>m2. Questa volta spariamo una palla di cannone contro una pallina da golf. Le stesse equazioni si riducono a:
  v1,f = v1,i    e    v2,f = 2v1,i
Da quest'ultima equazione risulta che il corpo 1 (la palla di cannone) prosegue praticamente indisturbata nel suo moto in avanti, mentre il corpo 2 (la pallina da golf) scatta in avanti a velocità doppia di quella della palla di cannone.
Dopo aver esaminato l'urto elastico di un proiettile contro un bersaglio fermo, passiamo a esaminare il caso di un urto elastico fra due corpi in moto. In questo caso, il principio di conservazione della quantità di moto ha questa espressione:
m1v1,i+m2v2,i = m1v1,f+m2v2,f
mentre per la conservazione dell'energia cinetica si scriverà:
1/2m1v1,i2+1/2m2v2,i2 = 1/2m1v1,f2+1/2m2v2,f2
Per risolvere rispetto a v1,f e v2,f questo sistema di due equazioni, trasformiamo m1v1,i+m2v2,i = m1v1,f+m2v2,f in questo modo:
 m1(v1,i-v1,f) = -m2(v2,i-v2,f)
e la 1/2m1v1,i2+1/2m2v2,i2 = 1/2m1v1,f2+1/2m2v2,f2 così:
m1(v1,i-v1,f)(v1,i+v1,f) = -m2(v2,1-v2,f)(v2,i+v2,f)
Dividendo l'ultima equazione per la penultima con qualche altro passaggio troviamo:
v1,f = [(m1-m2)/(m1+m2)]v1,i+[(2m2)(m1+m2)]v2,i
v2,f = [(2m1)/(m1+m2)]v1,i+[(m2-m1)(m1+m2)]v2,i