Saggio marginale di sostituzione e utilità marginale

y = f(x)
SMSx,y = dy / dx = f^I(x)
--> dy = f^I(x) . dx

A rappresenta il SMS.
Il SMS (Saggio Marginale di Sostituzione) è il rapporto tra le quantità della merci che in variazione assicurano al soggetto di rimanere allo stesso livello di soddisfazione.
Conoscendo il SMS si può individuare qual è la variazione di y che assicura al soggetto la stessa soddisfazione in x.

Funzione di utilità

U = U (x;y)
La funzione di utilità dipende da x e da y.

Questa è la rappresentazione matematica della superficie che sta sopra le curve di indifferenza:

dU = (δU/δx)dx + (δU/δy)dy

Indica la variazione di soddisfazione per il soggetto nel caso in cui x e y varino:

SMSx,y --> U (x;y) = cost.            cioè dU = 0

Il SMS richiede che il livello di utilità rimanga costante, allora dU deve essere uguale a 0:

0 = (δU/δx)dx + (δU/δy)dy

Questo indica che le due variazioni di x e di y, moltiplicate per le utilità marginali, si devono compensare tra loro.

Se si divide per dx:

0 = (δU/δx) + (δU/δx)* (dy/dx) =
(dy/dx) = - (δU/δx)/(δU/δx) = SMSx,y

(dy/dx) --> variazioni di x e y che si compensano a vicenda

(δU/δx)/(δU/δdx) : rapporto delle utilità marginali

Se si utilizza la rappresentazione a due variabili il SMS corrisponde al rapporto delle utilità marginali.
Il SMS è un rapporto di scambio interno per il soggetto; il rapporto delle utilità marginali e quello che si potrebbe rilevare se le utilità fossero misurabili.
Se le utilità non sono misurabili possiamo limitarci a considerare il SMS.
Se invece le utilità marginali ci fossero, il loro rapporto sarebbe uguale al SMS.

Osservazioni che illustrano le proprietà

- Una trasformazione monotematica della funzione di utilità non modifica il risultato del problema, ovvero il paniere ottimale prescelto.
Eventuali modificazioni della forma della funzione di utilità non modificano il risultato, se queste funzioni però rispetto le regole delle preferenze.
- La scelta del paniere ottimale non dipende dal livello nominale del reddito e dei due prezzi.
- La soluzione del problema può essere estesa dal caso in cui sono due le merci consumabili a n dimensioni, basta semplicemente estendere una funzione di utilità e aggiungere le variabili.