Lo spazio delle caratteristiche e lo spazio dei beni nella teoria di Lancaster

La differenza tra l’approccio neoclassico e quello di Lancaster consiste nel fatto che ora si definiscono due spazi: lo spazio delle caratteristiche, in cui è espressa la funzione U, e lo spazio dei beni, in cui è espresso il vincolo di bilancio. Per poter risolvere la massimizzazione, è necessario trasformare il primo spazio nel secondo o viceversa. Tale risultato può essere raggiunto con delle sostituzioni:

z = By    y = A-1x    (si esprimono le caratteristiche in relazione ai beni che un individuo consuma)
x = Ay     z = BA-1x

la funzione di utilità quindi diventa:
U(z) = U(By) = U(BA-1x) = U(Tx) = u(x)

e dipende dalla matrice BA-1 = T che rappresenta la tecnologia del consumo, cioè le modalità con cui ogni bene può soddisfare un certo insieme di caratteristiche e con cui ogni caratteristica può essere ottenuta da un particolare paniere di beni, secondo determinate proporzioni. Si immagina che ogni attività si concretizza nel consumo di un solo bene, cioè che i prodotti presenti sul mercato siano alternativi rispetto al soddisfacimento di un dato bisogno:
x ≡ y → z = Bx con B ≡ T

dove B è la nuova tecnologia del consumo, che collega direttamente i beni alle caratteristiche. Z e X sono due vettori di dimensione, mx1 e nx1, mentre B è una matrice mxn. La lettura per colonne indica che a ogni bene x possono essere comuni più caratteristiche; la lettura per righe, che ogni caratteristica z può essere comune a più beni.

Poiché la soddisfazione che il consumatore trae da un determinato bene dipende dai suoi attributi, gli elementi della matrice B rappresentano la soddisfazione ricavabile, in termini di ciascuna caratteristica, dal consumo di una unità di ciascun bene. Molti elementi della matrice saranno nulli, nel senso che ogni bene possiede in genere solo alcune delle caratteristiche considerate, con il problema della massimizzazione riscritto come: max U(z) = U(Bx) = u(x) st px ≤ R.
Non c’è invece alcuna ragione per ipotizzare che il numero delle caratteristiche coincida con il numero dei beni; nelle economie complesse e tecnologicamente avanzate, l’insieme dei prodotti disponibili sul mercato è di solito superiore alle caratteristiche ottenute e ai bisogni da soddisfare.
Consideriamo solo due caratteristiche, z1 e z2, che possono essere ottenute tramite quattro attività di consumo:
z1 = b11x1 + b12 x2 + b13 x3 + b14 x4
z2 = b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 + b24 x4

questa scrittura è la tecnologia del consumo: i coefficienti di riga illustrano le quantità di tutti i beni che concorrono a soddisfare ciascuna caratteristica, mentre quelli di colonna le quantità di ogni bene che soddisfano entrambe le caratteristiche. Dato ciò, è possibile identificare, nello spazio (z1, z2) le proporzioni secondo le quali ciascuna modalità di consumo consente di godere delle due qualità: queste proporzioni sono costanti per ogni bene e sono rappresentate da una semiretta uscente dall’origine degli assi, la cui inclinazione dipende dalle diverse coppie di z1 e z2 ottenibili al variare della quantità acquistata.