Prodotto di vettori

In generale, ci sono tre modalità per la moltiplicazione con i vettori:
Prodotto di un vettore per uno scalare: se moltiplichiamo un vettore a per uno scalare s otteniamo un nuovo vettore. Il suo modulo è il prodotto del modulo di a per il valore assoluto di s. La sua direzione è la stessa direzione di a, tranne se s è negativo (direzione opposta). Volendo dividere a per s moltiplichiamo a per 1/s;
(Esistono due modi per calcolare e moltiplicare un vettore per un vettore): il prodotto scalare dei vettori a e b si scrive a . b, si pronuncia “a scalare b” è definito dall'espressione:
a . b = abcosα
dove a è il modulo del vettore a, b il modulo del vettore b e α è l'angolo compreso fra i due vettori. Notiamo che tutti i termini della precedente equazione, a destra dell'uguale, sono scalari, e quindi il prodotto della moltiplicazione della parte sinistra è uno scalare. N.B. Se α=0° (o 180°) allora cosα=1, la componente di un vettore lungo l'altro assume il massimo valore, e così pure fa il prodotto scalare, che diventa uguale al prodotto dei due moduli. Se α=90° (o 270°) allora cosα=0, la componente sarà uguale a 0 e il prodotto scalare quindi nullo. Quando per calcolare il prodotto scalare usiamo i versori avremo: a . b = (axi+ayj+azk) . (bxi+byj+bzk) => (axbx+ayby+azbz);
Il prodotto vettoriale di a e b, che si pronuncia “a vettore b”, e si scrive axb è un vettore c il cui modulo è dato dall'equazione: c = absinα, in cui α, diversamente dal prodotto scalare, è il minore dei due angoli che si vengono a formare tra i due vettori. Se le direzioni di a e b sono parallele, axb=0 e sono, invece perpendicolari quando sinα=1. La direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b e si determina con la cosiddetta “regola della mano destra”. Se usiamo i versori avremo: axb = (aybz-byaz)i+(azbx-bzax)j+(axby+bxay)k.