Cinematica: il moto rettilineo

In questa parte della fisica chiamata cinematica bisogna esaminare il moto, limitandolo sempre a tre condizioni fondamentali:

1. il moto sia esclusivamente rettilineo, ossia segue una linea retta;
2. le forze devono essere le cause del moto;
3. l'oggetto in movimento può essere una particella oppure un oggetto che si muove come una particella (tutte le sue parti si devono muovere solidamente nella stessa direzione e nella stessa velocità contemporaneamente).

Per localizzare un oggetto spesso si prende in considerazione l'origine (o il punto zero) di un asse come quello delle x. Il verso positivo dell'asse è nella direzione dei numeri crescenti. La direzione opposta, invece, è il verso negativo. Il cambiamento di posizione da un punto x1 a x2 è detto spostamento: Δx=x2-x1. Lo spostamento quindi come si può vedere, dipende solo dalla posizione iniziale e quella finale. Esso, inoltre, è un esempio di grandezza vettoriale, cioè una grandezza che è caratterizzata da una direzione, da un verso e da un modulo.
Un altro modo per descrivere la posizione di un oggetto consiste nel tracciare un grafico della sua posizione x in base al tempo t: ossia, la curva x(t). In questo caso possiamo calcolarci quella che è la velocità vettoriale media che è il rapporto fra lo spostamento Δx che si verifica in un intervallo di tempo Δt, e l'intervallo stesso:
v=Δx/Δt=x2-x1/t2-t1
Nella curva x(t), la velocità vettoriale media, indica la pendenza della retta che unisce i punti x1(t1) e x2(t2), ed è inoltre anch'essa una grandezza vettoriale definita da un modulo e da una direzione. La velocità scalare media, invece, considera la lunghezza totale effettivamente percorsa (m), indipendentemente dalla direzione:
u=lunghezza totale del percorso/Δt
Questa velocità però non include il verso e quindi manca di segno algebrico. Se invece vogliamo conoscere la velocità di una particella in un istante dato, dobbiamo avvalerci della velocità vettoriale istantanea, che si ottiene dalla velocità vettoriale media restringendo l'intervallo di tempo Δt, in modo che si avvicini sempre di più allo 0:
v=limΔt->0 Δx/Δt=dx/dt
Quando la velocità di una particella varia si dice che la particella è sottoposta ad un'accelerazione. Per il moto lungo un asse, l'accelerazione media a, durante un intervallo di tempo Δt, è:
a=v2-v1/t2-t1=Δv/Δt
L'accelerazione istantanea è, invece, la derivata della velocità rispetto al tempo:
a=dv/dt
Queste due equazioni possono essere combinate per definire che l'accelerazione di una particella in un certo istante è la derivata seconda della sua posizione x(t) rispetto al tempo:
a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/d2t    (m/s2)
Anche l'accelerazione è una grandezza vettoriale. Dobbiamo dire però, che l'equazioni descritte sin ora riguardano e sono applicabili solo quando l'accelerazione non è costante. Nel caso lo fosse dobbiamo apportare alcune modificazioni. La distinzione fra accelerazione media e istantanea non perde di significato e possiamo scrivere: a=a=v-v0/t-0. Dove v0 è la velocità al tempo t=0 e v è la velocità nell'istante generico successivo t. Possiamo trasformare quest'ultima equazione in: v=v0+at
In modo analogo possiamo trasformare anche la velocità vettoriale media che diventerà: v=x-x0/t-0 e quindi x=x0+vt. Quindi la velocità media sarà v=1/2(v0+v) sostituendo si ottiene: v=v0+1/2at. Infine sostituendo a v la precedente equazione avremo:
x-x0=v0t+1/2at2
Le due equazioni principali (messe al centro) si possono ulteriormente combinare tra di loro in tre modi diversi, ricavando tre equazioni aggiuntive, ciascuna delle quali implica una diversa “variabile mancante”. Così per eliminare t:
v2=v02+2a(x-x0)
Questa equazione è utile se non conosciamo t e non ci viene chiesto di calcolarlo. Nel caso di a avremo:                                                    
x-x0=1/2(v0+v)t
Nel caso di v0:                                          
x-x0 = vt-1/2at2


EQUAZIONE           GRANDEZZA MANCANTE
v = v0+at                        x-x0
x-x0 = v0t+1/2at2           v v2 = v02+2a(x-x0)          t
 x-x0 = 1/2(v0+v)t          a
x-x0 = v0t+1/2at2           v0

Le prime due equazioni di questa tabella sono l'equazioni fondamentali da cui sono derivate tutte le altre. Queste due equazioni si possono ottenere integrando l'espressione dell'accelerazione per a=costante. Come sappiamo la definizione di a (vedi accelerazione istantanea) è: dv=adt → se operiamo l'integrale indefinito di entrambi i termini otterremo → ∫dv=∫adt → dato che l'accelerazione è costante, si può portare fuori dall'integrale, ottenendo → ∫dv=a∫dt, ossia:
v = at+c
Per valutare la costante c poniamo t=0 e quindi v=v0. Sostituendo questi valori nell'equazione x=v0t+1/2at2+c risulta v0=(a)(0)+c=c. Con questa sostituzione l'equazione x=v0t+1/2at2 prende la stessa forma dell'equazione v=v0+at. Per ottenere l'altra equazione fondamentale x-v0=v0t+1/2at2 riscriviamo la definizione di velocità: dx=vdt → e calcolando l'integrale indefinito di entrambi i membri, si ottiene ∫dx=∫vdt. Normalmente la velocità non è costante, per cui non possiamo portarla fuori dall'integrale. Ma possiamo sostituire v con l'espressione v=v0+at → ∫dx=∫(v0+at)dt. Dato che v0 è una costante, come l'accelerazione, possiamo scrivere: ∫dx=v0∫dt+a∫tdt → a questo punto l'integrazione ci darà l'equazione da noi cercata:
x=v0t+1/2at2+c' dove c' è la costante di integrazione
Se lanciando un oggetto verso l'alto o verso il basso, si potesse riuscire ad eliminare l'effetto dell'aria sul suo moto, si troverebbe che la sua accelerazione verso il basso ha un particolare valore ben definito, il cui modulo viene indicato con il simbolo g, ed è chiamato accelerazione di gravità o di caduta libera. L'accelerazione g è indipendente dalle caratteristiche dell'oggetto, quali la massa, la densità, la forma ect. Il valore di g varia leggermente con la latitudine e anche con la quota. A livello di latitudini medie il valore è di 9,8 m/s2. L'equazioni del moto uniformemente accelerato si applicano alla caduta libera vicino alla superficie della Terra. L'accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre vale a=-g=-9,8 m/s2, e il modulo dell'accelerazione è g=9,8 m/s2. Non bisogna attribuire a g il valore -9,8 m/s2.