Reazioni inclusive (e,e'): metodi per il calcolo della funzione di Green

Nello studio della diffusione inclusiva elettromagnetica di un elettrone su un nucleo, nella quale il solo elettrone diffuso è rivelato, il comportamento dinamico del sistema di nucleoni è descritto da un tensore doppio noto come tensore adronico. Mediante opportune approssimazioni tale tensore può essere espresso in termini della funzione spettrale la quale coincide, a meno di una costante moltiplicativa, con la parte immaginaria di una opportuna funzione di Green di singola particella. La differenza fra l'operatore di Hamilton che genera la funzione di Green e l'operatore dell'energia cinetica è detto operatore di massa e può essere interpretato come un potenziale complesso, non-locale e dipendente dall'energia che descrive l'interazione fra un nucleone ed il nucleo residuo in uno stato determinato.
Il metodo della funzione di Green da un lato permette di tenere in considerazione in modo naturale gli effetti delle interazioni degli stati finali e dall'altro offre la possibilità di semplificare il problema senza alterare le regole di somma elettromagnetiche. La trattazione è presentata nel caso di un sistema di Z + 1 protoni considerati puntiformi, non-relativistici e privi di spin. L'interazione con l'elettrone si suppone descritta in approssimazione a singolo fotone mentre le correnti associate ai nucleoni si suppongono ad un solo corpo. Inoltre, pur seguendo il metodo che utilizza i proiettori di Feshbach, la funzione spettrale è espressa in termini dell'operatore di massa anzichè del potenziale di Feshbach dato che il primo meglio si presta ad essere messo in relazione con i potenziali ottici fenomenologici. Sono inoltre discusse le approssimazioni dell'energia cinetica e dell'energia totale per il tensore adronico.
Allo scopo di calcolare il tensore adronico il problema centrale è quindi rappresentato dalla valutazione della funzione di Green allorché sia noto l'operatore di massa. È evidente che il carattere non-locale di quest'ultimo, rendendo integro-differenziale l'equazione che determina la funzione di Green, rappresenta una ulteriore complicazione rispetto al pur non semplice compito di calcolare tale funzione in corrispondenza di un potenziale puramente locale.
In generale la difficoltà legata al carattere non-locale del potenziale viene superata mediante l'utilizzo dell'approssimazione nota in letteratura come approssimazione di Perey e consistente in uno sviluppo troncato dell'operatore di massa non-locale in serie di gradienti. In tal modo si è ricondotti alla determinazione della funzione di Green relativa ad un potenziale locale equivalente pur di moltiplicare tale funzione, a destra ed a sinistra, per un opportuno fattore. Questa approssimazione, tuttavia, benché sperimentata per il calcolo delle autofunzioni, non è stata finora sottoposta a verifica nel caso della funzione di Green, la cui equazione contiene come termine inomogeneo una distribuzione di Dirac.
D'altra parte è lecito dubitare dell'accuratezza dell'approssimazione di Perey nel caso in cui essa venga utilizzata per valutare la funzione di Green. Infatti si è mostrato che tale funzione in approssimazione di Perey GP(E;r,r') presenta, per ragioni strutturali della corrispondente equazione, un valore anomalo della discontinuità della derivata prima delle sue componenti sferiche.

La funzione di Green esatta è stata confrontata numericamente con quella ottenuta in approssimazione di Perey in materia nucleare infinita dove la conseguente invarianza per traslazione permette di spingere più a fondo l'analisi formale e di limitare il calcolo numerico alle ultime fasi dello studio. Il calcolo è stato eseguito in primo luogo utilizzando un'espressione dell'operatore di massa ottenuta da Fiedeldey ed Engelbrecht, caratterizzata da un fattore di forma di tipo yukawiano e adattata al caso di materia nucleare. In secondo luogo è stata considerata un'espressione ottenuta da Mahaux e Sartor in approssimazione di materia nucleare infinita e caratterizzata da un fattore di forma non-locale del potenziale di tipo gaussiano.
In entrambi i casi la parte reale di |r - r'|GP(E;|r - r'|) si discosta sensibilmente da quella esatta in un intorno centrato in r = r' e di dimensioni dell'ordine del parametro di non-località del potenziale, rispettivamente pari a 1.5 fm ed 1.11 fm. Al contrario non è stata riscontrata alcuna deviazione apprezzabile per la parte immaginaria della funzione di Green, proporzionale alla funzione spettrale. Si ritiene che i risultati ottenuti siano validi anche per nuclei finiti dato che le deviazioni osservate sono dovute all'anomalo comportamento dell'approssimazione di Perey prima discusso e legato all'estensione spaziale del fattore di forma non-locale del potenziale.