Reazioni inclusive (e,e'): metodi per il calcolo della funzione di Green

Convenzioni e simboli IV
SIMBOLI
È qui riportato l'elenco dei principali simboli usati nel testo omettendo in
generale dipendenze funzionali, apici e pedici utilizzati per precisare il carattere delle
diverse quantità. In particolare il pedice l  indica le componenti sferiche di ordine l.
A Operatore di antisimmetrizzazione
a=, a Operatori di creazione e di distruzione
f
l
± Soluzione irregolare dell'equazione di Schrödinger radiale
E Energia di singola particella
e Energia del sistema di Z − 1 protoni
E Energia del sistema di Z protoni
E Energia del sistema di Z + 1 protoni
EF Energia di FermiG Funzione di Green esatta
GL Funzione di Green con potenziale locale di PereyGP Funzione di Green in approssimazione di PereyGPW Funzione di Green in approssimazione PWIAG1 Funzione di Green nell'approssimazione proposta in questa tesi
∆G'
l
(r',r') Discontinuità per r = r' della derivata della funzione di Green sferica di ordine l
h(s), H(p2) Fattore di non-località nella componente non-locale del potenziale
h Operatore di Hamilton di singola particella
H Operatore di Hamilton di più corpi
I
l
± Funzioni di Jost
Jµ, jµ Densità di corrente
K Matrice densità del sistema di Z protoni
K Matrice densità del sistema di Z + 1 protoni
kF Quantità di moto di Fermi in unità hM, M Operatore di massa
P Parte principale
P
l
Polinomi di Legendre
q Quantità di moto trasferita in unità h
S Funzione spettrale per il sistema di Z protoni
S Funzione spettrale per il sistema di Z + 1 protoni
T, T Operatore dell'energia cinetica
U Fattore di interazione nella componente non-locale del potenziale
UL Parte del potenziale equivalente di Perey VL indipendente dal gradiente di U
∆U, ∆U Parte reale della componente locale del potenziale
V, V Componente non-locale del potenziale
VL Potenziale locale equivalente di Perey
V
loc
, V
loc
Componente locale del potenziale
W, W Parte immaginaria della componente locale del potenziale
Wµν Tensore adronico
γ Parametro di non-località del potenziale di Yukawa e di Gauss
θ Funzione di Heaviside
µ 2/γ
Σµµ Regola di somma elettromagnetica
|Υ> Stato del sistema di Z − 1 protoni
ϕ
l
Soluzione regolare dell'equazione di Schrödinger radiale
|Φ> Stato del sistema di Z protoni
χ+, χ− Funzioni di overlap di particella e di lacuna
ψ, ψ
l
Funzioni d'onda fisiche di singola particella
|Ψ> Stato del sistema di Z + 1 protoni
ω Energia trasferita
INTRODUZIONE
Nello studio della diffusione inclusiva elettromagnetica di un elettrone su un
nucleo, nella quale il solo elettrone diffuso è rivelato, il comportamento dinamico del
sistema di nucleoni è descritto da un tensore doppio noto come tensore adronico.
Mediante opportune approssimazioni tale tensore può essere espresso in termini della
funzione spettrale la quale coincide, a meno di una costante moltiplicativa, con la
parte immaginaria di una opportuna funzione di Green di singola particella. La
differenza fra l'operatore di Hamilton che genera la funzione di Green e l'operatore
dell'energia cinetica è detto operatore di massa e può essere interpretato come un
potenziale complesso, non-locale e dipendente dall'energia che descrive l'interazione
fra un nucleone ed il nucleo residuo in uno stato determinato. Questo tipo di
trattazione da un lato permette di tenere in considerazione in modo naturale gli
effetti delle interazioni degli stati finali e dall'altro offre la possibilità di semplificare
il problema senza alterare le regole di somma elettromagnetiche.
Allo scopo di calcolare il tensore adronico il problema centrale è quindi
rappresentato dalla valutazione della funzione di Green allorché sia noto l'operatore
di massa. È evidente che il carattere non-locale di quest'ultimo, rendendo integro-
differenziale l'equazione che determina la funzione di Green, rappresenta una
ulteriore complicazione rispetto al pur non semplice compito di calcolare tale funzione
in corrispondenza di un potenziale puramente locale.
In generale la difficoltà legata al carattere non-locale del potenziale viene
superata mediante l'utilizzo dell'approssimazione nota in letteratura come
approssimazione di Perey e consistente in uno sviluppo troncato dell'operatore di
massa non-locale in serie di gradienti. In tal modo si è ricondotti alla determinazione
della funzione di Green relativa ad un potenziale locale equivalente pur di
moltiplicare tale funzione per opportuni fattori. Questa approssimazione, tuttavia,
benché  sperimentata per il calcolo delle autofunzioni, non è stata finora sottoposta a
verifica nel caso della funzione di Green, la cui equazione contiene come termine
inomogeneo una distribuzione di Dirac.
IntroduzioneVI
Per questo motivo l'approssimazione di Perey applicata al calcolo della funzione
di Green verrà studiata dal punto di vista matematico per individuare eventuali
motivi per i quali essa risulti intrinsecamente poco soddisfacente. Saranno
successivamente effettuati confronti numerici, in materia nucleare infinita, con la
funzione di Green esatta per determinare in quali casi la validità
dell'approssimazione di Perey venga meno. Sarà infine introdotta una nuova
approssimazione priva degli inconveniente della precedente ma ancora adatta ad
eliminare le difficoltà legate al carattere non-locale dell'operatore di massa.
In generale nel caso di potenziale puramente locale il calcolo della funzione di
Green viene eseguito mediante uno sviluppo in serie biortonormale delle autofunzioni
dell'operatore di Hamilton e del suo hermitiano coniugato. A tale scopo tuttavia è
richiesta la valutazione di un sistema di autofunzioni per ogni valore del parametro
energetico da cui dipende il potenziale. Allo scopo di superare tale complicazione
verrà proposto un metodo, basato sullo sviluppo della funzione di Green in onde
parziali sferiche, che in linea di principio permette di valutare ogni componente
sferica della funzione di Green in termini delle soluzioni regolare ed irregolare
dell'equazione radiale associata.
Il primo capitolo presenta il metodo della funzione di Green nello studio delle
reazioni elettromagnetiche inclusive nel caso di un sistema di Z + 1 protoni
considerati puntiformi, non-relativistici e privi di spin. L'interazione con l'elettrone si
suppone descritta in approssimazione a singolo fotone mentre le correnti associate ai
nucleoni si suppongono ad un solo corpo. Il tensore adronico è espresso in termini di
quantità relative ad una singola particella sottoposta ad un potenziale ottico. Pur
seguendo la trattazione che utilizza i proiettori di Feshbach, la funzione spettrale è
espressa in termini dell'operatore di massa anziché del potenziale di Feshbach. Il
primo infatti meglio si presta ad essere messo in relazione con i potenziali ottici
fenomenologici. Sono inoltre discusse sia le approssimazioni dell'energia cinetica e
dell'energia totale per il tensore adronico sia le regole di somma elettromagnetiche
che costituiscono un utile strumento di verifica dell'accuratezza delle approssimazioni
utilizzate.
Il secondo capitolo si apre con la presentazione del metodo degli sviluppi in serie
biortonormali per il calcolo della funzione di Green e della funzione spettrale.
Successivamente è introdotta l'approssimazione di Perey che consente, sia per le
funzioni d'onda sia per la funzione di Green, di ridurre il problema legato al carattere
non-locale del potenziale a quello relativo ad un'interazione locale equivalente.
Il terzo capitolo presenta il metodo dello sviluppo della funzione di Green in
serie di onde sferiche parziali ed evidenzia come, nel caso di potenziale locale,
ciascuna delle componenti sferiche possa esprimersi in modo estremamente semplice
in termini delle corrispondenti funzione d'onda. Sono successivamente studiate le
caratteristiche delle onde sferiche G E r rP, ( ; , ' )l  prodotte dall'applicazione del metodo
Introduzione VII
di Perey e ne sono discusse le limitazioni legate alla discontinuità, per r = r', della loro
derivata prima. Il capitolo si conclude infine con l'introduzione di una nuova
approssimazione, indicata con G1, che permette di superare tali limitazioni.
Il confronto fra la funzione di Green tridimensionale esatta e le due
approssimazioni sopra discusse è oggetto di studio nel quarto capitolo limitatamente
al caso di materia nucleare infinita. In particolare in materia nucleare la funzione di
Green G(E;r,r') dipende solo dalla quantità s = |r − r'|, e la discontinuità, per r = r',
nella derivata prima delle sue componenti sferiche può essere ricondotta al
comportamento per s = 0 della funzione di Green stessa. Successivamente si mostra
come in materia nucleare infinita la funzione di Green in approssimazione di Perey
possa sempre essere calcolata in modo analitico. Negli ultimi paragrafi le funzioni di
Green esatta e nelle approssimazione di Perey e G1 sono calcolate e confrontate, per
diversi valori dell'energia, nel caso in cui il fattore di forma non-locale del potenziale
sia di tipo yukawiano e gaussiano. Il primo caso, benché meno interessante sul piano
pratico, offre la possibilità di calcolare analiticamente le espressioni delle funzioni di
Green. In entrambi i casi comunque esiste un'ottima corrispondenza fra la soluzione
esatta e l'approssimazione G1 mentre la soluzione di Perey riproduce la funzione di
Green esatta solo per valori di s superiori al valore del parametro di non-località.
Nell'ultimo paragrafo è valutata la componente scalare del tensore adronico in
funzione dell'energia e per diversi valori della quantità di moto trasferita, sia nel caso
esatto sia nelle due approssimazioni discusse. Come termine di riferimento è calcolato
il tensore adronico anche in approssimazione PWIA (Plane Wave Impulse
Approximation) valida, a rigore, solo per valori dell'energia grandi rispetto al
potenziale.
CAPITOLO 1
Metodo della funzione di Green
nelle reazioni inclusive
1.1 TENSORE ADRONICO
Nello studio delle reazioni inclusive (e,e') di un elettrone su di un nucleo il
metodo della funzione di Green introduce in modo naturale un potenziale ottico che
include gli effetti delle interazioni degli stati finali. Per ragioni di semplicità tale
metodo sarà descritto nella formulazione basata sui proiettori di Feshbach. Anche
questa trattazione consente comunque di introdurre il potenziale ottico noto come
operatore di massa (cfr. § 1.7) che, oltre a poter essere calcolato microscopicamente,
rappresenta probabilmente l'unica forma di potenziale teorico che possa essere messo
in relazione con il potenziale ottico fenomenologico.
Nel seguito si assumerà che l'interazione elettromagnetica fra l'elettrone ed il
nucleo, costituito da Z + 1 protoni, possa essere descritta in approssimazione a singolo
fotone. Il moto dei nucleoni, considerati puntiformi e privi di spin, è supposto non
relativistico. Infine non si farà esplicito riferimento ai neutroni presenti nel nucleo.
Il bersaglio della reazione è lo stato fondamentale non degenere |Ψ0>, di
energia E0, del nucleo descritto da un operatore di Hamilton H, i cui autostati, relativi
rispettivamente agli autovalori dello spettro discreto E
λ
 ed a quelli dello spettro
continuo E, sono |Ψ
λ
> e |Ψ
c
(E)>. In particolare lo stato |Ψ
c
(E)> è caratterizzato da
una condizione asintotica nella quale un protone è completamente separato dalle
altre particelle descritte dallo stato |Φ
c
> di energia E
c
, se il sistema residuo è legato, o
dallo stato |Φ
c
(E)> di energia E, se esso non è legato. Il corrispondente stato
fondamentale non degenere |Φ0> ha energia E0. Si suppone infine che il sistema
Capitolo 1. Metodo della funzione di Green nelle reazioni inclusive 9
ortonormale degli autostati di H  sia completo. Se I rappresenta l'operatore identità
nel corrispondente spazio di Hilbert  la relazione di completezza si scrive
| | | ( ) ( )|Ψ Ψ Ψ Ψλ λ
λ
> + > =∑ ∫∑
+∞
< <c c
c
d
c
E E E
E
I . (1.1)
Nel caso di reazioni inclusive, nelle quali il solo elettrone diffuso è rivelato, la
sezione d'urto differenziale dell'interazione elettromagnetica fra l'elettrone ed il
nucleo può essere espressa in termini del tensore adronico [1]
W J Jµν ν λ λ µ λ
λ
ω δ ω( , ) | ( )| | ( )| ( )q q q= > > + − +∑< <Ψ Ψ Ψ Ψ0 0 0= E E
+ > > + −
+∞
∫∑ < <Ψ Ψ Ψ Ψ0 0 0| ( )| ( ) ( )| ( )| ( )J J dc c
c c
ν µ δ ω= q qE E E E E
E
.
Nella relazione precedente q cµ ω= ( / , )hq  è il quadrimpulso trasferito dall'elettrone
incidente al nucleo, Jµ(q) è il quadrivettore corrente di particelle associato al nucleo
ed infine l'integrazione sottintesa dai prodotti scalari si intende effettuata sulle
coordinate r1, r2, ..., rZ+1 degli Z + 1 protoni. La sezione d'urto differenziale risulta
essere [2] la somma di due termini, uno, longitudinale, dipendente solo da W00 e
l'altro, trasversale, dipendente solo dalla somma W11 + W22. Infine la componente
scalare W00 del tensore adronico è funzione solo di ω e del modulo di q.
Come può essere verificato tenendo conto della completezza degli autostati
dell'operatore di Hamilton H, sussiste la relazione
| | ( )Ψ Ψλ λ λ
λ
δ ω> + − +∑ < E E0
+ > + − = + −
+∞
∫∑ | ( ) ( )| ( ) ( )Ψ Ψc c
c
d
c
E E E E E E H< δ ω δ ω0 0
E
(1.2)
dalla quale, utilizzando di nuovo la proprietà di completezza (1.1), si ottiene
δ ω ω( )+ − =
−∞
+∞
∫
E H0 d I . (1.3)
Le componenti diagonali del tensore adronico, le uniche ad avere interesse, possono
quindi essere scritte nel modo seguente
W J Jµµ µ µω δ ω( , ) | ( ) ( ) ( )|q q q= + − >< Ψ Ψ0 0 0= E H . (1.4)
Capitolo 1 10
Nel seguito si prenderanno in considerazione unicamente correnti ad un solo corpo
così che la quantità Jµ(q) si esprime come segue
J jn
n
Z
µ µ
( ) ( )q q=
=
+
∑
1
1
.
Con tale posizione, poiché la relazione (1.4) coinvolge solo stati antisimmetrici,
l'espressione del tensore adronico si scrive
W Z j Jµµ µ µω δ ω( , ) ( ) | ( ) ( ) ( )|q q q= + + − >1 0 1 0 0< Ψ Ψ= E H (1.5)
1.2 APPROSSIMAZIONI FONDAMENTALI
Sia |Φd> l'autostato legato, di energia Ed, relativo agli Z protoni di coordinate r2,
r3, ..., rZ+1 e corrispondente allo stato |Ψd(E)> (cfr. § 1.1). Verrà inoltre indicato con
|r,Φd> lo stato non antisimmetrizzato |r>|Φd>  in cui la particella di coordinata r1 si
trova nella posizione r e con a r
=
 ed a r  gli operatori di creazione e di annichilazione
nel punto r. Se infine A  è l'operatore di antisimmetrizzazione tra la coordinata r1 e le
rimanenti, risulta
a
Z
d dr r
=| ,Φ Φ>=
+
>
1
1
A|
così che, per un generico stato |Ξ> antisimmetrizzato sulle Z + 1 particelle, sussiste
la relazione
< >= + < >Φ Ξ Φ Ξd da Z| | , |r r1 . (1.6)
 La prima approssimazione consiste nel supporre che i seguenti proiettori non
antisimmetrizzati
P dd d d= > <∫| , , |r r rΦ Φ
siano tali da soddisfare la relazione
Capitolo 1. Metodo della funzione di Green nelle reazioni inclusive 11
Pd
d
∑ ≈ 1
a sinistra della distribuzione di Dirac nell'espressione (1.5). Tale approssimazione,
che consiste nel ritenere di poter trascurare il contributo degli stati appartenenti allo
spettro continuo, verrà comunque superata nel paragrafo 1.4. La relazione (1.5) si
scrive dunque
W Z j P Jd
d
µµ µ µω δ ω( , ) ( ) | ( ) ( ) ( )|q q q= + + − >∑1 0 1 0 0< Ψ Ψ= E H . (1.7)
Tale espressione può essere ulteriormente semplificata mediante la definizione
dei proiettori antisimmetrizzati
P a K a d dd d d dA = >< − > <−∫ r rr r r r
=| |( ) | ' | '
'
Φ Φ1 1
Q Pd dA A= −1
in cui Kd è la matrice densità associata a |Φd> e definita in modo che
< >=< >r r r r| | ' | |'K a ad d dΦ Φ= . La funzione Kd(r,r') = <r|Kd|r'> è reale e simmetrica in
r ed r' [3] così che l'operatore Kd è hermitiano. È inoltre evidente che Tr[Kd] = Z. Se si
tiene in considerazione il fatto che gli operatori di creazione e di distruzione
anticommutano
< + >= −Φ Φd da a a a| | ( ' )' 'r r r r r r= = δ
si conclude che
< =<Φ Φd r d d ra P a| |A . (1.8)
Quindi se si fa uso della relazione (1.6), si ottiene l'identità
P
Z
a P dd d d d| | , | |Ξ Φ Φ Ξ>=
+
>< >
∫
1
1
r rr
A
valida per un generico stato antisimmetrico |Ξ> . Applicando tale identità allo stato
| ( ) ( )|Ξ Ψ>= + − >δ ω µE H0 0J q
che compare nell'equazione (1.7), quest'ultima si scrive
Capitolo 1 12
W Z j a P Q P J dd d d d
d
µµ µ µω δ ω( , ) | ( )| , | ( )( ) ( )|q q r q rr= + >< + − + >∫∑1 0 1 0 0< Ψ Φ Φ Ψ= d A A AE H
dove si è anche fatto uso dell'identità Q Pd dA A+ = 1  a destra della distribuzione di
Dirac.
La seconda approssimazione, detta di diagonalità, consiste nel ritenere che nella
relazione precedente si possa porre
P Qd dA δ ω( )+ − ≈E H0 0A . (1.9)
Si osserva che in virtù dell'equazione (1.3) e dell'ortogonalità dei due proiettori Pd
A
 e
QdA , l'integrale in ω della quantità a primo membro nella relazione (1.9) è nulla in
modo esatto così che l'approssimazione (1.9) non altera le regole di somma
elettromagnetiche (cfr. § 1.6). Utilizzando tale approssimazione e ricordando la
proprietà (1.8) del proiettore Pd
A
, il tensore adronico diventa
W Z j a P J dd d
d
µµ µ µω δ ω( , ) | ( )| , | ( ) ( )|q q r q rd r= + >< + − >∫∑1 0 1 0 0< Ψ Φ Φ Ψ= E H A .
Sostituendo infine l'espressione di Pd
A
 nella relazione precedente e ricorrendo ancora
al risultato (1.6) relativo allo stato | ( )|Ξ Ψ>= >Jµ q 0 , si ottiene
W Z j a ad d d
d
µµ µω δ ω( , ) ( ) | ( )| , | ( ) |
'
q q r r r= + >< + − > ⋅∫∑1 0 1 0< Ψ Φ Φ Φ= =E H
⋅ < − >< >−r r r q r r r'|( ) | ' ' ' ' , | ( )| ' ' '1 1 0K J d d dd dΦ Ψµ . (1.10)
La terza e ultima approssimazione consiste nel sostituire j1µ ( )q  al posto di Jµ(q)
ovvero nel trascurare la parte coerente del tensore adronico e nel considerarne il solo
contributo incoerente. Con tale posizione la precedente espressione del tensore
adronico si scrive in modo semplice in termini di quantità di singola particella.
Introdotta infatti la funzione spettrale di particella relativa al sistema di Z protoni
S E S E a E ad d d d d( ) ( ) '( ; , ' ) | ( )| ' | ( ) |p pr r r r r r=< >=< − + >Φ Φδ H E = , (1.11)
posto
ϕ ϕd d d dZ a( ) | , | | |r r r r=< >= + < >=< >1 0 0Φ Ψ Φ Ψ
e tenuto presente che
Z j jd d+ < >=< >1 1 0 1r q r q, | ( )| | ( )|Φ Ψµ µ ϕ ,
Capitolo 1. Metodo della funzione di Green nelle reazioni inclusive 13
l'espressione (1.10) del tensore adronico assume la forma
W j S K jd d d d d
d
µµ µ µω ϕ ω ϕ( , ) | ( ) ( )( ) ( )|( )q q q= + − − >−∑< 1 0 1 11= p E E (1.12)
in cui il prodotto scalare è relativo ad un'unica coordinata. Si osserva che la quantità
ω + E
0
 − Ed in cui è calcolata la funzione spettrale rappresenta, se positiva, l'energia
cinetica trasferita al protone emesso ed al nucleo residuo nello stato |Φd>.
1.3 FUNZIONE DI GREEN E FUNZIONE SPETTRALE
Per quanto segue è particolarmente utile definire le funzioni di overlap di stato
legato e non legato
χ χλ λ λd d d a, ,( ) | | |
+ +=< >=< >r r rΦ Ψ
χ χd c d c d ca, ,( ; ) | ( ) | | ( )
+ +=< >=< >E E Er r rΦ Ψ
In particolare, per λ ≡ 0, la funzione di overlap di stato legato χd, ( )0
+ r  coincide con la
funzione  ϕd ( )r  introdotta nel paragrafo precedente. La quantità χd c, ( )
+ E; r  è detta
funzione di overlap elastica per c ≡ d e funzione di overlap anelastica per c ≠ d.
Si chiama funzione di Green di particella dipendente dalla variabile complessa z
la seguente quantità
G z G z a
z
ad d d
d
d
( ) ( )
'
( ; , ' ) | ( )| ' | |p pr r r r r r=< >=< −
>Φ Φ1
H + E
=
. (1.13)
Dalla definizione (1.13) si verifica immediatamente che l'operatore G zd( ) ( )p  soddisfa la
proprietà di analiticità hermitiana
G z G zd d( ) ( )( ) ( )p p= = ∗ . (1.14)
Si può inoltre dimostrare [3] che esso è simmetrico in r ed r'. La funzione di Green di
particella G Ed( ) ( )p è infine definita dal seguente limite debole
Capitolo 1 14
G E G Ed d( ) ( )( ) lim ( )p p i= +→ +ε ε0 .
La quantità ε deve essere fatta tendere a 0+ una volta che sia stato calcolato
l'integrale in cui la funzione di Green compare come nucleo. Con tale convenzione,
tacitamente assunta anche nel seguito, il limite sopra indicato sarà omesso.
La relazione di completezza (1.1) applicata all'espressione (1.13) mediante
l'utilizzo delle funzioni di overlap conduce al risultato
G z S E
z E
dEd d( )
( )
( )
( ' )
'
'
p
p
=
−−∞
+∞
∫
(1.15)
in cui
S E E E Ed d d d d c d d c d
c
( )
, , , ,
( ) | | ( ) | ( ) ( )|p = >< − + + + >< ++ + + +∑ ∑χ χ δ χ χλ
λ
λ λE E E E (1.16)
è un operatore hermitiano. Dalla definizione delle funzioni di overlap e dalla
relazione (1.2) è evidente che S E S Ed d( ) ( )( ; , ' ) | ( )| 'p pr r r r=< >  coincide con la funzione
spettrale (1.11). Essa è simmetrica in r ed r', è reale ed è nulla quando E assume
valori inferiori a E0 − Ed. La parte della relazione (1.16) legata allo spettro continuo si
annulla allorché E è inferiore a E0 − Ed = − ∆Ed corrispondente ad E = E0 (cfr. eq. (1.1)).
Quindi G zd( ) ( )p  è analitica in tutto il piano della variabile complessa z fatta eccezione
per i poli E = E
λ
 − Ed e per il taglio dell'asse reale quando E ≥ − ∆Ed. Dalla relazione
(1.15) segue infine che la funzione di Green di particella è esprimibile nel modo
seguente
G E
E
E E
E E
dEd
d d
d
d c d d c d
c c d
( ) , , , ,
( )
| | | ( ' ) ( ' )|
'
'
p
i i
=
><
− + +
+
+ >< +
− +
+ + + ++∞∑ ∫∑χ χ ε χ χ ελ λλ
λ
E E
E E
E -E
(1.17)
È interessante osservare che, se si scrive l'espressione (1.13) oppure (1.15) ponendo in
essa z = E + iε  e si  utilizza la relazione simbolica
1
x x x x
x x
− ±
=
−
−
' '
( ' )
i
i
ε
piδ
P
m (1.18)
dove P  indica la parte principale, si ottiene
S E G Ed d( ) ( )( ; , ' ) Im ( ; , ' )p pr r r r= −
1
pi
.
Capitolo 1. Metodo della funzione di Green nelle reazioni inclusive 15
La definizione (1.11) della funzione spettrale e la relazione (1.3) conducono infine alla
regola di somma
S E dE S E dE Kd d d
d
( ) ( )
( ) ( )
p p
−∞
+∞
−
+∞
∫ ∫
= = −
E0
1
E
(1.19)
in cui si è tenuto conto della definizione della matrice densità Kd. Nella relazione
precedente e nel seguito si assume che l'integrale comprenda il contributo di una
eventuale singolarità posta in corrispondenza del limite inferiore di integrazione.
L'operatore hd z
( )
( )
p
 definito mediante la posizione
[ ( )] ( )
( ) ( )z z G zd d− =h p p 1 (1.20)
è anch'esso caratterizzato dalla proprietà h hd dz z
( ) ( )
( ) ( )
p p= = ∗  a causa della relazione
(1.14). L'operatore hd E( ) ( )p , definito analogamente a G Ed( ) ( )p  come limite debole di
hd E( ) ( )p i+ ε  per ε che tende a 0+, è detto operatore di Hamilton di singola particella. Si
pone quindi
G E
E Ed d
( )
( )
( ; , ' ) |
( )
| 'p
p
i
r r r r=<
−
>
1
h + ε
.
Tramite la relazione (1.17) e l'equazione (1.20) si ottiene [4]
h E | E |d d d d d
( )
, ,
( ) ( )
p
λ λ λ λχ χ− >= − >
+ +E E . (1.21)
Gli overlap di stato legato sono quindi autostati dell'operatore di Hamilton di
particella. Si verifica inoltre [3] che anche gli overlap elastici |
,
χd d
+ >  sono autostati
del medesimo operatore
h E | E E | Ed d d d d d d
( )
, ,
( ) ( ) ( ) ( )
p − >= − >+ +E Eχ χ (1.22)
dove E è l'energia che compete allo stato |Ψd>. Un operatore tale da soddisfare
entrambe le equazioni (1.21) e (1.22) è detto operatore di Hamilton ottico. La
corrispondente differenza fra hd E( ) ( )p  e l'operatore dell'energia cinetica costituisce il
potenziale ottico od operatore di massa di particella.
Capitolo 1 16
1.4 APPROSSIMAZIONI DELL'ENERGIA CINETICA E TOTALE
Allo scopo di condurre valutazioni numeriche è necessario approssimare la
funzione di Green e la funzione spettrale associate allo stato eccitato |Φd> con le
corrispondenti funzioni relative allo stato fondamentale |Φ0>. L'approssimazione più
semplice consiste nel traslare in energia tali funzioni.
APPROSSIMAZIONE DELL'ENERGIA CINETICA
L'approssimazione dell'energia cinetica consiste nell'effettuare la seguente
posizione
G E G Ed( ) ( )( ) ( )p p≈ 0
così che
S E S Ed( ) ( )( ) ( )p p≈ 0
h hd E E( ) ( )( ) ( )p p≈ 0 . (1.23)
Come è già stato osservato alla fine del paragrafo 1.2, nella valutazione del tensore
adronico mediante la relazione (1.12), la funzione spettrale è calcolata in
corrispondenza dell'energia cinetica trasferita. Ne consegue che la posizione (1.23)
equivale ad assumere che nei canali associati agli stati |Φd> e |Φ0> il protone emesso
si propaghi nello stesso modo a parità di energia cinetica. Tale assunzione è quindi
particolarmente appropriata alla descrizione della diffusione elastica. Poiché la
funzione spettrale S E0( ) ( )p  è nulla per E < E0 − E0 ed inoltre E0 − E0 ≥ E0 − Ed, si può
dunque scrivere (cfr. eq. (1.19))
1 1
0 0 0 0
0 0 0− = ≈ = = −
−
+∞
−
+∞
−
+∞
∫ ∫ ∫
K S E dE S E dE S E dE Kd d
d d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p p p
E E EE E E
(1.24)
Il tensore adronico (1.12) può quindi essere approssimato attraverso la seguente
espressione
W j S K jd d d
d
µµ µ µω ϕ ω ϕ( , ) | ( ) ( )( ) ( )|( )q q q= + − − >−∑< 1 0 0 0 1 11= p E E . (1.25)
Capitolo 1. Metodo della funzione di Green nelle reazioni inclusive 17
Nel paragrafo 1.2 sono stati considerati unicamente i proiettori relativi agli
stati legati |Φd> del nucleo residuo dato che non è matematicamente possibile
introdurre analoghi operatori per gli stati |Φ
c
(E)> appartenenti allo spettro continuo.
Ciò è dovuto al fatto che tali stati non appartengono allo spazio di Hilbert. Da un
punto di vista fisico tuttavia, la propagazione di un protone in corrispondenza di un
nucleo residuo non legato deve essere analoga a quella relativa ad un nucleo residuo
legato. Questa osservazione conduce ad includere a secondo membro della relazione
(1.25) un contributo dovuto alle funzioni
ϕ ϕc c c a( ; ) | ( ) ( )| |E E Er r r=< >=< >Φ Ψ0
avente la forma
<
-
+
ϕ ω ϕµ µc c
c
j S K j d( )| ( ) ( )( ) ( )| ( )( )E E E E1 0 0 0 1 11= q qp + − − >−
∞
∞
∫∑ E .
Tale termine non presenta alcuna difficoltà di carattere matematico. Per semplicità
di notazione si converrà che esso sia implicitamente contenuto nella relazione (1.25)
estendendo quindi in essa il significato della somma sull'indice d. Ciò significa che la
relazione
| |Φ Φd d
d
>< =∑ 1 . (1.26)
è ora esatta e rappresenta naturalmente la proprietà di completezza. Si osserva che
l'impossibilità di introdurre proiettori relativi agli stati |Φ
c
(E)> può comunque essere
superata mediante una trattazione matematica più adeguata che esula comunque
dalle finalità di questa tesi.
L'espressione (1.25) del tensore adronico si scrive identicamente nel modo che
segue
W E j S E K j dEd d d
d
µµ µ µω δ ϕ ω ϕ( , ) ( ) | ( ) ( )( ) ( )|( )q q q= − + + − >−
∞
∞
∫∑ E 0 1 0 0 1 11E <
-
+
= p
.
L'equazione precedente nella rappresentazione della quantità di moto hp , grazie alla
definizione ϕ ϕd d d a( ) | | |p p p=< >=< >Φ Ψ0 , diventa
W dE a E d
d
µµ ω δ( , ) | ( )|q p= − + > ⋅∫∫∑ −∞
+∞
< Ψ Φ0 0= E H