Analisi di algoritmi iterativi per la ricostruzione di immagini tomografiche in medicina nucleare

Sommario 
 
II 
aggiornamento sequenziale), OSWLS+SOR (Ordinated Subsets Weighted 
Least-Squares + Successive Over Relaxation; minimi quadrati pesati secondo 
la radice del valore di emissione; usa sottoinsiemi ordinati e tempi di 
rilassamento aumentati) e Gradiente Coniugato (minimizzazione con 
aggiornamento globale di tutti i pixel procedendo nelle direzioni relative al 
gradiente coniugato). 
 
Definiamo nel seguito la rilevanza scientifica e applicativa che, a nostro parere, 
ha questo lavoro, i metodi utilizzati per svilupparlo e le conclusioni cui siamo giunti. 
 
 
(a) Rilevanza scientifica e applicativa 
Il problema di avere immagini ricostruite sufficientemente dettagliate è presente 
in tutti i metodi di diagnostica per immagini, ma è particolarmente sentito nei sistemi 
di medicina nucleare che hanno limiti di risoluzione intrinseci legati alla fisica dei 
processi in gioco (ad esempio scatter ed attenuazione dei fotoni) ed al sistema di 
detezione (ad esempio PSF (Point Spread Function) del collimatore ed efficienza di 
detezione del materiale scintillatore). 
Un altro problema presente in questo settore è quello dei costi, che ha finora 
limitato la diffusione in ambito clinico degli algoritmi iterativi: questi ultimi, infatti, 
hanno un elevato costo computazionale ed hanno finora richiesto sistemi dedicati di 
post-elaborazione. 
Dall’analisi della letteratura relativa all’argomento in esame è stata messa in 
luce la presenza dei diversi algoritmi iterativi citati precedentemente, per i quali, 
però, non è disponibile un confronto sistematico. 
Infine, vi è la necessità di introdurre negli algoritmi le caratteristiche fisiche del 
sistema di acquisizione specifico in modo semplice ed efficiente. 
Sommario 
 
III 
 
(b) Metodologia 
Per affrontare i problemi sopra elencati abbiamo innanzi tutto comparato in 
modo sistematico gli elementi caratterizzanti dei diversi algoritmi iterativi per 
valutarne l’effetto dal punto di vista della qualità dell’immagine ricostruita e 
dell’efficienza computazionale. Tali elementi caratteristici sono legati, 
principalmente: alla funzione obiettivo da massimizzare/minimizzare ed in 
particolare al suo significato fisico/statistico; alla presenza di fattori di 
regolarizzazione; al metodo di calcolo dell’errore (additivo o moltiplicativo) e di 
ridistribuzione dello stesso; ai detettori considerati ad ogni aggiornamento (tutti 
oppure sottoinsiemi ordinati); ed infine, alla sequenza di aggiornamento dei pixel. 
L’analisi sistematica di questi fattori ha portato alla tabella riassuntiva del 
paragrafo 3.8. 
Il comportamento di questi differenti metodi è stato analizzato sia da un punto di 
vista computazionale sia dal punto di vista della robustezza nel confronto di varie 
alterazioni dei dati disponibili. A tal fine si sono realizzate simulazioni su semplici 
immagini di ridotte dimensioni: immagine impulsiva, immagine a forma di Z, 
immagine del fantoccio di Shepp-Logan ed immagine del fantoccio di Hoffman. Da 
queste immagini sono stati simulati dei sinogrammi da cui sono state poi ricavate le 
immagini ricostruite da confrontare; i tempi di calcolo e le proprietà di convergenza 
sono stati verificati sia su simulazioni di dati non degradati sia su dati degradati. Su 
questi ultimi si sono verificate le proprietà di robustezza dei singoli algoritmi. 
I parametri dei dati degradati che sono stati analizzati riguardano la densità di 
campionamento angolare del sinogramma e l’effetto del rumore Poissoniano di 
rivelazione e di emissione con diversi rapporti segnale/rumore. 
Il confronto fra le immagini ricostruite dai diversi algoritmi iterativi e 
dall’algoritmo FBP è stato operato mediante lo scarto quadratico fra l’immagine 
ricostruita e l’immagine originale non degradata. 
L’efficienza degli algoritmi è stata analizzata valutando il numero di iterazioni 
necessarie alla convergenza e i tempi di calcolo per ogni iterazione. 
Sommario 
 
IV 
Dal punto di vista della realizzazione dei programmi di calcolo si è seguito un 
approccio innovativo per eliminare una costruzione esplicita della matrice di sistema. 
Questo al fine di ottimizzare le strutture dati maneggiate e di rendere più flessibile 
l’introduzione dei più importanti elementi fisici dei meccanismi di raccolta dei dati 
reali, come meglio precisato in seguito. 
La matrice di sistema riassume la relazione fisica fra ciascuno degli N
2
 pixel 
emettitori e gli ordine N
2
(in seguito abbreviato con o(N
2
)) detettori del sinogramma; 
essa è, dunque, o(N
4
). La costruzione di questa, che è di gran lunga la struttura dati 
più grande da maneggiare, è stata eliminata per quanto concerne l’aspetto della 
proiezione di una griglia quadrata di pixel su angolazioni oblique. In sostituzione 
sono stati utilizzati degli algoritmi di rotazione dell’immagine. 
In una fase successiva si è passati alla modifica degli algoritmi per permettere 
l’analisi di dati reali di acquisizioni SPECT. Si sono cosi’ introdotti gli effetti fisici 
dell’attenuazione e della divergenza geometrica del collimatore. Il primo effetto è 
stato incluso introducendo un peso di attenuazione esponenziale a partire dal bordo 
dell’oggetto in presenza di un coefficiente di assorbimento costante. L’effetto del 
collimatore è stato introdotto mediante una maschera triangolare che si allarga a 
partire da ogni detettore e che include sempre più pixel man mano che ci si allontana 
dal detettore; questo tiene conto della PSF (Point Spread Function) che si allarga via 
via che si osservano strati più profondi. L’approccio basato su algoritmi di rotazione 
ha permesso di introdurre questi parametri fisici in modo estremamente flessibile 
basandosi sul calcolo di maschere di dimensione o(N
2
) anziché su una matrice di 
sistema o(N
4
). Si tenga presente che la matrice di sistema andrebbe ricalcolata 
ogniqualvolta venisse a cambiare anche solo uno di questi parametri fisici. 
Gli algoritmi più efficienti fra quelli analizzati, vale a dire OSEM e 
OSWLS+SOR, sono stati cosi’ modificati ed applicati a dati reali raccolti, con la 
macchina SPECT PRISM 3000XP dell’azienda PICKER, usando un fantoccio di 
Hoffman riempito con 5 mCi di Tecnezio (Tc
99m
). Le caratteristiche di convergenza 
sono state analizzate in base alla qualità delle immagini ricostruite ed alla 
Sommario 
 
V 
verosimiglianza, confrontando il comportamento degli algoritmi in presenza ed in 
assenza dei parametri fisici di acquisizione. 
 
 
(c) Risultati 
Dall’analisi effettuata è risultato che con i metodi iterativi, a differenza della 
retroproiezione (FBP), l’uso di un numero di proiezioni angolari minore di quello 
imposto dal teorema del campionamento non ha effetti di sottocampionamento 
evidenti, fornendo, però, vantaggi computazionali. 
Le simulazioni in assenza di rumore non hanno evidenziato grosse differenze tra 
metodi a massima verosimiglianza e ai minimi quadrati, mentre hanno messo in luce 
che la tecnica SOR, sfruttata nei metodi PWLS e OSWLS+SOR, converge 
privilegiando le basse frequenze e perciò dando un effetto di smoothing che evita di 
post-filtrare la ricostruzione. L’aggiunta di rumore Poissoniano ha in seguito esaltato 
il fenomeno del “noise break-up”, consistente nell’accentuazione delle alte frequenze 
e che rappresenta il principale limite dei metodi a massima verosimiglianza; a causa 
di questo problema è necessario introdurre termini di regolarizzazione che 
introducono uno smoothing sull’immagine, con un parametro 0< Ε<1 che modula 
l’effetto passa basso e che è determinato sperimentalmente in base alla risoluzione 
voluta per ogni tipo di indagine clinica. 
I metodi sequenziali (SAGE 3 e PWLS) non sono applicati in clinica a causa dei 
tempi di calcolo eccessivi, mentre il gradiente coniugato fornisce immagini 
indistinguibili dal rumore di fondo per rapporti SNR bassi come conseguenza della 
mancanza di una condizione di non negatività. 
Dopo queste fasi di simulazione l’algoritmo OSWLS+SOR sembra essere il 
migliore, ma le successive prove effettuate sui dati reali tenendo conto, negli 
algoritmi, anche dell’attenuazione e della divergenza geometrica del collimatore, 
hanno indicato l’OSEM come l’algoritmo che fornisce le immagini di maggiore 
qualità (“misurata” con la cifra di merito verosimiglianza). Le ricostruzioni 
Sommario 
 
VI 
dell’OSWLS+SOR diventano peggiori in quanto contengono uno smoothing che 
esclude le frequenze maggiori che, invece, potrebbero contenere importanti 
informazioni. 
La compensazione della divergenza geometrica del collimatore, effettuata 
sfruttando i dati tecnici del collimatore stesso, permette di realizzare un filtro passa-
basso più adatto al sistema di acquisizione specifico di qualsiasi pre- o post-
elaborazione dei dati. 
Infine, abbiamo notato che il nostro metodo di sostituzione della matrice di 
sistema con le rotazioni della ricostruzione ha notevoli potenzialità sia nel campo 
bidimensionale, sia in quello tridimensionale. Già nel caso 2D, infatti, la suddetta 
matrice ha un numero di elementi elevato (ordine N
4
, dove N è la dimensione 
dell’immagine in pixel), che devono essere ricalcolati ogniqualvolta si vogliano 
introdurre effetti quali l’attenuazione e la PSF del collimatore, oppure quando si 
voglia variare il numero di proiezioni angolari (dimensione del sinogramma): con il 
nostro metodo, oltre ad eliminare la matrice, si agevola l’introduzione di queste 
variazioni e se ne riduce l’onere computazionale (uso di maschere ordine N
2
, uguali 
per tutte le proiezioni, anziché matrice di sistema ordine N
4
). 
L’estensione al caso 3D, possibile evoluzione del nostro lavoro, dovrebbe 
avvantaggiarsi ancora di più dell’eliminazione della matrice di sistema, anche in 
ragione del fatto che in tal caso la matrice aumenta le sue dimensioni di almeno un 
ordine di grandezza. 
 
 
 
 
Summary 
 
I 
 
SUMMARY 
 
 
 
This thesis is relevant to bioimages, namely tomographyc images from nuclear 
medicine techniques called PET (Positron Emission Tomography) and SPECT 
(Single Photon Emission Computed Tomography); the latter is based on the injection 
of a radiotracer in the patient and on the successive detection of gamma photons, 
emitted by the tissues interested by tracer diffusion, by means of an external scan 
system based on one or more gamma cameras. The final purpose is to obtain 
tomographics images,  transaxial body sections, with functional details of the 
examined tissues; the reconstruction is made from the sinogram, that is a matrix  that 
contains sections projections obtained from rotation. Such acquisition process is 
mathematically described by Radon transform; the inverse problem can be resolved 
in an analytical way with FBP (Filtered Back Projection) algorithm or with iterative 
algorithms based on the minimisation or maximisation of a figure of merit. 
The analysed algorithms comes from two families: 
 
1. methods based on likelihood maximisation are OSEM (Ordered Subset 
Expectation Maximization; likelihood maximisation with ordered subset of 
detectors ) and SAGE 3 (Space Alternating Generalized Expectation 3; likelihood 
maximization in sequential way) method; 
 
2. methods based on minimisation of quadratic functions: PWLS (Penalized 
Weighted Least Square + Successive Over Relaxation; penalized weighted least 
square with update coefficient proportional to the variance estimate on detector, 
with increased relaxation times and sequentially update), OSWLS+SOR 
Summary 
 
II 
(Ordinated Subset Weighted Least Squares + Successive Over Relaxation; 
weighted least squares with update coefficient based on the root of the emission 
value; the updates is on ordered subset and increased relaxation times) and 
Conjugate Gradient (minimization with global update of all pixels working on 
conjugate gradient direction). 
 
 
(a) Scientific and applicative relevance 
The problem of obtaining reconstructed images with sufficient details is present 
in all diagnostic methods for images, but is very  important in nuclear medicine 
systems with intrinsic resolution limits that dependent by the physics of the involved 
process, (scatter and photons attenuation for example) and by the detection system 
(collimator PSF (Point Spread Function) and detection efficiency). 
Another problem of this sector is due to costs; this has limited the diffusion in 
clinic ambits of iterative algorithms: these have too high computional costs and 
requires dedicated post processing systems. 
From literature analysis we bring out the presence of the different iterative 
algorithms just listed, for which a systematic comparison method is not available. 
There's also the need to introduce in the algorithms the physical features of the 
particular detection system in a simple and efficient way. 
 
 
(b) Methodology 
A systematic comparison of the distinguishing items of the different iterative 
algorithms was made in order to access their effect on reconstructed image quality 
and on computational efficiency.  These characteristic items depend principally on: 
objective function to maximize or minimize and its physical/statistical meaning; 
presence of a regularisation factor; method of error computation (additive or 
Summary 
 
III 
multiplicative) and its redistribution; detectors involved in every updates (all 
detectors or ordered subset); and finally, the sequence of pixel update. 
The behaviour of different algorithms was studied from the computational and 
robustness point of view trough the comparison of different alterations of data. To 
address these targets we performed simulations on simple images with reduced 
dimensions: impulsive image, Z shape image, Shepp-Logan and Hoffman brain 
phantoms. From these images we have computed the sinograms and we have finally 
obtained the reconstructed images to compare; calculation times and convergence 
proprieties were analysed both on corrupted and not corrupted data. With the last 
ones we have verified the robustness of each algorithm. 
Data corruption parameters concern sinogram density sampling and Poissonian 
noise on detection and emission with different signal/noise ratio. 
The comparison between different reconstructed images from different iterative 
algorithms and FBP algorithm was made with quadratic difference between the 
reconstructed and the original image without noise. Algorithms efficiency was 
studied with number of convergence iterations and calculation time for every 
iteration. 
Computation programs were made with an innovative approach to eliminate an 
explicit computation of system matrix. This was made to optimize involved data 
structures and permit a simple introduction of most important physical elements and 
data collection process. 
System matrix contains the physical relation between each of N
2
 emitting pixels 
and order N
2
 ( o(N
2
)) sinogram detectors; so it is o(N
4
). The construction of this 
matrix, which is the greatest data structure to handle, was eliminated with respect to 
the trivial task of projecting a square pixel grid on oblique angles. In place we used 
image rotation algorithms. 
In a successive step we changed the algorithms for the analysis of real SPECT 
acquisition. We have introduced physical effects of attenuation and collimator 
geometric divergence. The first effect was included with the introduction of an 
Summary 
 
IV 
exponential attenuation weight from the object edge with a constant attenuation 
coefficient. The collimator effect was included with a triangular mask that becomes 
greater starting from every detector and includes more and more pixels with 
increasing depth; this accounts for the PSF (Point Spread Function) that becomes 
greater when deeper layers are observed. The approach based on rotation algorithm 
permits the introduction of these physical parameters in a very flexible way based on 
the computation of masks with o(N
2
) dimensions. We must consider that system 
matrix should be calculated every time that only one of above physical parameters is 
changed. The most efficient algorithms, OSEM and OSWLS+SOR were modified 
and applied to real data collected with the SPECT system PRISM 3000XP  by Picker, 
using a  Hoffman brain phantom with 5 mCi of Tc
99m
. Convergence characteristics 
were studied by means of the quality of reconstructed images and likelihood values, 
comparing the algorithm behaviour with and without the introduction of physical 
acquisition parameters.  
 
 
(c) Results 
 From above analysis we find out that with iterative algorithms, in contrast with 
back projection (FBP), the use of an angular projections number smaller than the one 
imposed by the sampling theorem causes a limited degradation and gives 
computational advantages. 
Simulations without noise did not show suitable differences between maximum 
likelihood and least square methods, but showed that SOR technique used in PWLS 
and OSWLS methods, converge privileging low frequencies, thus giving a smoothing 
effect that avoids post processing on reconstruction. The addition of Poissonian noise 
causes an enhancement of "noise break-up" phenomenon, this consists in an 
accentuation of high frequencies and is the most important limit of maximum 
likelihood methods; for this problem is necessary the introduction of regularisation 
Summary 
 
V 
terms that gives a smoothed image, with a 0 <  Ε < 1 parameter that modulates low 
pass effect based on the resolution required by the clinical analysis. 
Sequential methods (SAGE 3 and PWLS) are not used in clinical environments, 
because of their excessive computational times. The conjugate gradient method gives  
indistinguishable images from background noise with low SNR, this is due to the lack 
of nonnegativity condition.  
After this simulation trials OSWLS algorithms seemed to be the best ones. 
Nonetheless, subsequent processing of real data (considering in the algorithms the 
attenuation and the geometric divergence of collimator) indicated OSEM as the 
algorithm that returns images with best quality («evaluated" with maximum 
likelihood). OSWLS reconstruction became worse due to the smoothing that 
excluded higher frequencies. 
Compensation of collimator geometric divergence, was made using collimator 
technical data, this allow to realise a better low pass filter for the specific acquisition 
system than every data pre or post processing. 
At last we have seen that our method of system matrix substitution, with 
reconstruction rotation has notable potentiality both in bidimensional and three-
dimensional fields. In 2D the matrix has a great number of elements (order N
4
, where 
N is image dimension in pixel), that have to be recomputed every time that new 
effects as attenuation and collimator PSF have to be introduced, or when the number 
of angular projections must be changed (sinogram dimension): with our method, the 
matrix is eliminated, is facilitated the introduction of these variations and the 
computational cost is reduced (the use of order N
2
 masks for every projection in place 
of a order N
4
 system matrix ).  
The extension to 3D case, one possible evolution of our work, should take more 
advantages from system matrix elimination, because the matrix dimension would  
increase to o(N
5
) or o(N
6
) depending on how the 3
rd
 dimension is handled in the 
reconstruction algorithm. 
Summary 
 
VI 
 
INTRODUZIONE 
 
 
 
 
Le tecniche tomografiche sono, al giorno d’oggi, fondamentali per la diagnostica 
medica: ogni nosocomio, anche di modeste dimensioni, deve avere un reparto di 
diagnostica fornito di strumentazione che consenta l’indagine di sezioni tomografiche 
del corpo umano dal punto di vista anatomico (si pensi, ad esempio, alla TAC, 
Tomografia Assiale Computerizzata a raggi X, alla RMN, Risonanza Magnetica 
Nucleare o alla più economica Ecografia) o anche funzionale (SPECT, Tomografia 
Computerizzata ad Emissione di Fotone Singolo, oppure PET, Tomografia ad 
Emissione di Positroni) e, del resto, un medico non può prescindere dalla conoscenza 
e dall’utilizzo di tali metodologie nella cura dei suoi pazienti. La ricostruzione delle 
immagini a partire dai dati acquisiti dalla strumentazione diagnostica, che vengono 
raccolti in una tabella numerica nota con il nome di sinogramma, è una questione di 
competenza di tecnici, sia bioingegneri che biofisici, che hanno, di conseguenza, il 
compito di progettare tale tecnologia in modo da poter fornire al medico immagini 
con buona risoluzione e senza artefatti per ridurre il rischio di falsi negativi. Questo è 
l’ambito della presente trattazione. 
La tomografia consiste nella ricostruzione della distribuzione di una grandezza 
sul piano di sezione partendo dalla misura delle sue proiezioni (integrali della 
funzione di distribuzione lungo rette di diversa inclinazione) acquisite ruotando 
attorno alla sezione in esame; il problema diretto, cioè le proiezioni, è descritto 
matematicamente dalla trasformata di Radon mentre il problema inverso, cioè la 
ricostruzione tomografica (Capitolo 2), può essere affrontato tramite due approcci, 
quello analitico (algoritmo della Retroproiezione Filtrata (FBP) che esegue 
l’antitrasformata di Radon) e quello iterativo (definisce un funzionale da 
massimizzare o minimizzare attraverso più iterazioni). 
Summary 
 
VII 
Il settore sul quale abbiamo focalizzato la nostra attenzione è quello della 
medicina nucleare (Capitolo 1) ed in particolare sulla SPECT in quanto essa, a 
differenza di altre tecniche quali la TAC, la RMN e, in misura minore, la PET, è una 
tecnica che fornisce sinogrammi con un rapporto segnale/rumore non elevato che si 
ripercuote su una scarsa qualità dell’immagine se ricostruita con la FBP, che 
modellizza il problema “ideale”. L’uso di metodi iterativi, al contrario, facilita 
l’introduzione di un modello che tenga conto di diverse non idealità quali 
l’attenuazione, l’effetto di divergenza geometrica del collimatore e lo scatter 
Compton nel soggetto, fattori fisici che degradano ulteriormente i dati e 
compensabili, nel caso della FBP, solo con pre-elaborazioni del sinogramma con filtri 
monodimensionali e/o con post-elaborazioni dell’immagine ricostruita con filtri 
bidimensionali, operatori morfologici,… La presente tesi è quindi dedicata all’analisi 
comparativa per diversi metodi iterativi ed alla ricerca degli accorgimenti che 
possono renderli disponibili anche su macchine non dedicate. 
La strumentazione SPECT consiste di una o più gamma camere rotanti attorno al 
soggetto, all’altezza delle sezioni di interesse, che rilevano i raggi gamma, di energia 
compresa tra 80 e 300 keV, emessi dai radiotraccianti precedentemente iniettati nel 
paziente; questi ultimi vengono prodotti in modo semplice ed economico con il 
metodo del generatore (Capitolo 1) direttamente nella camera calda del reparto 
ospedaliero, hanno tempi di dimezzamento dell’ordine delle ore e vengono iniettati, 
in genere in bolo, in quantità corrispondenti ad attività dell’ordine dei mCi. La più 
avanzata PET, invece, usa anelli fissi di detettori che rilevano le coincidenze, cioè 
l’arrivo simultaneo di due fotoni gamma di 511 keV su due detettori collineari, 
ottenendo cosi’ una collimazione elettronica, che è il principale vantaggio di questa 
tecnica rispetto ai setti di piombo della SPECT, unitamente al fatto che i 
radiotraccianti sono isotopi delle molecole base della materia vivente. Un limite alla 
diffusione di questa metodica è il costo legato alla necessità di un ciclotrone in loco 
per la generazione di radionuclidi emittenti positroni, che sono caratterizzati da tempi 
di dimezzamento troppo brevi per pensare ad un loro stoccaggio. 
Summary 
 
VIII 
Nel capitolo 3 sono analizzati i differenti algoritmi iterativi presenti in 
letteratura, con la ricerca degli elementi fondamentali che possono permettere un loro 
confronto sistematico. 
Il generico algoritmo iterativo deve contenere almeno cinque passi 
fondamentali: la parametrizzazione dell’oggetto (cioè della sezione da esaminare), il 
modello del sistema (legame tra l’immagine incognita ed il valore atteso della misura 
di ogni rivelatore), i modelli statistici del rivelatore e dell’immagine (tipicamente 
Poissoniani) e la funzione obiettivo che l’algoritmo iterativo deve massimizzare o 
minimizzare. Gli algoritmi esaminati sono cinque, suddivisibili in due categorie: 
algoritmi di massima verosimiglianza (OSEM e SAGE), che massimizzano una 
funzione obiettivo basata su una descrizione statistica del contenuto dei pixel, e 
algoritmi ai minimi quadrati (PWLS+SOR, OSWLS+SOR e Gradiente Coniugato), 
che minimizzano una funzione obiettivo quadratica legata all’errore quadratico medio 
tra stima e misura. All’interno di ogni categoria, le differenze principali si basano sul 
criterio di aggiornamento dei pixel dell’immagine e sull’uso simultaneo di diversi 
sottoinsiemi ordinati di proiezioni. Un riassunto delle differenze è riportato nella 
tabella riassuntiva del paragrafo (3.8). 
Scopo dei capitoli successivi è quello di valutare il comportamento qualitativo e 
quantitativo dei vari algoritmi attraverso simulazioni su immagini semplici, con 
sinogrammi creati da noi, ma anche su dati a diversa statistica acquisiti da un sistema 
SPECT reale su fantoccio di Hoffman (reparto di medicina nucleare dell’Ospedale 
Maggiore Policlinico di Milano). Inoltre abbiamo cercato di migliorare le prestazioni 
degli algoritmi, sia in termini di qualità della ricostruzione, introducendo opportuni 
metodi di modellizzazione dell’attenuazione e della PSF (Point Spread Function) del 
collimatore per la compensazione dei relativi artefatti, sia in termini di peso 
computazionale, introducendo una tecnica innovativa rispetto all’uso della 
“tradizionale” matrice di sistema. 
Summary 
 
IX 
Nel capitolo 4 è descritto il problema della gestione dei dati con gli algoritmi 
iterativi, che riguarda principalmente due argomenti: uno è la dimensione che deve 
avere il sinogramma (numero di campioni angolari in relazione alla dimensione 
dell’oggetto in studio), che viene sviluppato sia riportando la teoria del 
campionamento reperita in bibliografia sia mostrando alcune simulazioni con diverse 
dimensioni del sinogramma per valutare il punto al quale inizia a degradare la qualità 
dell’immagine; il secondo argomento è relativo alle caratteristiche della matrice di 
sistema ed ai problemi computazionali legati alla sua gestione, che si è tentato di 
risolvere eliminando la matrice stessa, interpretandola come matrice di interpolazione 
e, quindi, sostituendola con delle semplici rotazioni dell’immagine durante 
l’iterazione. La matrice di sistema rappresenta il modello di raccolta dei dati e 
pertanto lega gli N
2
 pixel di una sezione tomografica agli o(N
2
) elementi del 
sinogramma. Pertanto questa matrice è di o(N
4
) e con una struttura sparsa, che però 
perde rapidamente questa caratteristica quando si introducono anche elementi fisici 
quali attenuazione, collimatore, etc. Un accorgimento tecnico fondamentale sarà 
quindi quello di eliminare la costruzione esplicita di tale matrice, per lo meno per 
quanto riguarda l’aspetto della rappresentazione dei pixel dai vari angoli di 
proiezione. Questo permetterà di avere una maggiore flessibilità nell’introduzione 
degli effetti fisici con strutture in parametri ognuno o(N
2
). 
Nel capitolo 5 sono riportate le simulazioni che abbiamo effettuato sui diversi 
algoritmi iterativi per valutarne il comportamento confrontandoli tra loro e con la 
FBP attraverso opportune cifre di merito, lo scarto quadratico medio normalizzato tra 
l’immagine ricostruita e quella di riferimento (NRMSD) e la verosimiglianza (per 
immagini reali, per le quali non esiste un riferimento). Le simulazioni sono eseguite 
ricavando il sinogramma sia da immagini semplici, l’impulso ed una figura a Z, sia 
da immagini più complesse come il fantoccio di Shepp-Logan corrotto da rumore 
Poissoniano di diversi livelli, per simulare diversi livelli di statistica di conteggio.