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Introduzione alla fluidodinamica computazionale
Fig. 1 Vettori velocità relativi ai gas allo scarico di un missile
Quindi, a fronte di un investimento limitato in rapporto ai vantaggi ottenuti, tali pro-
grammi offrono la possibilità di analizzare problemi fluidodinamici non risolti in passato per
via dei problemi di investimento e di tempi di realizzazione annessi alle sperimentazioni.
Gli svantaggi delle simulazioni virtuali sono la presenza di errori legati alla discretiz-
zazione dei sistemi continui, che è indispensabile per la loro analisi al calcolatore, e la neces-
sità di far acquisire maggiori competenze agli utenti dei programmi.
In ultima analisi una volta acquisite le conoscenze necessarie per utilizzare questi pro-
grammi, in modo da ridurre in maniera ragionevole gli errori, è possibile simulare il compor-
tamento di un oggetto a costi minimi e in tempi estremamente rapidi ed effettuare una valida-
zione sperimentale solo sulla geometria finale. In tal modo il compito di ottimizzare una geo-
metria per via iterativa, non viene più svolto dalle analisi sperimentali ma dai calcolatori, con
un notevole risparmio in termini di time to market che, come noto, condiziona in maniera pe-
sante le scelte operative relative allo sviluppo dei prodotti.
La struttura dei codici di calcolo CFD prevede di solito un programma di modellazione
bidimensionale e tridimensionale, per effettuare la fase di preprocessing, e un solutore che poi
effettua anche la fase di postprocessing cioè consente l’analisi dei risultati.
La fase di preprocessing consiste nella formulazione di un modello discreto costituito
da una mesh, cioè una griglia di tanti elementi che approssima la geometria reale. Ovviamen-
te non sempre il modello costruito è la copia del sistema da studiare, in quanto la presenza di
simmetrie permette di semplificarlo ed inoltre, in ambito fluidodinamico, è sempre opportuno
definire i contorni del sistema da studiare laddove sia possibile stabilire condizioni al contor-
no che abbiano senso.
Nell’ambito degli studi di questa tesi, il programma usato per effettuare la fase di pre-
processing è Gambit, ed è strettamente integrato con Fluent, che è il solutore, nel senso che
Fluent potrebbe importare le mesh anche da pacchetti CAD esterni, ma quest’operazione ri-
chiederebbe operazioni intermedie di conversione, peraltro non prive di errori, mentre con
Gambit è possibile esportare direttamente la mesh in Fluent.
Il metodo di analisi utilizzato da Fluent è quello dei volumi finiti, ed è importante os-
servare subito che questo metodo, come quello degli elementi finiti, è affetto da errori essen-
zialmente dipendenti dalla necessità di approssimare il comportamento di un sistema continuo
con un modello discreto, con un’errore dipendente dal grado di affinamento della mesh nelle
7
Introduzione alla fluidodinamica computazionale
zone più critiche, laddove i gradienti delle grandezze studiate sono maggiori. Una differenza
importante è però costituita dalla dipendenza che i risultati hanno dalla strategia di convergen-
za impostata e anche dal livello di convergenza assunto come accettabile.
La ragione per la quale sussiste tale differenza è che negli elementi finiti la soluzione
del problema è data dalla formulazione :
[]()()BXA =⋅ ( 1 )
Ove A indica la matrice di rigidezza della struttura B il vettore dei carichi nodali ed X
il vettore degli spostamenti nodali tramite il quale è possibile, in seguito, ricostruire il campo
delle tensioni nella struttura. Con il metodo dei volumi finiti si arriva mediante passaggi ma-
tematici ad una formulazione identica a quella degli elementi finiti, ma nella quale matrici e
vettori non hanno nessun significato fisico diretto, eccezion fatta per il vettore incognita che è
il vettore delle velocità.
Anche le equazioni di Navier-Stokes, con le grandezze fisiche espresse come funzione
continua dello spazio e del tempo, vengono discretizzate mediante il metodo delle differenze
finite spaziali e temporali, e tramite ulteriori passaggi matematici si può ricondurre il proble-
ma alla forma espressa nella ( 1 ). Dato che poi la matrice A viene ad assumere grandi dimen-
sioni, si pone il problema di memorizzare la matrice in un calcolatore, per invertirla minimiz-
zando la quantità di memoria usata. Per questo, tramite opportune trasformazioni, tutti gli tutti
gli zeri della matrice vengono concentrati in blocchi contigui, in modo da evitarne la memo-
rizzazione.
Questo non è però ancora sufficiente a risolvere il problema dell’eccessiva quantità di
informazioni da memorizzare e allora si sceglie di risolvere il problema per via iterativa così
come mostrato dalla ( 2 ).
[]
()
( )
()
( )( ) () []
()
( )( )
kkk
XABXXP ⋅−=−⋅
+
α
1
( 2 )
Nella notazione introdotta P è una matrice meglio nota come precondizionatore, X
(k)
è
il vettore delle incognite all’iterazione k e α rappresenta il coefficiente di rilassamento.
La formula ( 2 ) mostra come la soluzione del sistema avviene in modo ben diverso da
come viene fatto nel metodo degli elementi finiti. Infatti il sistema di equazioni viene risolto
cercando di approssimare il vettore soluzione del problema per via iterativa e non invertendo
la matrice A, che rappresenta l’equivalente della matrice di rigidezza della struttura degli ele-
menti finiti.
Appare quindi evidente che la soluzione dipende strettamente dal numero delle itera-
zioni che vengono effettuate e dal criterio che viene stabilito per assumere la soluzione con-
vergente, perché il vettore delle incognite all’iterazione k, è solo un vettore di prova con il
quale si tenta di individuare una possibile soluzione, minimizzando gli scarti rispetto alla so-
luzione esatta. La definizione di un criterio di convergenza, inteso come il rapporto tra il valo-
re assunto da una variabile nell’iterazione corrente e il valore che essa aveva nelle prime itera-
zioni, è del tutto arbitraria.
Un ruolo non marginale viene svolto dal coefficiente di rilassamento α la cui defini-
zione è indispensabile per la convergenza della soluzione e quindi per la soluzione di un gene-
rico caso da studiare e il suo valore è sempre inferiore all’unità .
Nel capitolo 1 viene descritta la GUI ( Graphic user interface ) dei due programmi
Gambit e Fluent e nei capitoli successivi vengono presentati alcuni casi semplici dei quali se
ne conosce la soluzione analitica.
8
Introduzione alla fluidodinamica computazionale
L’obbiettivo è ovviamente quello di verificare l’accuratezza dell’analisi numerica for-
nita dal software in funzione dei parametri richiesti per la simulazione. Tale esperienza può
essere poi utilizzata come base per l’analisi di casi più complessi, e in questi casi sarebbe
comunque necessaria una minima validazione sperimentale, a conferma delle indicazioni for-
nite dalla simulazione numerica.
Una precisazione doverosa và fatta sulla scelta della formulazione matematica e dei
simboli utilizzati per le varie grandezze fisiche in questi capitoli ; infatti l’utilizzo del pro-
gramma e la sua comprensione rientrano nell’ambito teorico degli studi sulla fluidodinamica
computazionale, cioè dei metodi di analisi numerica per la soluzione al calcolatore di casi non
risolvibili mediante modelli analitici.
Tali studi sono stati sviluppati recentemente negli Stati Uniti e i relativi risultati sono
pervenuti in una seconda fase in Europa. Pertanto si può dire che in ambito teorico la CFD è
un campo ancora aperto ed ha tuttora ulteriori margini di sviluppo, per cui è difficile reperire
materiale in letteratura e i pochi riferimenti bibliografici disponibili sono tutti di origine
statunitense.
9
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
CAPITOLO PRIMO
Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
1.1 Modello analitico del moto laminare in un tubo
Come primo caso di studio è stato preso in considerazione il moto dell’aria in un capil-
lare di diametro 0,5 mm e lunghezza 5 cm con un numero di Reynolds pari a 1500, e quindi il
moto è laminare perché Re è ampiamente inferiore al valore 2000∼ 2500, che è
sperimentalmente indicato come soglia di transizione dal moto laminare a quello turbolento.
La teoria [1] in questo caso fornisce una chiara soluzione che deriva dall’ integrazione
dell’equazione di conservazione della quantità di moto applicata al caso dei moti unidirezio-
nali, incomprimibili e stazionari ( 1.1 ).
upgrad
2
∆⋅=⋅
→
µ ( 1.1 )
Nella notazione della formula precedente, p è la pressione relativa, µ è la viscosità ci-
nematica del fluido e u è la velocità diretta lungo la direzione del moto. Inoltre ∆
2
è
l’operatore di Laplace definito dalla ( 1.2 ).
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ ( 1.2 )
In questo caso la velocità si può assumere come funzione della sola coordinata radiale
r e l’operatore definito dalla ( 1.2 ) assume la forma ( 1.3 ).
∂
∂
∂
∂
⋅=
r
u
r
rr
1
2
∆ ( 1.3 )
Chiamando i la pendenza motrice definita come:
s
p
i
∂
∂
−= ( 1.4 )
ove s è la generica ascissa curvilinea lungo la traiettoria del moto, l’equazione ( 1.1 )
può essere integrata lungo la direzione radiale.
1
2
c
2
ri
r
u
r +−=
∂
∂
µ
( 1.5 )
Nella ( 1.5 ) c
1
costituisce una costante di integrazione. Integrando ulteriormente la (
1.5 ) rispetto alla coordinata radiale si ottiene la ( 1.6 ).
21
2
crlnc
4
ri
)r(u ++−=
µ
( 1.6 )
10
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Dato che per r=0 il termine logaritmico tende a -∞ si assume la costante c
1
nulla men-
tre la costante c
2
si trova imponendo velocità nulla sulla parete del tubo, ove r=D/2, se si indi-
ca con D il diametro della tubazione. Si ottiene così la ( 1.7 ).
−=
2
2
44
)( r
Di
ru
µ
( 1.7 )
Tale formula descrive una distribuzione di velocità parabolica con valore massimo
sull’asse della tubazione e decrescente dal centro verso le pareti ; data la simmetria radiale di
tale distribuzione il profilo di velocità è in pratica un parabolide con asse coincidente con
quello del condotto.
Il valor medio di tale distribuzione di velocità è poi la metà del valore massimo come
si può notare dalla seguente dimostrazione:
()
2
43
2
2
rccr
4
D
4
i
)r(u −⋅=
−=
µ
( 1.8 )
avendo assunto:
4
D
c;
4
i
c
2
43
==
µ
( 1.9 )
Posto u = cost. =c
5
:
()
3
2
3
5
4
2
435
c
u
4
D
c
c
crrccc −=−=⇒−⋅= ( 1.10 )
Il volume di un paraboloide dato dalla precedente distribuzione di velocità si può de-
terminare analiticamente tramite un integrale di volume calcolato per strati.
−
⋅
=
−=
∫
3
max
2
max
u
0
3
2
c
u
2
D
2
u
du
c
u
4
D
V
max
π
π
( 1.11 )
⋅
⋅
−⋅=⇒⋅
⋅
=
2
3
max
maxmm
2
Dc
2u
1uuu
4
D
V
π
( 1.12 )
Definendo allora la quantità:
4
D
4
i1
16
i1
4
i1
u
c
u
u
2
max
3
max
max =
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
==
µ
µ
µ
( 1.13 )
Si ottiene :
max
2
2
maxm
u
2
1
D
2
4
D
1uu =
⋅−= ( 1.14 )
11
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Il valor medio della distribuzione è allora la metà del valor massimo come si può os-
servare dal grafico di fig. 1.1.
Fig. 1.1 Profilo di velocità teorico in un moto laminare
1.2 Cenni preliminari all’utilizzo di Gambit e Fluent
Per effettuare una verifica del modello con Fluent occorre prima di tutto realizzare un
modello del fenomeno con Gambit, cioè una mesh che approssima la geometria presa in esa-
me. Per poter comprendere come utilizzare Gambit e il solutore Fluent è necessario però com-
prendere prima i tipi di file generati.
In ambiente Unix bisogna lanciare i programmi mediante il prompt dei comandi. Per
lanciare Gambit occorre digitare la seguente riga di comando:
Prompt> Gambit -id file -new
Ove “-id” indica un generico identificatore della sessione corrente ( “-“ precede tutte le
opzioni nella sintassi della riga di comando ), file indica il nome del file che si sta aprendo
non preceduto da alcuna estensione e “-new” indica che il file che si sta aprendo è nuovo ; in
caso il file sia già esistente occorre utilizzare l’opzione “-old”.
Da quanto detto appare chiaro che non si può far partire Gambit se prima non si cono-
sce il nome del file da aprire sia esso già esistente o nuovo. Bisogna però far molta attenzione
nel distinguere i vari file che Gambit gestisce. Infatti se il file si chiama ad esempio tubo allora
nella directory di lavoro dell’utente saranno presenti i seguenti file al termine della sessione
con Gambit, dopo aver salvato il lavoro :
tubo.jou
tubo.trn
tubo.dbs
tubo.lok
I primi tre file contengono le informazioni relative al lavoro svolto e sono quindi indi-
spensabili per ricostruire il modello in una successiva sessione di Gambit mentre il quarto
contiene informazioni relative all’utilizzo di Gambit durante la sessione nella quale è stato
creato il file.
12
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Gambit lavora in maniera stabile ma ha il difetto di essere molto pesante e di non con-
sentire sempre l’agevole interruzione del processo caricato. Allora in questo caso bisogna in-
tervenire aprendo una nuova finestra relativa al prompt dei comandi e digitare:
prompt> ps –ef
A questo punto comparirà una lista di tutti i processi in corso e tra questi bisogna “uc-
cidere” quello creato da Gambit situato nella directory utenti/app/Fluent_inc il cui nome può
ovviamente cambiare a seconda della fantasia del sistemista che ha installato il software. Il
comando che consente di terminare un’applicazione è :
prompt> kill PID
ove PID indica l’identificatore del processo aperto.
Se si “uccide“ una sessione aperta di Gambit, che per ipotesi può essere quella relativa
ai file tubo, allora bisogna anche inspiegabilmente eliminare il file tubo.lok altrimenti Gambit
al successivo tentativo di aprire il file dirà che il file è stato già aperto e ve ne impedirà di fatto
l’accesso.
Per eliminare il file digitare :
prompt> rm tubo.lok
Se invece si vuole cancellare il modello tubo allora bisogna cancellare manualmente i
tre file con l’estensione *.jou, *.trn e *.dbs.
Occorre fare inoltre attenzione al fatto che per far leggere un file a Fluent bisogna e-
sportare la mesh creata da Gambit in formato *.msh e quindi nella directory di lavoro verrà
salvato anche il file tubo.msh ; pertanto cancellando i file tubo.dbs, tubo.jou e tubo.trn non si
potrà più modificare il modello tubo sotto Gambit ma si potrà leggere la mesh tubo.msh per
risolverla ad esempio utilizzando altre opzioni.
Fluent a sua volta consente di salvare i risultati utilizzando due ulteriori formati che
sono *.cas e *.dat. In altre parole al termine di una sessione di lavoro con Fluent, nella
directory di lavoro saranno presenti due ulteriori file : tubo.cas e tubo.dat. Tali file possono
essere agevolmente riaperti da Fluent quando si vogliono rivedere i risultati di una certa simu-
lazione o continuare la simulazione tramite ulteriori iterazioni, ma possono essere utilizzati
anche per effettuare una nuova inizializzazione del campo di moto e quindi una nuova simula-
zione anche con differenti condizioni al contorno. L’utilità del file in formato *.msh è quindi
solo quella di consentire una prima lettura della mesh da parte di Fluent. Leggendo i file *.dat
e *.cas si può poi anche visualizzare graficamente la mesh importata.
Per una rapida e sintetica interpretazione del contenuto del paragrafo si consideri la ta-
bella 1.1.
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Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Tabella 1.1 Caratteristiche dei file generati da Gambit e Fluent
Formato Caratteristiche
*.dbs,*.trn,
*.jou
File creati da Gambit indispensabili per riaprire la mesh relativa ad un
certo caso e modificarla
*.lok File che è possibile eliminare senza problemi e che è necessario elimina-
re quando non è più possibile riaprire i 3 file relativi al caso a causa della
chiusura della precedente sessione con il comando kill
*.msh File che contiene la mesh creata da Gambit in modo che sia esportabile
per la prima volta in Fluent
*.cas File che contiene le informazioni relative alle impostazioni utilizzate da
Fluent nella risoluzione di un certo caso. insieme al file *.dat può essere
riaperto una seconda volta per continuare una simulazione o azzerarne i
dati per incominciarne una nuova con la medesima mesh
*.dat File che contiene i dati relativi ad una simulazione con Fluent. Può esse-
re utilizzato solo in abbinamento al corrispondente *.cas
1.3 Utilizzo del modellatore Gambit
In questa sessione viene spiegato il funzionamento di Gambit e Fluent schermata per
schermata, in modo da definire a livello generale come creare ed analizzare un modello.La
sessione di Gambit, così come quella di Fluent, è stata chiamata visual.
1.3.1 Descrizione generale di Gambit
Gambit è il modellatore che consente di creare dei file in formato *.msh da far leggere
a Fluent ; una sessione con Gambit consta sempre di quattro fasi:
1) Definizione di una geometria che faccia da contorno al modello
2) Definizione di una mesh interna a questa geometria
3) Definizione del solutore con cui analizzare la mesh, delle condizioni al contorno e
dell’esportazione della mesh
In questo caso si suppone di voler analizzare il caso del tubo percorso da fluido in mo-
to laminare descritto nel §1.1. Data la simmetria radiale del problema è inutile studiarlo con
un modello tridimensionale che darebbe gli stessi risultati di un modello piano assialsimme-
trico.
Pertanto, utilizzando le indicazioni della guida di Fluent si può costruire il modello
piano mostrato in fig. 1.2.
Fig. 1.2 Disposizione del sistema di riferimento nel modello
14
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Infatti la guida [4] suggerisce di far coincidere l’asse del modello con l’asse x del si-
stema di riferimento. Il rettangolo deve avere quindi la base disposta lungo questo asse e
l’altezza lungo y.
La terza coordinata in direzione z viene utilizzata solo nel caso in cui si voglia creare
un modello tridimensionale e quando richiesta dai menù và sempre posta a zero nei casi bidi-
mensionali.
1.3.2 Creazione del modello piano assialsimmetrico con Gambit
Bisogna innanzitutto far partire Gambit con il comando:
Prompt> Gambit -id visual -new
Apparirà quindi la fig. 1.3.
Fig. 1.3 Interfaccia utente di Gambit
Per iniziare a creare un modello piano costituito da un rettangolo bisogna prima creare
i punti, poi le linee e quindi unirle per formare un’unica entità.
Dal tasto create geometry ,in alto a destra, selezionare create real vertex ( fig. 1.4).
15
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Fig. 1.4 Pulsante che in Gambit consente la creazione di un vertice
Naturalmente vengono subito chieste le coordinate del punto che si vuole creare rispet-
to al sistema di riferimento rappresentato in figura, e nell’esempio vengono indicate le coordi-
nate del punto del rettangolo in alto a sinistra.
Senza chiudere la finestra è possibile creare altri punti in quanto in tutte le finestre di
Gambit, una volta digitato apply, vengono automaticamente azzerati i dati nelle rispettive ca-
selle per una nuova immissione. Quindi occorre digitare nelle caselle relative alle coordinate
le seguenti coppie di valori:
X Y
0 0
50 0
50 0,25
A questo punto sullo schermo saranno presenti i 4 punti costituenti i vertici del rettan-
golo avente base 50 e altezza 0,25. Infatti l’obbiettivo di questa sessione di Gambit è la crea-
zione di un modello piano assialsimmetrico di un tubo capillare di 0,5 mm di diametro.
Si noti che il rapporto tra la lunghezza e il diametro del condotto che si vuole creare è
pari a 100. Una regola sperimentale stabilisce che, affinché un profilo di velocità laminare in
un condotto di generica forma sia sviluppato, l’allungamento di quest’ultimo, inteso come
rapporto L/D, deve soddisfare i requisiti della ( 1.15 ).
Re029,0≥
D
L
( 1.15 )
16
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
L’espressione ( 1.15 ) stabilisce che l’allungamento deve essere pari ad almeno il 2,9%
del numero di Reynolds e D è il diametro se la sezione è circolare o in alternativa, se la se-
zione ha una forma diversa, una lunghezza equivalente al diametro espressa in termini di rag-
gio idraulico.
In questo caso la ( 1.15 ) è ampiamente soddisfatta perché il rapporto di allungamento
è pari a 100 mentre il 2,9% del numero di Reynolds è 43,5. Quindi in un rettangolo con tali
dimensioni è lecito aspettarsi uno sviluppo completo del profilo laminare.
I vertici creati possono essere congiunti creando opportuni segmenti con il menù crea-
te straight edge ( fig. 1.5 ).
Fig. 1.5 Tasto che consente la creazione di vertici reali
Ovviamente per creare un segmento è necessario indicare i vertici che fanno da estre-
mità selezionandoli dalla vertex list e ciccando su apply.
Per creare una faccia bisogna poi unire i vertici con il tasto create face from wireframe
come indicato in fig. 1.6.
17
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Fig. 1.6 Tasto che consente la creazione di un rettangolo da 4 segmenti separati
Bisogna quindi indicare quali segmenti occorre unire dalla lista edges e al solito pre-
mere apply per rendere effettive le modifiche e close per chiudere il menù.
Per creare una mesh su una superficie piana si possono fare due scelte alternative :
™ Creare, con il pulsante mesh faces, una mesh costituita da elementi di dimen-
sione uniforme, eventualmente distorti per essere adattati alla geometria da de-
scrivere.
™ Creare, con il pulsante mesh edges, una mesh lineare lungo i contorni della su-
perficie in modo far generare a Gambit un numero prefissato di elementi in una
certa direzione durante la creazione della mesh di superficie.
Dal momento che la guida di Fluent consiglia di utilizzare elementi quadrangolari al-
lineati e allungati lungo la direzione del moto, nel caso di moti laminari sviluppati in un’unica
direzione è preferibile disporre un numero di elementi non eccessivo lungo la direzione x, per
poi provare al limite a vedere come varia la soluzione variando la densità degli elementi in
direzione radiale.
La finestra mesh edges chiede di selezionare i segmenti su cui operare e il criterio per
distanziare la mesh creata. In questo caso viene generata una mesh costituita da 100 elementi
equispaziati utilizzando l’opzione interval count, e quindi nel riquadro spacing bisogna scri-
vere 100 ( fig. 1.7 ).
Per creare la mesh di superficie bisogna invece usare il pulsante mesh faces in modo da
far comparire la relativa finestra ( fig. 1.8 ).
18
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Fig.1.7 Finestra che compare premendo il pulsante mesh edges
Fig.1.8 Finestra che compare premendo il pulsante mesh faces
19
Capitolo I Moto laminare in un tubo : modello piano assialsimmetrico
Nella finestra di fig. 1.8 è necessario indicare la superficie su cui operare e, come per
la mesh lineare, il criterio di distanziamento degli elementi e il tipo di mesh che in questo caso
è quella quadrangolare o quad con elementi di tipo map ; è stata poi impostata l’opzione shor-
test edge% con il valore 10 per il distanziamento degli elementi in modo da generare in dire-
zione radiale elementi quadrangolari, il cui lato è il 10% del segmento più piccolo del contor-
no del rettangolo, che è il suo lato minore.
La mesh costruita ha quindi 100 elementi lungo la direzione assiale e 10 lungo quella
radiale ed è uniforme così come indicato in fig. 1.9.
Fig.1.9 Mesh generata da Gambit in seguito alla digitazione del comando Mesh Faces
Ora bisogna definire il solutore con cui risolvere il modello e impostare le condizioni
al contorno. Andando nel menù solver bisogna selezionare Fluent 5 ( fig. 1.10 ).
Scegliendo il solutore prima di impostare le condizioni al contorno, si ha la possibilità
di definire il tipo di condizioni al contorno che può utilizzare Fluent. Per impostare le condi-
zioni al contorno bisogna puntare il riquadro che affianca quello relativo alla creazione della
mesh sotto operation in modo da far comparire la relativa finestra ( fig. 1.11 ).
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