Il limite di Chandrasekhar nel suo sviluppo storico

elevate in alcune stelle esistessero realmente, in particolare lo stesso Adams nel 1925 eseguì delle 
misure di redshift gravitazionale su diverse linee spettrali emesse dalla superficie di Sirio B, 
applicando la teoria della relatività generale si poteva ricavare il rapporto M R  e poiché la massa era 
nota dai dettagli orbitali, se ne deduceva il raggio. Sebbene approssimativa, la misurazione del redshift 
confermò la stima del raggio ottenuta in precedenza —si ricordi che il valore attuale è di circa tre volte 
minore—  e dunque la natura compatta della stella. Eddington (1926) [17, p.172-173] riportando 
questa misurazione, affermerà che Adams ha fornito un ulteriore prova della validità della teoria della 
relatività generale di Einstein ed ha confermato che nell’universo può esistere materia 2000 volte più 
densa del platino.  
Nel 1926 era noto con certezza che tre stelle rientravano nella categoria delle nane bianche, Sirio 
B, Procione B e 2ο Eridani B (la stella 2ο Eridani, nota anche come 40 Eridani e Keid, è in realtà un 
sistema triplo e la componente B è la nana bianca meglio visibile di tutto il cielo), tuttavia Eddington 
[17, p.173] asserì che con grande probabilità le nane bianche erano molto abbondanti, infatti le tre 
conosciute si trovavano relativamente vicine al Sole e ciò significava che ve ne potevano esistere altre a 
distanze maggiori che a causa della loro bassa luminosità non potevano essere distinte visivamente. 
 
 
 
2. Paradosso di Eddington e risoluzione di Fowler  
 
Stabilito con certezza che all’interno di Sirio B la materia raggiungeva valori di densità 
straordinariamente elevati, furono fatte una serie di speculazioni teoriche dovute principalmente ad 
Eddington (1926) [17], egli fece notare che se si tentava di trattare la struttura utilizzando la statistica 
classica, una nana bianca prima o poi avrebbe raggiunto una situazione paradossale.  
Prima che si cominciasse ad utilizzare le nozioni di fisica quantistica, l’evoluzione stellare era 
spiegata utilizzando i concetti di fisica classica. Schematicamente, una volta esaurita la fonte di energia 
nucleare all’interno della stella, essa, essendo calda, continua ad irradiare energia nello spazio ed in 
questa prima fase può considerarsi come formata da gas perfetto autogravitante. La stella si contrae 
lentamente sotto l’effetto della propria gravità su tempi scala di Kelvin-Helmholtz perché la pressione 
del gas caldo è tale da farla contrarre facendola passare per stati di quasi-equilibrio. In questa 
condizione di quasi equilibrio vale il teorema del viriale nella forma 
 
 KE2 0+Ω =  (2.1) 
 
dove KE  è l’energia cinetica totale del sistema, ovvero la somma delle energie cinetiche di tutte le 
particelle (
N
K i i
i
E m v 2
1
1
2=
=∑ ), e Ω  è l’energia gravitazionale totale del sistema. In base al viriale quindi 
si ricavano le relazioni 
 
 
( )K
K
d dL E
dt dt
dT dE d
kN
dt dt dt
1
2
3 1
2 2
Ω
= − +Ω = −


 Ω
 = = −

, (2.2) 
 
L è la luminosità ed N  è il numero di particelle che compongono il sistema. Poiché L 0> , dalle 
relazioni (2.2) se ne inferisce che l’energia gravitazionale diminuisce nel tempo —cioè la struttura si 
contrae— di pari passo l’energia cinetica delle particelle aumenta e quindi, essendo un gas classico 
( KE kNT
3
2
= ), anche la temperatura aumenta. Il significato empirico della formula (2.2) è che, 
mediando nel tempo, metà dell’energia gravitazionale persa è emessa sotto forma di radiazione e 
metà va ad innalzare il contenuto termico della struttura. La stella dunque evolve tra stati di quasi-
equilibrio aumentando la sua temperatura e la sua densità.  Il processo di contrazione però non potrà 
andare avanti in modo indefinito dato che le particelle che costituiscono la struttura hanno 
dimensioni finite; si arriverà dunque ad un punto in cui il processo di contrazione subirà un arresto 
ed il gas non potrà più essere considerato perfetto. Le relazioni (2.2) non saranno più valide e questa 
volta la stella comincerà a raffreddarsi in modo progressivo e continuo —irradiando per porsi in 
equilibrio termico con lo spazio esterno— perché essendosi arrestato il processo di contrazione non vi 
sarà più energia gravitazionale a supplire le perdite di energia termica per irraggiamento. 
Come già detto, in base alle conoscenze di fisica dell’epoca, la materia in una nana bianca era 
spiegata applicando la teoria cinetica del gas di Maxwell-Boltzmann, dunque Eddington fa notare che 
una densità elevata come si riscontra in una nana bianca è possibile raggiungerla solo se la 
temperatura è sufficientemente alta da permettere la ionizzazione degli atomi, in questo modo la 
dimensione della struttura stellare è limitata solo dalle dimensioni dei costituenti l’atomo, il nucleo e 
gli elettroni; essendo elettrone e nucleo di dimensioni molto più piccole dell’atomo, è possibile 
“pressare” la materia costituita da atomi completamente ionizzati a densità molto più elevate rispetto 
alla materia costituita da atomi non ionizzati (vedi più avanti la stima di Fowler).  
Esaurita la fonte d’energia nucleare, superata la fase di contrazione e d’innalzamento della 
temperatura precedentemente illustrata, la nana bianca entra in fase di progressivo raffreddamento, la 
stella irradia nello spazio la scorta di energia termica con conseguente abbassamento della 
temperatura. Ad un certo punto la temperatura diverrà tale che elettroni e nuclei si ricombineranno 
in atomi neutri e dunque la densità, secondo le ipotesi fatte, dovrebbe essere paragonabile a quella 
terrestre. La diminuzione della densità però comporta un aumento del volume, essendo la massa 
rimasta costante, ma l’espansione richiede energia per vincere la forza di gravità. I calcoli eseguiti da 
Eddington mostrarono che l’energia necessaria all’espansione non era disponibile; nella fase di 
raffreddamento precedente al costituirsi degli atomi, la stella irradia una quantità d’energia tale che la 
scorta rimanente non è sufficiente per espandere la struttura alla densità opportuna. Per esempio 
Sirio B avrebbe dovuto espandere il proprio raggio di almeno dieci volte e dunque sarebbe stato 
necessario rimpiazzare il 90% dell’energia gravitazionale persa durante la contrazione, ma l’energia 
rimanente non raggiungeva questa percentuale. La stella dunque arriverebbe ad una situazione in cui 
non avrebbe sufficiente energia per raffreddarsi! Questa è l’essenza del paradosso di Eddington. 
 
Nel dicembre del 1926 Ralph Howard Fowler (1889-1944) pubblica l’articolo On Dense Matter 
[21], articolo di fondamentale importanza nella storia dell’astrofisica. In quest’articolo Fowler spiega 
che il paradosso insorge a causa dell’applicazione della statistica classica di Maxwell-Boltzmann per 
spiegare il comportamento della materia all’interno delle nane bianche, paradosso che invece non si 
manifesta se si utilizza la statistica quantistica di Fermi-Dirac. La statistica di Fermi-Dirac era stata 
enunciata pochi mesi prima (agosto 1926) e Fowler ne intuisce immediatamente l’utilità nello spiegare 
il comportamento delle particelle in una nana bianca. Fowler ha il merito per aver riconosciuto per 
primo quale stato della materia predomina all’interno di una nana bianca ed aver fornito dunque i 
fondamenti per la teoria fisica delle nane bianche, inoltre gli va ascritto anche quello di essere stato il 
primo ad aver riconosciuto un campo d’applicazione della allora neonata statistica di Fermi-Dirac; 
Pauli e Sommerfeld invece utilizzeranno la statistica di Fermi-Dirac per spiegare il comportamento 
degli elettroni nei metalli qualche mese più tardi nel 1927. 
Prima di spiegare i contenuti fondamentali dell’articolo di Fowler, è necessario fare una premessa 
chiarificatrice: nel trattare quest’argomento occorre tener conto delle conoscenze fisiche dell’epoca e 
porsi in quest’ottica. La materia deve essere considerata sempre costituita solo da elettroni e protoni  
(i quali costituiscono il nucleo atomico) sotto forma di atomi neutri o ionizzati, il neutrone sarà 
scoperto nel 1932, dunque saranno assenti fenomeni tipo decadimento beta inverso e via 
discorrendo, anche alle più elevate densità la materia sarà trattata come costituita da nuclei ed 
elettroni (si avranno atomi completamente ionizzati come spiegato in precedenza) che manterranno la 
loro identità senza dare origine ad altre particelle subatomiche. Le interazioni tra particelle sono date 
solamente dalla forza di gravità e dalla forza elettromagnetica, la forza nucleare forte e debole devono 
essere ignorate perché faranno la loro comparsa qualche anno più tardi (1934–35). 
Fowler mostra che le particelle costituenti il plasma — elettroni e nuclei —, anche alle densità 
elevate vigenti nell’interno delle nane bianche, possono essere considerate con buona 
approssimazione come particelle massive cariche puntiformi, infatti il volume di elettroni e nuclei è 
dell’ordine di 1410−  il volume dei corrispondenti atomi e dunque è possibile raggiungere densità 1410  
volte quelle terrestri: per confronto, la densità del platino, che è uno degli elementi più densi presenti 
sulla terra, è di g cm 321.45 . In base al ragionamento precedente quindi è possibile raggiungere 
densità dell’ordine di g cm15 310  , poiché Fowler nella sua trattazione fa riferimento ad una densità 
dell’ordine di 3g cm510  , è pienamente giustificato considerare le particelle ancora come puntiformi 
e dunque trascurare le loro dimensioni. 
Nell’articolo Fowler riformula il paradosso di Eddington in termini fisici differenti e scrive:<< […] 
in accordo con Eddington, si arriverà ad un punto in cui la situazione sarà assai singolare. La materia 
stellare avrà irradiato talmente tanta energia che avrà meno energia della solita materia espansa in 
atomi normali alla temperatura dello zero assoluto. Se una parte di essa viene estratta dalla stella e la 
pressione tolta, cosa dovrebbe accadere?>>. Chandrasekhar (1983) [14] dà un’interpretazione 
fisicamente più quantitativa delle parole di Fowler. In base alla teoria cinetica di Maxwell-Boltzmann, 
la misura della temperatura dà una misura dell’energia cinetica delle particelle costituenti il gas, ad 
esempio se il gas è perfetto in senso classico si ha la relazione m v kT21 3
2 2
= , dove m è la massa 
delle particelle e v 2  è la velocità quadratica media, dunque ad un’elevata temperatura corrisponde 
un’elevata energia cinetica e viceversa. Come già illustrato, la materia all’interno delle nane bianche 
deve essere ionizzata ed in base alla fisica classica questo è possibile solo se la temperatura è 
adeguatamente elevata, dunque si ha un plasma di nuclei atomici ed elettroni liberamente mescolati 
tra loro a formare un insieme complessivamente neutro. Una stima dell’energia elettrostatica per 
unità di volume di materia composta da atomi completamente ionizzati di numero atomico Z, è data 
da (l’unità di misura è sottintesa in C.G.S.)  
 
 eE Z
4 311 21.32 10 ρ= − ×  (2.3) 
 
dove ρ  è la densità; l’energia cinetica cE  per unità di volume di un insieme di particelle libere 
trattabili come un gas perfetto, è data da 
 
 c
H
kE nkT T Tm
83 3 11.24 10
2 2
ρ ρ
µ µ
= = = ×  (2.4) 
 
dove k la costante di Boltzmann, T  la temperatura, µ  il peso molecolare medio ( Hn mρ µ= , n  è il 
numero totale di particelle che compongono il gas per unità di volume), Hm  l’unità di massa atomica, 
l’energia totale per unità di volume è data dalla somma delle due energie precedenti 
 
 
t c eE E E= + . (2.5) 
 
Si ipotizzi di estrarre un piccolo campione di plasma dall’interno della nana bianca e di isolarlo, in 
questo caso la forza di gravità esercitata da questo campione può essere trascurata e l’unica forza 
rilevante è quella tra le cariche elettriche (se per esempio si estrae una quantità di plasma pari ad g1  
alla densità di g cm6 310  e si suppone che formi una piccola sfera, avrà un’accelerazione 
gravitazionale alla superficie pari a circa m s5 21.7 10−× , da confrontarsi con g m s 29.8 = , 
accelerazione gravitazionale terrestre). Il campione di plasma si raffredderà e si formeranno gli atomi 
neutri, sarà libero di espandersi ed in ultima analisi diverrà un gas perfetto le cui particelle costituenti 
questa volta sono di carica neutra (atomi non ionizzati). Se N  è il numero totale di particelle non 
interagenti che lo compongono, allora l’energia totale è NkT3
2
 e l’energia minima è nulla (T 0= ). 
Ritornando alla nana bianca nel suo complesso, durante il processo di raffreddamento sarà 
raggiunta una temperatura tale che la (2.5) sarà minore di zero, questo significa che se si estrae un 
campione di materiale dalla nana bianca non potrà raffreddarsi oltre un certo limite, in quanto il 
raffreddamento comporterebbe ad un certo punto il ricostituirsi degli atomi non ionizzati, ma 
quest’ultimo stato della materia ha un’energia maggiore o uguale a zero dunque il campione di 
plasma, avendo un energia minore, non avrebbe energia a sufficienza per potersi raffreddare! Come si 
vede, anche se da un altro punto di vista, si ripresenta la medesima situazione paradossale messa in 
evidenza da Eddington. Condizione necessaria affinché un campione di plasma possa espandersi in 
atomi non ionizzati, è che la (2.5) sia maggiore di zero, il che equivale a  
 
 
T
Z
3
3
2
0.94 10ρ
µ
− < × 
 
 (2.6) 
 
oppure 
 
 T Z 1 33 21.06 10 µ ρ> × , (2.7) 
 
rispettivamente, fissato T  allora ρ deve essere minore di una certa soglia, oppure fissato ρ , T  deve 
essere maggiore di una certa soglia. Ad esempio, se il plasma completamente ionizzato ha avuto 
origine da atomi di C126  ed ha una densità g cm6 310ρ = , allora T K66.5 10> × , al di sotto di tale 
limite si presenta la condizione di paradosso. 
Fowler intuì che il paradosso sorgeva dalla supposizione che il gas d’elettroni all’interno di una 
nana bianca seguisse le leggi imposte dalla teoria cinetica di Maxwell-Boltzmann, questa infatti 
fornisce una notevole sottostima dell’energia cinetica effettiva degli elettroni, in quanto, come già 
illustrato precedentemente, ad una bassa temperatura corrisponde un’energia cinetica bassa, mentre 
l’utilizzo della statistica di Fermi-Dirac permette di risolvere il paradosso. Fowler presuppose che 
all’interno delle nane bianche il gas di elettroni fosse degenere —per gas degenere si intende un gas il 
cui comportamento è dominato dagli effetti quantistici— ed il contributo alla pressione dato dai nuclei 
atomici fosse trascurabile a paragone di quello dato dagli elettroni degeneri. In generale queste ultime 
sono delle buone approssimazioni per studiare la configurazione d’equilibrio di una nana bianca. 
Poiché nel seguito del testo queste assunzioni saranno implicitamente ipotizzate come valide, ne sarà 
data una giustificazione matematica. 
I punti da verificare sono che, alle condizioni di temperatura e densità vigenti all’interno delle 
nane bianche, 
 
1) il gas di elettroni è degenere (completamente degenere) 
 
2) il contributo alla pressione dato dai nuclei atomici è trascurabile. 
 
1) Si consideri un gas di elettroni alla temperatura T  e di densità ρ , la rilevanza degli effetti 
quantistici può essere valutata dal confronto della lunghezza d’onda associata alle particelle h pλ = , 
dove p mv=  è la quantità di moto associata all’elettrone nel caso di regime non relativistico 
(v c<< ); se 
 
 
e H
e
h m
d
p n
1 31 3
1 µ
λ
ρ
  = << =   
   
 ,                                            (2.8)                                             
 
dove ed  è la distanza media tra gli elettroni, allora le particelle si comportano classicamente. Se il gas 
è perfetto dall’equipartizione dell’energia segue che p mkT , sostituendo quest’ultima 
eguaglianza nella (2.8) e riarrangiando si ricava 
 
 
( )
e H
mkm T
h
3 2
3 2
3
ρ µ<< .                                                       (2.9)        
 
Se la (2.9) è valida gli effetti quantistici sono del tutto trascurabili, se vale l’eguaglianza gli effetti 
quantistici contribuiscono alla pressione in misura maggiore rispetto al termine di gas perfetto 
classico, se invece il primo membro è molto maggiore del secondo membro allora gli effetti 
quantistici sono nettamente predominanti, ed il gas è praticamente completamente degenere (il gas 
elettronico è detto completamente degenere quando gli elettroni occupano tutte le 
celle disponibili di volume 3h  dello spazio delle fasi fino 
al valore 
f
p , detto impulso di Fermi [app.B]). Valori di densità e 
di temperatura tipici in una nana bianca che saranno presi come punto di riferimento sono 
g cm6 310  ρ =  e T K710  = , assumendo e 2µ =  ed inserendo i corrispondenti valori, il secondo 
membro della (2.9) assume all’incirca il valore 3. Si ricava dunque che alla densità di g cm6 310   gli 
elettroni sono nettamente dominati dagli effetti quantistici (degenerazione completa). 
 
2) Alle densità e temperature che si riscontrano in una nana bianca i nuclei atomici invece non 
risentono gli effetti quantistici e dunque non sono degeneri. Ipotizzando che il gas di elettroni e nuclei 
completamente ionizzati segua la statistica classica di Maxwell-Boltzmann, in base all’equipartizione 
dell’energia si ha 
 
                        
i i i
i
p p p m
m m p m
1 22 2
  
2 2
 = ⇒ =  
 
,                                                    (2.10)                                            
 
i
m  e 
i
p  sono rispettivamente massa e quantità di moto del nucleo, come si vede la quantità di moto 
media del nucleo è maggiore della quantità di moto media dell’elettrone di un fattore pari alla radice 
quadrata del rapporto delle masse, questo implica che nello spazio degli impulsi i nuclei sono 
distribuiti in un volume molto maggiore rispetto a quello occupato dagli elettroni, 
corrispondentemente la degenerazione per i nuclei subentra ad una densità maggiore rispetto agli 
elettroni. Si può vedere in modo più quantitativo che gli ioni in una nana bianca non sono degeneri 
ripetendo il ragionamento effettuato al punto 1 relativamente agli elettroni; facendo le debite 
sostituzioni nella (2.9), gli effetti quantistici sono trascurabili se 
 
 
( )
i
i H
m km T
h
3 2
3 2
3
ρ µ<<                                                 (2.11)                                            
 
dove 
i
µ  è tale che 
i i Hn mρ µ= , in densità numerica di ioni. Tanto per fissare le idee, se il nucleo 
atomico è C126 , allora i Hm m12= , i 12µ =  e si ottiene 
 
 T 3 2210ρ −<<                                                          (2.12) 
 
se T K710=  il secondo membro è pari a 8.510 , dunque per g cm6 310ρ = i nuclei non sono 
degeneri. La pressione esercitata dai nuclei dunque è con buona approssimazione quella di un gas 
perfetto classico, quindi data dalla formula 
 
 
i
i H
k
P Tm ρµ= .                                                       (2.13)                                            
 
In [app.C] è dimostrato che la pressione di un gas elettronico completamente degenere può essere 
messo sotto la forma parametrica  
 
 
( )P A f x
Bx 3
  
 ρ
=

=
.                                                      (2.14)                                       
 
Sempre per g cm6 310ρ = e T K710= , eseguendo tutte le opportune sostituzioni ed assumendo 
e 2µ =  si può dare una stima del rapporto tra la pressione dei nuclei non degeneri e degli elettroni 
degeneri, 
 
 
i
i
P
P
21 3 10
µ
−×                                                    (2.15)                                    
 
e se 
i
12µ =  allora il rapporto risulta 32.5 10−× , dunque il contributo alla pressione fornito dai nuclei 
è trascurabile a paragone della pressione degenere elettronica. 
 
Dunque sono giustificate le approssimazioni fatte da Fowler di trascurare la pressione dei nuclei 
atomici e di applicare al gas di elettroni —in quanto gas degenere— la statistica quantistica di Fermi-
Dirac. Utilizzando quindi tale statistica su un insieme di N  elettroni in un volumeV, questi saranno 
vincolati a rispettare il principio di esclusione di Pauli, il quale impedisce a due particelle uguali di 
spin semi-intero di occupare il medesimo stato quantico: due elettroni possono occupare la stessa 
cella di volume 3h nello spazio delle fasi solo se possiedono componente di spin differente, e poiché i 
valori della componente di spin possibili per gli elettroni sono solamente due —  1
2
+   e 
1
2
−   — , al 
massimo due elettroni possono stare in una cella dello spazio delle fasi. Anche allo zero assoluto 
dunque gli elettroni hanno un’energia cinetica non nulla a causa dell’occupazione di celle nello spazio 
delle fasi con impulso non nullo. Fowler idealizza il problema ignorando la carica elettrica ed il 
contributo energetico dato dai nuclei atomici, queste approssimazioni difatti —come già detto per 
quanto riguarda la seconda approssimazione— alterano di ben poco il risultato. La relazione che se ne 
ricava tra energia, temperatura e pressione permette di avere energie cinetiche elevate anche allo zero 
assoluto, in quanto in quest’ultimo caso l’energia cinetica degli elettroni dipende solo dalla densità 
numerica e dalla massa delle particelle, l’energia cinetica per unità di volume del gas d’elettroni 
stimata in base alla statistica di Fermi-Dirac è data dall’equazione [app.B] 
 
 c
e
hE nm
5 32 3 2
5 3 133 3 1.48 10
40
ρ
pi µ
  = = ×   
   
 (2.16) 
 
eµ  è il peso molecolare medio che dipende solo dalla composizione chimica (per la definizione v. 
(B.9)). Come si nota la densità d’energia cinetica non dipende più dalla temperatura, ma dipende 
solamente, una volta fissata la composizione chimica, dalla densità, in più varia rispetto alla densità 
secondo la potenza 5 3 , al crescere di ρ  il suo valore cresce in modo più rapido rispetto al valore 
assoluto dell’energia potenziale (2.3). Alla densità presente in una nana bianca, anche per T K0= , 
l’energia totale (2.5) è sufficientemente elevata (quanto meno è maggiore di zero), di modo che se un 
campione di materia è estratto dall’interno può espandersi a formare un gas composto da atomi 
neutri ad un elevata temperatura. Per illustrare meglio il concetto sono riportate le stime effettuate da 
Fowler che, seppure molto approssimative, lo rendono più comprensibile. Si consideri un plasma di 
nuclei ed elettroni derivanti da Fe5626 , vale a dire per ogni nucleo vi sono 26 elettroni, ad una densità 
di g cm5 310ρ = , il calcolo dell’energia cinetica per unità di volume data dalla (2.16) dà un valore 
pari a 
 
 cE erg cm20 39 10  −= × , (2.17) 
 
poiché il numero n di elettroni per unità di volume è 
 
 n cm28 32.81 10 −= ×  (2.18) 
 
allora ciascun elettrone ha un energia cinetica media 
 
 
cE erg
n
83.20 10−= × , (2.19) 
 
questa energia è pari all’energia cinetica media di una particella di un gas perfetto classico ad una 
temperatura T  tale che  
 
 
cEkT erg T K
n
8 83 3.20 10     1.56 10
2
−= = × ⇔ = × , (2.20) 
 
come si vede una temperatura assai elevata, dell’ordine dei cento milioni di gradi. L’energia 
potenziale eE  approssimativamente risulta 
 
 eE erg cm20 34.5 10  −= − ×  (2.21) 
 
allora l’energia totale è 
 
 
t c eE E E erg cm20 34.5 10  −= + = × , (2.22) 
 
come si vede ora è positiva, condizione necessaria affinché il plasma si possa espandere sotto forma 
di atomi neutri. Quando la materia si trasforma da plasma in un gas perfetto classico, l’energia (2.22) 
si tramuta in energia cinetica termica . L’energia a disposizione per elettrone è