Confronto metodologico e applicativo tra diverse formulazioni di modelli di generazione e distribuzione

Una volta calibrata la prima fase del modello a 4 stadi, ovvero la fase di Generazione, con il metodo e le variabili introdotte nei paragrafi precedenti ed espresse all’anno 2001, si può fare il confronto tra gli spostamenti reali riferiti alla matrice Origine/Destinazione del 2001 e gli spostamenti stimati tramite i coefficienti β e k calibrati.
Il confronto viene esposto nella tabella sottostante comune per comune in ordine alfabetico.
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Come si può notare dalla tabella precedente, la calibrazione effettuata è molto valida perché gli errori che si commettono sono molto limitati, restando in un intorno dello spostamento reale di un valore che si aggira nell’intervallo di ± 80 movimenti.
Facendo un focus sul capoluogo di provincia, si scopre che per gli spostamenti di Piacenza la calibrazione utilizzata sovrastima solamente un +3 rispetto ai movimenti reali della matrice Origine/Destinazione del 2001.

Validazione: Piacenza 1991
Una volta calibrato il modello di Generazione all’anno 2001, si cerca di validarlo all’anno 1991 per controllare quanto sia efficace e realistico.
Il dato demografico ed economico utilizzato è sempre il numero di occupati residenti, stavolta aggiornato all’anno 1991, sempre per la provincia di Piacenza.
Usando i coefficienti β e k calibrati per ogni classe e il modello costruito, si ricavano gli spostamenti stimati al 1991 che possono essere confrontati con i movimenti reali che provengono dalla matrice Origine/Destinazione sempre dell’anno 1991.
Di ogni classe si riportano in tabella gli spostamenti stimati e gli spostamenti reali per ogni comune appartenente alla propria categoria.
Si riporta, anche, un grafico in cui in ordinata viene rappresentato il numero degli spostamenti di ogni singolo comune piacentino, mentre in ascissa il valore del dato demografico, cioè il numero di occupati, dello stesso comune. Nel grafico è presente in rosso la retta di tendenza appartenente alla calibrazione fatta per la provincia di Piacenza all’anno 2001.
Si inserisce, anche, una tabella in cui si ricordano i valori dei coefficienti β e k per ogni classe e si ricalcola il valore del coefficiente di determinazione R2, che indica la bontà del modello.
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Risultati Validazione
Come si può notare dalle tabelle e dai grafici precedenti, la validazione effettuata dimostra che il modello creato per la parte di Generazione è molto efficace perché gli errori che si commettono sono molto limitati, restando in un intorno dello spostamento reale di un valore che si aggira nell’intervallo di ± 180 movimenti.
Il valore “± 180 movimenti” non deve ingannare perché la calibrazione è stata eseguita all’anno 2001, mentre la validazione all’anno 1991: 10 anni di differenza sono un intervallo di tempo molto ampio in cui i comuni di una provincia possono essere cambiati radicalmente, soprattutto dal punto di vista delle classi lavorative. Perciò è normale che gli errori all’anno 1991 siano maggiori rispetto a quelli del 2001, ma tutto ciò rafforza ancora di più la validità del modello creato.
Per quanto riguarda il coefficiente di determinazione R2, che indica la bontà del modello di aggiornamento creato, si può vedere che per la classe 2 e per la classe 3 si hanno valori molto alti e prossimi al numero 1, quindi vuol dire che gli spostamenti stimati raggiungono una buonissima precisione. Per la classe 1, invece, si ha un R2 di 0.7167, nettamente più basso rispetto alle altre due classi, però bisogna considerare che la classe 1 è quella dei comuni di piccole dimensioni che hanno un basso numero di occupati residenti, quindi la semplice differenza di pochi spostamenti produce un R2 basso, che a rigor di logica non ha molto significato.

Modello di Distribuzione
Per quanto riguarda il modello di distribuzione si sceglie di utilizzare la trasformazione logaritmica di un modello di utilità aleatoria, che si riporta alla forma di un modello gravitazionale, come suggerito da Cascetta in “Metodi quantitativi per la pianificazione dei sistemi di trasporto” (E.Cascetta, 1990).
La formulazione di questi modelli implica che gli spostamenti generati da una generica origine o e attratti da una generica destinazione d abbiano una proporzionalità diretta con il potere di attrazione Ad della destinazione stessa e una proporzionalità inversa con un fattore di impedimento Cod tra o e d, di solito identificato con la distanza che li separa.
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I coefficienti β così pensati dovranno avere segno opposto: β1 positivo e β2 negativo.
Come già anticipato nella parte di raccolta dati, gli attributi utilizzati per caratterizzare le diverse zone sono due:
• Ad: numeri di addetti del comune;
• Cod: distanza od

Quest’ultimo fattore può essere considerato in due modi: sia in linea d’aria (poco rappresentativa della situazione reale), sia su strada, più rappresentativa del reale impedimento che intercorre tra due zone.
Nelle formulazioni più utilizzate si passa direttamente dal modello di generazione a quello di distribuzione, in cui tutti gli spostamenti generati da una zona vengono distribuiti tra la zona considerata e tutte le altre possibili destinazioni. Utilizzando esclusivamente due dati (addetti e distanza su strada) diventa proibitivo considerare tutte queste zone in un unico modello, soprattutto considerando il fatto che si vanno ad analizzare zone molto diverse tra loro: le destinazioni interne sono rilevate a livello comunale, mentre le zone esterne alla provincia di Piacenza raggruppano tutte le destinazioni possibili a livello provinciale.
Cercando il modo migliore per impostare il modello si decide di inserire un passaggio aggiuntivo per separare due diversi tipi di spostamento:
• spostamenti che hanno origine e destinazione all’interno della provincia di Piacenza;
• spostamenti che hanno origine all’interno della provincia di Piacenza, ma destinazione in una provincia esterna.

Il motivo di questa scelta è molto semplice: nella matrice Origine/Destinazione di partenza vengono inserite come destinazioni anche le province esterne. La difficoltà sorge dal fatto che utilizzando come attributi il numero di addetti e la distanza stradale si andrebbe a confrontare destinazioni troppo differenti tra di loro:
• comuni della provincia di Piacenza: ogni comune ha un suo preciso numero di addetti e una distanza dal comune-origine considerato;
• province esterne: non vengono esplicitati i comuni esterni verso cui sono diretti gli spostamenti, quindi non si possono definire con certezza né il numero di addetti né le distanze da considerare.

Oltretutto, essendo province confinanti, risultano avere una distanza dai comuni interni abbastanza contenuta.
Non sapendo precisamente i comuni esterni verso cui sono diretti gli spostamenti, si dovrebbe, in linea teorica, considerare come potere di attrazione delle province confinanti la somma degli addetti presenti nell’intera provincia e, come fattore d’impedimento, una distanza media. In questo caso, però, il modello leggerebbe le province esterne come città molto grandi e abbastanza vicine ai comuni considerati: questo si traduce in un alto potere di attrazione e in un basso impedimento.
Dalla matrice Origine/Destinazione si può, però, osservare che le percentuali di persone che giornalmente si dirigono all’esterno della provincia sono limitate: un potere di attrazione così alto e un così basso impedimento, invece, andrebbero a stimare quantità molto più grandi.
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Cascetta in “Modelli per i Sistemi di Trasporto” propone di esprimere l’utilità di un insieme di scelte, in un’ottica di logit gerarchico, in funzione anche della numerosità delle opzioni di scelta e dello scostamento di ciascuna di essa da un’utilità media dell’insieme di scelta considerato. La formula utilizzata è estremamente complessa e non rientra nell’ottica di un modello semplice, immediato ed effettivamente utilizzabile: per ovviare a questo problema si faranno delle ipotesi che verranno esposte nel dettaglio in seguito.
Un ulteriore problema che si presenta è come tener conto della provincia di Milano: pur non essendo confinante viene esplicitata come destinazione e non viene incorporata nella voce Altre Province.
Utilizzare, però, il numero di addetti della Provincia di Milano andrebbe ad annullare le restanti province: basti pensare che solo il numero di addetti della provincia di Milano è più di tre volte la somma degli addetti di tutte le altre province considerate.
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Se questo potere di attrazione fosse compensato da un pari fattore di impedimento si potrebbe includere anche la provincia di Milano nell’analisi, ma la distanza risulta abbastanza contenuta (solo 70.8 km su strada), quindi non esiste nessun fattore di impedimento che possa abbattere il potere di attrazione lavorativa di Milano.
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Osservando la matrice Origine/Destinazione del 2001, si nota che le percentuali di spostamenti diretti verso la provincia di Milano sono molto basse, sempre inferiori al 2%. Per cui, senza commettere errori grossolani, ma introducendo solamente una piccola semplificazione, si decide di eliminare la provincia di Milano dall’analisi. Si riporta qualche esempio di percentuali di spostamenti verso le province esterne, facendo un focus su Milano:
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Così facendo si limita l’analisi alla provincia di Piacenza e a quelle confinanti: Parma, Pavia, Lodi, Cremona e una piccola parte di Alessandria e Genova.
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Rimane la difficoltà di quantificare gli addetti delle province esterne da considerare nel modello. Ovviamente sarà necessario introdurre delle approssimazioni per ovviare a questo problema: poiché la priorità dell’elaborato rimane quella di stimare gli spostamenti interni alla provincia di Piacenza, si decide di inserire un passaggio aggiuntivo per evitare di inficiare la calibrazione del modello di distribuzione degli spostamenti con origine e destinazione interni alla provincia.

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Per effettuare questa separazione si decide di utilizzare un logit binomiale: tutti gli utenti che si spostano devono, in primo luogo, decidere se rimanere all’interno della provincia di Piacenza o andare in una provincia esterna.
D’ora in avanti ci si riferirà alla provincia di Piacenza con “Interno” e alle province esterne con “Esterno”, e il logit che ne deriva verrà denominato “Logit Esterno”.
Le utilità associate a ciascuna alternativa si esprimono come combinazione lineare degli stessi fattori citati in precedenza: numero di addetti della zona di destinazione e distanza su strada:
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Nei paragrafi seguenti si spiegherà nel dettaglio quali quantità vengono intese come numero di addetti di ogni comune piacentino e distanze tra tutti i comuni della provincia di Piacenza.
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Per ogni zona d’origine o gli spostamenti con destinazione d interna alla provincia di Piacenza si troveranno in questo modo:

dove S sono gli spostamenti totali generati dall’origine o, risultato del modello di generazione.
Una volta stimata la parte di spostamenti che rimangono all’interno della provincia è necessario stabilire come si distribuiscono nelle diverse destinazioni.
Anche in questo caso sorge un ulteriore problema: le percentuali di spostamenti intrazonali (spostamenti che hanno o=d) sono molto alte. Inserire gli spostamenti intrazonali direttamente nel modello di distribuzione, andrebbe a sovrastimare gli spostamenti di destinazioni vicine e con potere di attrazione limitato e ad abbassare notevolmente la stima degli intrazonali.
A titolo di esempio si riporta il caso del comune di Agazzano, mostrando una parte dei risultati di uno dei tentativi realizzati cercando di considerare gli spostamenti intrazonali direttamente nella fase di distribuzione, a dimostrazione delle precedenti affermazioni:
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Oltretutto, per una futura fase di assegnazione, è importante stabilire gli spostamenti diretti all’esterno del comune d’origine, poiché gli spostamenti intrazonali non sono rappresentabili su un ipotetico grafo dell’offerta.
Si preferisce quindi escludere dalla fase di distribuzione i fattori che possano influenzarne negativamente il risultato: per questo motivo si decide di inserire un ulteriore passo aggiuntivo per separare gli spostamenti intrazonali da quelli aventi come destinazione un comune diverso da quello d’origine. Il modello che ne deriva può essere così rappresentato:
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Anche in questo caso si utilizza un logit binomiale, che verrà denominato “Logit Interno”: la forma rimane esattamente quella citata per il logit esterno e gli attributi utilizzati rimangono addetti e distanze su strada. Le due aliquote avranno la seguente forma:
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Da qui è possibile procedere con il modello di distribuzione: gli spostamenti originati dalla generica origine o e destinati ad una destinazione d saranno così definiti:
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Per la calibrazione si è utilizzata la Massima Verosimiglianza, come descritto in precedenza. L’inserimento dei due passaggi intermedi è stato necessario per ovviare alla mancanza di dati più dettagliati che permettessero di caratterizzare meglio ogni zona, sia dal punto di vista dell’attrattività che da quello dell’impedimento, per poterle inserire tutte all’interno del modello gravitazionale: si pone quindi particolare attenzione alla parte conclusiva di distribuzione, verificando al contempo l’applicabilità dei due logit “sperimentali”, provando a trovarne la formulazione migliore.