La Congettura di Vaught per le algebre di Boole e le MV-algebre

Esponiamo i risultati ottenuti sulla Congettura di Vaught nel caso delle MV-algebre. Precisamente consideriamo prima le MV-algebre che non sono finitamente valutate e poi la classe delle MV-algebre rimanenti. Lo studio di quest’ultime si riconduce allo studio di famiglie di insiemi costituite da algebre Booleane e dai loro ideali. Questa semplificazione però richiede la conoscenza di alcuni concetti fondamentali di Algebra Universale e di Teoria delle Categorie, e per questo motivo introduciamo le varietà e le categorie.

Il seguente teorema esprime che una classe abbastanza grande di teorie di MV-algebre ha il massimo numero possibile di modelli contabili e non isomorfi.
Teorema 5.1.1.
Sia A una MV-algebra. Se assumiamo che per ogni n ∈ N, esiste a_n ∈ A con na_n ≠ (n + 1)a_n, allora la teoria di A ha 2^ω modelli contabili e non isomorfi.

Dimostrazione.
Denotiamo con Th(A) la teoria del primo ordine di A. Siano r un numero reale compreso tra 0 e 1, e c e d due simboli di costante. Consideriamo la nuova teoria Thr(A) che si ottiene aggiungendo agli assiomi di Th(A) tutte le disuguaglianze md < nc, dove m e n sono interi tali che 0 ≤ m < n e m/n < r, e tutte le diseguaglianze md > nc, dove m e n sono interi tali che 0 ≤ m < n e m/n > r.

Thr(A) è finitamente soddisfacibile, se si interpretano c e d come opportuni multipli di a_k, per k sufficientemente grande. Allora per il teorema di compattezza Thr(A) ha almeno un modello e per il teorema di Löwenheim-Skolem ha un modello contabile che chiamiamo M_r. Ovviamente M_r è anche un modello di Th(A), ∀r ∈ [0, 1].

Possiamo quindi affermare che esistono 2^ω modelli di Th(A) contabili. Questo segue dal fatto che ogni coppia (c, d) in un modello può soddisfare Thr(A) solo per un valore di r, e i possibili valori di r sono 2^ω.