La Congettura di Vaught per le algebre di Boole e le MV-algebre

1 I N T R O D U Z I O N E La congettura di Vaught è una congettura base di Teoria dei Modelli introdotta originariamente da Robert Lawson Vaught nel 1961. Afferma che il numero di modelli contabili e non isomorfi di una teoria del primo ordine completa di un linguaggio contabile è finito o@ 0 o 2 @ 0 . Michael Morley ha dimostrato che il numero di modelli numerabili è finito o@ 0 o@ 1 o 2 @ 0 , il che risolve la con- gettura eccetto il caso di@ 1 modelli quando non vale l’ipotesi del continuo. Notiamo che l’ipotesi del continuo afferma che @ 1 = 2 @ 0 e quindi la congettura sotto questa ipotesi è vera. Per questo caso rimanente Knight ha annunciato un controesempio alla congettura, ma la sua dimostrazione è talmente complicata che non è stata ancora accettata dalla comunità matematica. Esponiamo i risultati che finora sono stati ottenuti sulla Con- gettura di Vaught per le algebre di Boole e le MV-algebre. La tesi si articola in un’introduzione più quattro capitoli: due sono dedicati allo studio delle algebre di Boole e delle MV- algebre, e i restanti alla Congettura di Vaught per le teorie di queste strutture. Nel secondo Capitolo definiamo le algebre di Boole come strutture algebriche, ovvero come insiemi su cui sono definite delle operazioni e per cui valgono certe proprietà; ciò permette di considerarle strutture di un linguaggio del primo ordine. Elenchiamo alcuni esempi di algebre Booleane tra cui l’algebra 2 e l’algebra di Lindenbaum-Tarski. L’algebra2 è caratterizzata da due soli elementi (l’insiemef0, 1g 1