Il Valore a Rischio: metodi basati sull'uso di serie storiche eteroschedastiche. Un'applicazione al mercato italiano

Nella pratica recente, si è fatta strada una metodologia impiegata per la quantificazione del rischio finanziario denominata VAR (Valore a Rischio).
Tralasciando, per ora, ogni approfondimento sul significato di questo strumento, con il lavoro da me presentato si è fatto uso di nuovi metodi econometrici, i modelli ARCH e GARCH, impiegati per lo studio di serie storiche di tipo finanziarie che hanno avuto sviluppo nel decennio passato.
Questi modelli si fondano sul concetto di eteroschedasticità, cioè di variazione temporale della varianza delle serie storiche esaminate, un comportamento che è confermato e verificato dalla stessa analisi empirica.
Inoltre pongono in essere delle ipotesi particolari sulla modellizzazione della legge condizionale di tipo autoregressivo delle variabili finanziare oggetto di studio.
Anche questo comportamento è suggerito dalla stessa indagine statistica che nella pratica ha confermato quanto le distribuzioni condizionate siano più precise di quelle non condizionate per descrizioni di serie finanziarie nel tempo.
Nello specifico, l’analisi del Valore a Rischio è stata realizzata mediante una procedura denominata delta garch model (proposta da Hsieh nel 1993).
Rispetto alla proposizione originaria del VAR che viene fornita da Morgan nel RiskMetrics model o delta normal model, la differenza sostanziale in questo caso costa nell’assumere la variabile finanziaria seguire un determinato processo stocastico ed in particolare nel calcolo della varianza viene utilizzato un processo GARCH.
Contrariamente, in RiskMetrics la varianza è calcolata in un contesto deterministico e cioè vengono adottate procedure di stima di tipo empirico attraverso l’impiego di medie mobili pesate esponenzialmente.
Nel nostro caso ci poniamo in un contesto dinamico presupponendo di prendere in considerazione le distribuzioni condizionate, cioè i tassi di rendimento risultano tali che la loro distribuzione, condizionata alle realizzazioni passare seguano una legge normale la cui varianza viene interpretata in modo autoregressivo, e quindi la stima del VAR viene continuamente aggiornata e ricalcolata condizionatamente alle informazioni che si sono accumulate.
Nell’ambito della famiglia dei modelli GARCH si è fatto uso di una particolare specificazione denominata GARCH esponenziale, basandoci sugli studi di Nelson (1991).
Questo modello propone di descrivere una variabile aleatoria, in questo caso Rt è il tasso di rendimento, come pari ad una costante m più un errore casuale et .
Nel calcolo del VAR, l’ipotesi di normalità, che in RiskMetrics veniva assunta circa la distribuzione dei tassi di rendimento, nel nostro caso non è eliminata, ma semplicemente viene mantenuta riproponendola sulle distribuzioni condizionate della variabile tasso di rendimento.
Ritornando al modello GARCH esponenziale, rispetto alle altre determinazioni GARCH, ha il vantaggio che i parametri in esso presenti non sono sottoposti a nessuna condizione restrittiva potendo assumere sia valori positivi che negativi.
Inoltre l’EGARCH ha la particolarità di ben catturare un fenomeno tipico di variabili finanziarie, anch’esso verificato empiricamente, denotato come “effetto leverage”, cioè che i tassi di rendimento sono asimmetrici rispetto all’andamento della volatilità: rendimenti negativi danno luogo ad un aumento della volatilità maggiore di quello prodotto da rendimenti uguali ma positivi.
Per descriverlo si è fatto uso della cosiddetta “curva di impatto delle notizie” ed è un effetto che inevitabilmente produce delle ripercussioni importanti sull’andamento della stima della varianza (e quindi sul Valore a Rischio) come potremo confermare dai risultati condotti sui casi pratici.
Per conseguire i valori di stima dei parametri del modello EGARCH (cioè a, b, g, f e m) abbiamo impiegato il metodo di stima della massima verosimiglianza, come d’altronde anche Nelson suggerisce.
Per la risoluzione, i dati sono stati implementati nel software Eviews 3.0 e per la massimizzazione della funzione di verosimiglianza si è fatto uso di un particolare algoritmo, denominato BHHH che procede per iterazioni successive basandosi su un algoritmo di tipo “gradiente” per la ricerca di ottimi.
L’analisi del VAR è stata condotta sul mercato finanziario italiano, in particolare sull’indice di borsa del Mib30 e sui titolo azionari Banca Toscana e Banca di Roma.
Ovviamente c’è da precisare che nel giungere a questi valori sono state prima verificate con risultati soddisfacenti le condizioni che ci hanno permesso di applicare sulla serie il delta garch model.