Il Valore a Rischio: metodi basati sull'uso di serie storiche eteroschedastiche. Un'applicazione al mercato italiano

 IV 
Nel seguito l uso di particolari indici di correlazione (detti  beta ) sono 
stati introdotti con l intenzione di permettere analisi piø specifiche. 
Nella valutazione quantitativa del rischio di recente si sono affermate 
nuove metodologie spesso frutto della pratica finanziaria, come appunto 
il Valore a Rischio (VAR) del quale ci occuperemo in questo lavoro di 
tesi. 
Per la letteratura standard si rimanda a >-2@ >02@ >'3@ per 
sviluppi piø recenti segnaliamo invece >$5@ >'2@ >%(@
>(0@
Il VAR venne per la prima volta utilizzato dalle maggiori societ  
finanziarie americane negli anni 80 per misurare il rischio dei loro 
portafogli. 
Da quel momento il suo uso Ł andato via via crescendo fino a trovare 
una codifica normativa in ambito legislativo >%&D@, >%&E@ 
Tra i vantaggi del VAR c Ł quello di essere un metodo integrato che pu  
prendere in considerazione differenti mercati e differenti tipologie di 
rischio, combinando tutti i fattori di rischiosit  in unico numero, 
indicatore generale della pericolosit  nelle posizioni assunte. 
Supponiamo di essere i responsabili nella nostra compagnia per le 
posizioni nel mercato estero. I dirigenti a capo della societ  vorrebbero 
sapere le perdite che potrebbero subire nell immediato futuro. Essi in 
pratica vogliono conoscere qual Ł il rischio di mercato che la societ  sta 
prendendo. 
Come rispondere a tale domanda? il Valore a Rischio pu  essere lo 
strumento piø utile e piø idoneo al tempo stesso per dare risposta al 
problema posto. 
Da un punto di vista tecnico il VAR Ł una stima, con un adeguato 
intervallo di confidenza, delle massime perdite di un determinato 
portafoglio in un determinato intervallo di tempo. 
 V 
Il grado di confidenza Ł tipicamente posto al 95%, 97.5%, 99% etc. 
L'orizzonte temporale d'interesse pu  essere di un giorno, di una 
settimana o di un mese a seconda delle esigenze specifiche. 
Per il calcolo di tale stima sono richiesti come minimo i prezzi correnti 
di tutte le attivit  del portafoglio, le volatilit  e le correlazioni tra di esse. 
Approccio che sovente viene utilizzato nella pratica per ottenere queste 
stime Ł quello dei dati storici. 
In questo caso risulta di enorme importanza la qualit  dei dati utilizzati. 
Infatti, piccoli errori nella serie temporale possono influire 
negativamente sul calcolo di queste variabili, e possono quindi creare 
stime errate del rischio. 
RiskMetrics della J.P. Morgan >02@ Ł un esempio piø che esauriente 
dell utilizzazione di stime storiche calcolate e fornite da enti esterni. 
Esso, nella pratica, consiste nella stima giornaliera delle volatilit  e delle 
correlazioni di un gran numero di tassi e prezzi, comprendendo le valute, 
i tassi d interesse, le merci e gli indici. 
Il calcolo delle diverse stime viene realizzato mediante aggiustamento 
dei dati attraverso tecniche che danno maggior importanza a quelli piø 
recenti piuttosto che a quelli piø vecchi: a tal fine, RiskMetrics utilizza 
medie mobili esponenziali dei prezzi storici delle attivit , come base per 
ottenere le stime della volatilit  e delle correlazioni. 
Nella letteratura finanziaria piø recente hanno trovato posto metodi 
alternativi a quello usato da RiskMetrics come quelli basati sull uso di 
modelli ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 
>(1@>%2@
Questi modelli si fondano sull evidenza empirica della variazione 
temporale della varianza delle serie storiche esaminate. 
 VI 
Per esempio, la figura successiva traccia il grafico del tassi di cambio 
giornalieri dollaro/sterlina per il ventennio dal 1974 al 1994, per un 
totale di 5192 osservazioni. 
 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
1
3
1
2
6
1
3
9
1
5
2
1
6
5
1
7
8
1
9
1
1
1
0
4
1
1
1
7
1
1
3
0
1
1
4
3
1
1
5
6
1
1
6
9
1
1
8
2
1
1
9
5
1
2
0
8
1
2
2
1
1
2
3
4
1
2
4
7
1
2
6
0
1
2
7
3
1
2
8
6
1
2
9
9
1
3
1
2
1
3
2
5
1
3
3
8
1
3
5
1
1
3
6
4
1
3
7
7
1
3
9
0
1
4
0
3
1
4
1
6
1
4
2
9
1
4
4
2
1
4
5
5
1
4
6
8
1
4
8
1
1
4
9
4
1
5
0
7
1
osservazioni
t
a
s
s
o
 
Questo tasso Ł stato molto piø volatile in alcuni periodi rispetto ad altri.  
Variazioni nella varianza sono abbastanza importanti per comprendere i 
mercati finanziari, poichØ gli investitori richiedono rendimenti maggiori 
al crescere della rischiosit  degli investimenti. 
Una varianza che varia nel tempo, fenomeno che attribuisce alla serie la 
denominazione di eteroschedastica, ha anche implicazioni per la 
validit  e l efficienza dell inferenza statistica sui parametri che regolano 
le dinamiche dei prezzi, dei tassi, dei cambi, etc., etc. 
I modelli ARCH e le loro successive generalizzazioni denominate 
GARCH, presuppongono l analisi delle distribuzione di probabilit  delle 
variabili finanziarie in esame condizionate al loro comportamento 
passato, perchØ quest aspetto informativo non pu  andare perso nello 
studio di una serie storica di dati finanziari. 
 VII 
In termini tecnici, i modelli eteroschedastici in questione si fondano 
sull assunzione che la varianza condizionata segua un processo di 
tipo autoregressivo. 
Le caratteristiche che la regressione presenta pu  avere differenze piø o 
meno accentuate a seconda della metodologia GARCH selezionata. 
Nell ambito del nostro studio l attenzione verr  rivolta su una particolare 
specificazione, il GARCH esponenziale >1(@
Quale modello di interpretazione della varianza stocastica di serie 
storiche, il GARCH esponenziale verr  applicato in questa tesi nella 
metodologia del Valore a Rischio come strumento per determinare una 
stima adeguata dello scarto quadratico medio del rendimento dell attivit  
finanziaria sottoposta ad esame. 
Il lavoro che presentiamo Ł stato suddiviso nel modo seguente. 
Nel Capitolo 1 illustriamo la moderna teoria del portafoglio nella 
versione originaria di Markovitz e poi nella riformulazione che porta al 
Capital Asset Pricing Model (CAPM). 
Nel Capitolo 2 dopo una breve rassegna sui principali processi stocastici 
parametrici, introduciamo i modelli eteroschedastici ARCH e GARCH. 
Come gi  detto, particolare attenzione viene rivolta al modello GARCH 
esponenziale (EGARCH), preminente nella nostra analisi empirica 
successiva, e sull algoritmo utilizzato nelle stime di massima 
verosimiglianza necessarie a calibrare i parametri che lo regolano. 
Il Valore a Rischio (VAR) Ł invece l argomento principale del 
successivo Capitolo 3. Dopo una breve analisi tecnica e formale, 
vengono presentate le motivazioni principali relative all adozione di 
modelli delta-garch per la determinazione del VAR in un contesto 
dinamico: la stima VAR va continuamente aggiornata ricalcolata 
condizionatamente alle informazioni che si sono accumulate. 
 VIII 
Si conclude l esposizione illustrando l impiego dell EGARCH 
nell ambito nel calcolo del Valore a Rischio secondo studi condotti da 
Hsieh >+6@. 
Nel conclusivo Capitolo 4 descriviamo i risultati delle prove empiriche 
effettuate sulla base dei modelli presentati in precedenza su dati 
finanziari relativi al mercato italiano. Vengono presi in esame in 
particolare l indice azionario Mib30 nonchØ alcuni titoli mobiliari. 
Lo studio ci ha permesso di poter comparare il Valore a Rischio 
mediante differenti procedure di stima della varianza. 
Questi risultati, infatti, hanno messo in mostra le diverse caratteristiche 
del modello GARCH esponenziale rispetto ad un GARCH semplice. 
A titolo di esempio, nella figura successiva Ł raffigurato l andamento del 
VAR ottenuto sul titolo Banca di Roma con le due distinte procedure di 
stima sopra citate. 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97 gen-98 gen-99 gen-00
osservazioni
V
A
R
GARCH(2,1) EGARCH
 
Altro aspetto interessante ci viene fornito invece dal confronto dei 
risultati conseguiti mediante metodologie di calcolo differenti dai 
modelli GARCH. 
 IX 
Nel concreto si Ł fatto uso degli studi portati a termine dalla laureanda 
Cascegna Liliana >&$@ circa la metodologia CAVIAR >(0@. 
A tale proposito, nella figura successiva si possono osservare le 
differenze che sono state riscontrate calcolando il VAR sul titolo Banca 
Toscana. 
 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
mag-86 mag-87 mag-88 mag-89 mag-90 mag-91 mag-92 mag-93 mag-94 mag-95 mag-96 mag-97 mag-98 mag-99
osservazioni
V
A
R
GARCH(1,2) CAVIAR EGARCH
 
In generale, i  risultati hanno mostrato una certa somiglianza delle 
metodologie adottate, soprattutto riguardante proprio la determinazione 
del Valore a Rischio su titoli azionari. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
ff1325


 
 1 2   

  1 2   

 
 1 2   

 
 
 
 
 
 
 
 
1) LA SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO: UN INTRODUZIONE 
 
La  Selezione del Portafoglio  proposta originariamente da 
H.Markowitz nel  52, rappresenta indubbiamente uno degli argomenti 
piø classici della moderna teoria finanziaria [EG95]. 
Essa si propone di studiare la migliore ripartizione di un capitale tra piø 
investimenti il cui rendimento Ł in generale aleatorio. 
Nel corso della trattazione, prenderemo in esame esclusivamente 
investimenti in titoli finanziari. 
Al rendimento aleatorio Ł associato il concetto di rischio, ossia, la 
possibilit  che a fronte di un investimento si possa riscontrare un valore 
futuro inferiore rispetto a quello che Ł il valore atteso. 
Indicheremo con Ri la variabile casuale che descrive il tasso di 
rendimento del titolo i (per i=1,2, n) in un certo intervallo di tempo 
[0,T]. 
Siano inoltre, µi=E(Ri) e σ2i=E(Ri-µi)2, la media e la varianza di Ri per 
i=1,2, n. 
 2 
La varianza del rendimento, o il suo scarto quadratico medio 
σi= 2)( iiRE µ− , saranno assunti come indicatori statistici o misure della 
rischiosit  di un titolo. 
Questo punto di vista sar  mantenuto anche nel seguito assieme 
all ipotesi di considerare le variabili Ri distribuite in modo normale, 
cosicchØ, i soli valori della media e della varianza sono sufficienti a 
determinare l intera distribuzione, ovvero, equivalentemente, tutti i suoi 
momenti. 
Presupposto alla teoria di Markowitz che intendiamo presentare, sono i 
seguenti ragionevoli criteri che risultano ben illustrati dal grafico 
seguente: 
 
 
 
Ogni punto del piano costituisce una ipotetica combinazione tra 
rendimento atteso e rischio che potrebbe essere selezionata. 
Noi abbiamo immaginato, per semplicit , di poter scegliere solo tra 
cinque differenti possibili aggregazioni rischio-rendimento (i punti 
1,2,3,4,5). 
 3 
Nella valutazione viene invocato il principio di non saziet : per 
l individuo, a parit  di rischio, una ricchezza maggiore Ł preferita ad una 
ricchezza minore. 
Selezionando un livello di rischio pari al 30%, Ł indubbio che la scelta 
migliore ricadrebbe sull investimento 5 dotato di un rendimento 
maggiore, 20%, piuttosto che le combinazioni 2 e 4.
     
Invece, se cercassimo di contrarre il rischio prefissandolo ad un valore 
inferiore a quello precedente (20%), risulta conveniente far cadere la 
scelta sulla combinazione 1 in grado di garantire anch essa un maggiore 
rendimento rispetto al punto 3 dotato del medesimo livello di rischio. 
Pertanto, sulla base del principio invocato, questo modo di procedere 
esclude le opportunit  2, 3 e 4 restringendo la scelta ad 1 e 5. 
Vedremo piø avanti che per decidere tra 1 e 5, o tra eventuali mix di 
quote tra questi due titoli, Ł necessario specificare gusti e preferenze 
dell individuo che opera la scelta. 
Supponiamo ora di avere un portafoglio P composto da n titoli differenti. 
Indichiamo con xi la frazione del capitale disponibile investita nell i-
esima attivit  e assumiamo inoltre che tutto il capitale venga impiegato 
nell investimento, quindi: 
 
 (1.1) 1
1
=∑
=
n
i
i
x  
 
Il rendimento del portafoglio P per definizione sar  pari a: 
 
(1.2) ∑
=
=
n
i
iiP RxR
1
. 
 
Ne consegue che, il rendimento atteso Ł dato da: 
 4 
  
(1.3) ∑
=
=
n
i
iiP RExRE
1
)()( . 
 
Il rischio del portafoglio P viene identificato con il valore della varianza 
di RP. 
Per due fissati titoli i e j, sia σij il valore della covarianza tra i rispettivi 
rendimenti: 
 
(1.4) )])([(),cov(
jjiijiij
RRERR µµσ −−==  
 
Da questa relazione segue che, il rischio di un portafoglio costituito da 
questi due titoli solamente con quote (xi,xj) Ł data da: 
 
(1.5) 
ijjijjiiP xxxx σσσσ 2
22222 ++=  
 
Generalizzando al caso di n titoli, il valore del rischio, invece, risulta 
dato dalla seguente espressione: 
 
(1.6) ∑ ∑∑+=
i i j
ijjiiiP xxx σσσ 2
222
 per i>j              
 
oppure: 
 
(1.7) ∑ ∑∑+=
i i j
ijjiiiP xxx σσσ
222
       per i≠j 
 
Secondo Markovitz, un portafoglio P verr  selezionato prendendo in 
esame il suo livello di rischio σP ed il suo rendimento atteso E(RP) e 
nessun altro tipo di informazione. 
 5 
L obiettivo dell investitore sar  in prima istanza quello di selezionare 
quei portafogli che a parit  di rendimento comportino il minimo rischio. 
Le correlazioni tra i vari titoli giocano un ruolo chiave in tale processo 
decisionale. 
Spesso si preferisce per descrivere questo comportamento, prendere in 
esame i valori dei coefficienti di correlazione: 
 
 (1.8)  
ji
ij
jjii
jjii
ij
RERE
RRE
r
σσ
σ
µµ
µµ
=
−−
−−
=
22
)()(
)])([(
 
 
invece delle covarianze σij, per le particolari propriet  di cui esso gode. 
A differenza infatti della covarianza, che pu  assumere valori tra +∞ e -
∞, il coefficiente di correlazione Ł sempre compreso tra +1 e  1. 
Vale la pena di considerare, gi  da ora, i casi limite dei valori del 
coefficiente di correlazione ed il significato ad esso attribuibile: 
• quando rij=1, il che implica sicuramente che σij>0, allora le due 
variabili si dicono correlate perfettamente in modo positivo: i 
rendimenti dei due titoli crescono assieme o decrescono assieme; 
• quando rij=0, il che corrisponde ad un σij nullo, gli andamenti delle 
variabili Ri e Rj non risultano tra loro correlati; 
• quando rij=-1, il che implica un σij<0, allora le due variabili sono 
perfettamente correlate in modo negativo, cioŁ, i rendimenti si 
muovono in direzione opposta: quando un titolo ha un rendimento 
crescente, il rendimento dell altro decresce e viceversa. 
E  evidente perci  che, detenere in portafoglio due o piø titoli tra loro 
perfettamente correlati in modo negativo, aiuta a mantenerne invariato il 
valore contenendone il rischio. 
 6 
Bisogna precisare per  che, nei mercati reali, specie se domestici, Ł 
generalmente difficile trovare dei corsi che verificano una tale 
condizione. 
 
 
2) LA DIVERSIFICAZIONE 
 
L equazione (1.7), calcolata nel precedente paragrafo, fornisce il rischio 
di un portafoglio come somma del rischio dei singoli titoli aumentato 
d'una componente aggiuntiva di rischio che deriva dalla relazione 
intercorrente tra essi. 
Dalla definizione del coefficiente di correlazione, si ricava che σiσjrij=σij 
e sostituendo nella (1.7) si ottiene: 
 
 (2.1)        ∑ ∑∑ ∑ ∑+=+=
i i j i j
ijjijiiiijjijiiiP rxxxrxxx ][
2222 σσσσσσσ  
 
dove la seconda sommatoria sono su (i,j) tale che i≠j. 
Il termine entro la parentesi quadra rappresenta il contributo che il 
generico titolo i apporta al rischio del portafoglio e pu  essere scomposto 
in due componenti: 
• xiσ
2
i che rappresenta l incertezza del rendimento del titolo stesso; 
maggiore Ł il valore di σ2i maggiore Ł la rischiosit  del titolo i in 
termini assoluti; ovviamente quanto minore Ł la partecipazione del 
titolo al portafoglio in termini di valore (cioŁ quanto Ł minore xi) 
tanto Ł minore tale contributo al rischio; 
 7 
• ∑
j
xjσiσjrij che quantifica il rischio derivante della correlazione con 
gli altri titoli presenti nel portafoglio (piø alto Ł il valore di rij 
maggiore sar  σ2P).  
Ci  significa che l inclusione del titolo i sar  valutato in maniera diversa, 
se inserito in portafogli diversi, a seconda dei differenti valori assunti dal 
coefficiente di correlazione. 
Questo aspetto Ł molto importante perchØ introduce vantaggi  notevoli di 
contrazione del rischio di portafogli dovuta alla diversificazione, cioŁ 
all inclusione di un mix elevato di titoli. 
Con l aumentare del numero n di titoli presente nel portafoglio (n→∞), 
la quota di capitale riservata ad ognuno di essi si riduce sempre piø 
(xi→0). 
Quindi quella che Ł stata individuata come la componente specifica di 
rischio (xiσ
2
i) tender  a ridursi progressivamente lasciando maggiore 
importanza al secondo termine (xjσiσjrij), nel quale gioca un ruolo 
fondamentale il coefficiente di correlazione. 
Quando la diversificazione Ł lasciata al caso (la cosiddetta 
diversificazione semplice o  naif ) ignorando il valore delle covarianze, 
non sempre si riesce ad ottenere una forte riduzione del rischio. 
Supponiamo ad esempio di ripartire in modo identico le risorse tra gli n 
titoli, allora  per xi=(1/n ) abbiamo dalla (2.1): 
 
(2.2) ∑ ∑∑+=
i i j
ijjiiP rnnn σσσσ )
1)(1()1( 222  
 
e poichØ σij=σiσjrij 
 
 (2.3) ∑ ∑∑+=
i i j
ijiP nnn σσσ )
1)(1()1( 222