La crescita della popolazione

Il modello di Solow semplificato mostra che l’accumulazione di capitale non può spiegare una crescita economica sostenuta e duratura.
Per spiegare la crescita duratura dobbiamo espandere il modello di solow incorporandovi altri 2 elementi che stimolano la  crescita economica: l’aumento della popolazione e l’innovazione tecnologica.

Lo stato stazionario con popolazione in crescita
Come visto in precedenza, gli investimenti aumentano lo stock di capitale e gli ammortamenti lo diminuiscono. L’aumento del numero di lavoratori provoca la diminuzione della quantità di capitale per lavoratore; k = K/L (capitale per lavoratore), y = Y/L (produzione per lavoratore).
La variazione dello stock di capitale per lavoratore è data: Δk = i – (δ + n)k. Questa equazione mostra che investimenti, ammortamenti e crescita della popolazione (n) influenzano lo stock di capitale per lavoratore. Il termine (δ + n)k, cioè la quantità di investimenti necessaria per mantenere costante la quantità di capitale per lavoratore denota gli investimenti di sviluppo uniforme. La quantità di investimenti necessaria per dotare ogni nuovo lavoratore di capitale è nk, poiché n sono i nuovi lavoratori che entrano nella forza lavoro, e k è lo stock di capitale per ciascun lavoratore.
La nostra analisi della crescita della popolazione procede come quelle sviluppate in precedenza:  
Δk = s f(k) – (δ + n)k.
Un’economia si trova in stato stazionario se il capitale per lavoratore è costante.
Se k < k* gli investimenti superano gli investimenti di sviluppo uniforme e k tende ad aumentare.
Se k > k* gli investimenti son inferiori a quelli di sviluppo uniforme e k tende a diminuire.
Nello stato stazionario l’effetto positivo degli investimenti sullo stock di capitale per lavoratore, bilancia esattamente gli effetti negativi degli ammortamenti e della crescita della popolazione:     
se k =k* -> Δk = 0, i* =  δk* + nk*.
Nel momento in cui l’economia si trova in uno stato stazionario, gli investimenti svolgono due funzioni:
Sostituire il capitale svalutato Δk*
Provvedere i nuovi lavoratori di una dotazione di capitale adeguate nk*

Gli effetti della crescita della popolazione
La crescita della popolazione agisce sul modello si Solow in 3 modi:
In primo luogo, ci avvicina a una spiegazione di una crescita sostenuta e persistente: nello stato stazionario, con la popolazione in crescita, il capitale per lavoratore e la produzione per lavoratore sono costanti. Ma dato che la forza lavoro aumenta a un tasso n, il capitale totale e la produzione totale debbono crescere al medesimo tasso n.
In secondo luogo, la crescita della popolazione ci fornisce un’ulteriore spiegazione del fatto che alcuni paesi sono ricchi e altri poveri. Consideriamo gli effetti di un aumento della crescita della popolazione; un aumento del tasso di crescita della popolazione riduce il livello di capitale per lavoratore distato stazionario. Il modello di Solow prevede dunque che i paesi con un tasso di crescita della popolazione più elevato hanno livelli di PIL pro capite più bassi
Infine, la crescita della popolazione influenza il nostro criterio per determinare il livello di capitale della regola aurea (che massimizza il consumo). Per valutare come cambia tale criterio, si rammenti che il consumo per lavoratore è: c = y – i
Poiché il prodotto di stato stazionario è f(k*) e gli investimenti di stato stazionario sono (δ + n) k*
possiamo esprimere il consumo di stato stazionario come:  c* = f (k*) - (δ + n) k*
Utilizzando la medesima procedura utilizzata precedentemente, si giunge alla conclusione che il livello di k* che massimizza il consumo, è quello per cui: PMK = δ + n
O analogamente: PMK - δ = n
Nello stato stazionario della regola aurea, il prodotto marginale del capitale al netto degli ammortamenti è uguale al tasso di crescita della popolazione.

Conclusioni. il modello di Solow mostra che il risparmio e la crescita della popolazione deerminano lo stock di capitale di stato stazionario dell’economia e, di conseguenza, il livello di reddito pro capite si stato stazionario.