Il livello di capitale della regola aurea

Determinando il tasso di risparmio, il governo determina automaticamente lo stato stazionario dell’economia.
Nella scelta di uno stato stazionario l’obiettivo dei governanti è la massimizzazione del benessere per gli individui che fanno parte della società: ciò che loro importa è la quantità di beni e servizi che possono consumare. Un buon governatore sceglie lo stato stazionario in cui è massimo il consumo; il valore k di stato stazionario che massimizza il consumo è detto livello di capitale della regola aurea (k*gold).
Per stabilire se un’economia si trova a livello di capitale della regola aurea, dobbiamo prima determinare il consumo di stato stazionario per lavoratore, e successivamente potremo stabilire quale stato stazionario massimizza il consumo.
Partiamo dall’identità contabile del reddito nazionale y = c + i ->c = y – i (il consumo non è altro che la differenza tra prodotto e investimenti)
Nello stato stazionario il prodotto per lavoratore è dato da f (k*), dove k* è lo stock di capitale per lavoratore di stato stazionario. Dato che i = δk*, sostituendo f(k*) a y e δk* ad i, possiamo riscrivere l’equazione del consumo per lavoratore di stato stazionario:
c* = f(k*) – δk*
(il consumo di stato stazionario è ciò che rimane della produzione di stato stazionario dove aver pagato gli ammortamenti).
NB 1) più capitale significa più prodotto; 2) più capitale significa anche una quota maggiore di prodotto da destinare alla sostituzione del capitale logorato dall’uso

Nel mettere a confronto diversi stati stazionari, dobbiamo tenere ben presente, che diversi livelli di stock di capitale hanno effetto sia sul prodotto sia sugli ammortamenti:
se lo stock di capitale < del livello della regola aurea, un suo aumento fa aumentare il prodotto in misura maggiore degli ammortamenti e quindi innalza il consumo; (la funzione di produzione ha pendenza più ripida di quella della retta δk* e perciò la distanza tra le 2 curve, pari al consumo, aumenta all’aumentare di k*
stock di capitale > livello della regola aurea, la pendenza della curva di produzione è più piatta di quella di δk* e perciò la distanza tra le due curve diminuisce all’aumentare di k*.
Al livello di capitale della regola aurea, la funzione di produzione e δk* hanno la medesima pendenza e il consumo è a livello massimo.
Rammentando che la pendenza della funzione di produzione corrisponde al prodotto marginale del capitale (PMK) e che la pendenza della curva dell’ammortamento è pari a δ, la regola aurea può essere descritta dall’equazione PMK = δ (prodotto marginale del capitale eguaglia il tasso di ammortamento).
Supponiamo che l’economia disponga di uno stock di capitale di stato stazionario k* e che il governo stia considerando l’ipotesi di aumentare lo stock a (k* + 1); la quantità di prodotto aggregato aggiuntivo che si può ottenere da tale aumento dello stock di capitale è f(k*+1) – f(k*), pari a PMK. La quantità aggiuntiva di ammortamento generata  è pari al tasso di ammortamento δ. L’effetto netto dell’aumento unitario dello stock di capitale di stato stazionario è pari a PMK – δ.
Se PMK – δ > 0 un aumento del capitale genera un aumento del consumo, quindi k* deve essere al di sotto del livello della regola aurea;
Se PMK – δ < 0 un aumento del capitale genera una diminuzione del consumo, quindi k* deve essere al di sopra del livello della regola aurea.
La regola aurea può essere descritta dalla seguente condizione: PMK – δ = 0 (prodotto marginale del capitale al netto dell’ammortamento pari a 0). Tale condizione può essere utilizzata dai governi per individuare il livello di capitale della regola aurea in qualunque economia.

La transizione allo stato stazionario nella regola aurea
Supponiamo che l’economia si trovi in uno stato stazionario diverso da quello della regola aurea. Consideriamo due casi: 
l’economia potrebbe partire da uno stock di capitale superiore a quello della regola aurea.
In tal caso il governo dovrebbe perseguire una politica mirata alla riduzione del tasso di risparmio per far contrarre lo stock di capitale, l’economia potrebbe partire da uno stock di capitale inferiore a quello della regola aurea. Il governo deve fare aumentare il tasso di risparmio per accumulare capitale fino a raggiungere la regola aurea.

Quando l’economia parte da una situazione iniziale al di sopra della regola aurea, raggiungere la regola aurea provoca un aumento del consumo durante tutto il processo; viceversa per raggiungere la regola aurea si richiede un’iniziale riduzione del consumo per aumentare il consumo nel futuro.