La teoria della crescita: l’accumulazione di capitale

Il modello di crescita di Solow è configurato in modo da dimostrare che la crescita dello stock di capitale, la crescita della forza lavoro e le innovazioni tecnologiche che interagiscono nell’economia e influenzano la crescita del prodotto aggregato di beni e servizi.
Ricostruiamo il modello in fasi successive:
Analisi di come l’offerta e la domanda di beni determinano l’accumulazione di capitale  (ipotizziamo che la forza lavoro e la tecnologia siano un dato)
Eliminazione di entrambe le ipotesi: introducendo la forza lavoro, e successivamente il progresso tecnologico, come variabili

L’offerta e la domanda di beni
Attraverso l’analisi  dell’offerta e della domanda di beni possiamo determinare il livello del prodotto aggregato in un dato istante di tempo e la sua allocazione tra usi alternativi.
L’offerta di beni e la funzione di produzione.  Nel modello di crescita di Solow l’offerta di beni si basa sulla funzione di produzione (Y=F(K,L); tale modello ipotizza che la funzione di produzione abbia rendimenti di scala costanti (ipotesi realistica nella maggior parte dei casi): zY = F (zK, zL).
La funzione di produzione con rendimenti di scala costanti ci permette di analizzare tutte le quantità dell’economia in rapporto alla dimensione della forza lavoro: basta definire z = 1/L e sostituire nell’equazione per ottenere: Y/L = F (k/L, 1). L’ipotesi di rendimenti di scala costanti implica che la dimensione dell’economia, intesa come numero di lavoratori, non influenza il rapporto tra prodotto per lavoratore e capitale per lavoratore.
Ponendo k= K/L possiamo riscrivere la funzione come y = f (k) dove f (k)= f (k, 1).
La pendenza di tale funzione di produzione è il prodotto marginale del capitale PMK (prodotto aggiuntivo che un lavoratore realizza a fronte di un aumento unitario di capitale); in termini matematici si scrive PMK = f(k+1) – f(k)

La domanda di beni e la funzione di consumo. Nel modello di solow la domanda di beni deriva da consumo e investimenti. In altre parole il prodotto per lavoratore y si divide tra consumo per lavoratore “c” e investimenti per lavoratore “i”:    y = c + i (versione per lavoratore dell’identità contabile del reddito nazionale).
Il modello di solow ipotizza che ogni individuo risparmi una frazione “s” del proprio reddito e ne consumi una frazione pari a (1 – s):  c = (1 – s) y
Dove s, il tasso di risparmio, è un numero compreso tra 0 e 1.
Per stabilire cosa implica questa funzione di consumo in termini di investimenti, sostituiamo
 (1 – s )y a “c” nell’identità contabile del reddito nazionale e otteniamo:
y = (1 – s)y + i ->i = sy
Questa equazione mostra che gli investimenti eguagliano il risparmio; dunque il tasso di risparmio “s” corrisponde alla quota di reddito dedicata agli investimenti.
Abbiamo così introdotto due tra i principali ingredienti del modello di crescita di solow: la funzione di produzione e la funzione di consumo, che descrivono l’economia in ogni dato istante nel tempo. Per ogni dato stock di capitale k la funzione di produzione, y = f(k), determina la quantità di prodotto aggregato dell’economia e il tasso di risparmio, “s”, determina l’allocazione del prodotto aggregato tra consumo e investimenti.