Il moto in due e tre dimensioni

POSIZIONE E SPOSTAMENTO

Un modo usuale di localizzare un oggetto assimilabile ad una particella è per mezzo del vettore posizione r, un vettore che si estende da un punto di riferimento (di solito l'origine del sistema di coordinate) al punto in cui si trova l'oggetto. Secondo la notazione dei vettori unitari, possiamo scrivere:                                                         
r=xi+yj+zk
in cui xi, yj e zk sono i vettori componenti di r, e i coefficienti x,y e z sono le sue componenti scalari. Inoltre, quest'ultimo forniscono la posizione dell'oggetto rispetto all'origine lungo i tre assi. Per esempio: r=(-3m)i+(2m)j+(5m)k. Quando un corpo si muove il suo vettore posizione cambia in modo da puntare sempre dall'origine verso le diverse posizioni da questo occupate. Se è individuato dal vettore posizione r1 al tempo t1 e r2 al tempo t2 il suo vettore spostamento Δr durante l'intervallo del tempo vale:                                  Δr=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

VELOCITA' VETTORIALE MEDIA E ISTANTANEA

Se una particella subisce uno spostamento Δr in un intervallo di tempo Δt, la sua velocità vettoriale media v è: velocità vettoriale media=vettore spostamento/intervallo di tempo ossia:
v=Δr/Δt
Scrivendo questa equazione in termini di componenti vettoriali avremo:
v=Δxi+Δyj+Δzk/Δt=Δxi/Δt+Δyj/Δt+Δzk/Δt
Quando parliamo di velocità solitamente intendiamo velocità istantanea v in un dato istante. Questa v è il valore limite a cui tende v al tendere a zero dell'intervallo di tempo a quell'istante. Nel linguaggio dell'analisi matematica possiamo scrivere v come una derivata: v=dr/dt. Usando i versori: v=d/dt(xi+xy+zk)=dxì/dt+dyj/dt+dzk/dt, che si può semplificare scrivendo:
v=vxi+vyj+vzk

ACCELERAZIONE MEDIA E ACCELERAZIONE ISTANTANEA

Quando la velocità di una particella cambia da v1 a v2 in un intervallo Δt, la sua accelerazione media a durante tale intervallo è: a=variazione di velocità/intervallo di tempo, ossia:
a=v2-v1/Δt=Δv/Δt
Se riduciamo a zero Δt, si tende all'accelerazione istantanea a nell'istante t: a=dv/dt. Utilizzano la nozione dei versori: a=d/dt(vxi+vyj+vzk)=dxi/dt+dyj/dt+dzk/dt, che possiamo riscrivere come:
a=axi+ayj+azk
nella quale le tre componenti scalari del vettore accelerazione sono date da ax=dvx/dt, ay=dvy/dt e az=dvz/dt.