Il moto armonico semplice

Viviamo in un mondo di oscillazioni, cioè di movimenti che si ripetono. Lampadari oscillanti, barche che si dondolano all'ancora, il pulsare dei pistoni nei motori delle automobili, etc.
Una proprietà importante del moto oscillatorio è la sua frequenza, ossia il numero di oscillazioni compiute in ogni secondo. Il simbolo della frequenza è ν, e la sua unità di misura SI si chiama hertz (abbreviato in Hz):             
1hertz = 1Hz = 1 oscillazione al secondo = 1s-1
Un'altra quantità legata alla frequenza è il periodo T del moto, ossia il tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa (o un ciclo):
T = 1/ν
Qualsiasi movimento che si ripeta a intervalli regolari è definito moto periodico o moto armonico. Siamo qui interessati soltanto ai movimenti che si ripetono in un modo particolare, come quello rappresentato in figura.
Per questo tipo di moto lo spostamento della particella rispetto all'origine in funzione del tempo è:
x(t) = xmcos(ωt+θ)  (spostamento)
ove xm, ω e θ sono costanti. Questo tipo di movimento è chiamato moto armonico semplice: qui il moto periodico è una funzione sinusoidale del tempo. La quantità xm, una costante positiva che dipende da come è stata impressa l'oscillazione, si chiama ampiezza dell'oscillazione: l'indice “m” sta per massima, perché l'ampiezza rappresenta il massimo valore dello spostamento della particella nei due versi opposti. Poiché nella precedente equazione, la funzione coseno varia entro i limiti ± 1, lo spostamento x(t) varia entro i limiti ± xm. La quantità variabile nel tempo (ωt+θ) è definita, invece, fase del moto, e la costante θ costante di fase o angolo di fase. Il suo valore dipende dallo spostamento e dalla velocità della particella nell'istante t=0. Rimane da interpretare la costante ω, che prende il nome di pulsazione o frequenza angolare. Lo spostamento x(t) deve ritornare al suo valore iniziale quando è trascorso un tempo uguale al periodo T del moto. Ossia, per qualsiasi valore di t deve essere x(t)=x(t+T). Per semplificare il discorso, poniamo θ=0 nella x(t) = xmcos(ωt+θ); otteniamo così:              
xmcos(ωt) = xmcos[ω(t+T)]
La funzione coseno riprende per la prima volta lo stesso valore quando il suo argomento (ossia la fase) è aumentato di 2π radianti; possiamo allora scrivere l'equazione precedente come:
ω(t+T) = ωt+2π
da cui:                                                               
ωT = 2π
che combinata con T = 1/ν dà:                    
ω = 2π/T = 2πν
9.2 VELOCITA' E ACCELERAZIONE NEL MOTO ARMONICO SEMPLICE
Derivando l'equazione x(t) = xmcos(ωt+θ) si trova la velocità di una particella che si muove di moto armonico semplice:
v(t) = dx/dt = d/dt[xmcos(ωt+θ)],
ossia:                                             
v(t) = -ωxmsin(ωt+θ)      (velocità)
Analogamente all'ampiezza xm che compare nell'equazione x(t) = xmcos(ωt+θ), la quantità positiva vm=ωxm è chiamata ampiezza della velocità, e la velocità della particella oscillante varia entro i limiti ±vm = ±x(t) = ωxm. A questo punto, conoscendo la velocità v(t) di un moto armonico semplice e derivando ancora una volta possiamo trovare l'espressione della sua accelerazione. Dall'equazione della velocità v(t) = -ωxmsin(ωt+θ) otteniamo:
a(t) = dv/dt = d/dt[-ωxmsin(ωt+θ)]
ossia a(t) = -ω2xmcos(ωt+θ)   (accelerazione)
La quantità positiva ω2xm in quest'ultima equazione è chiamata ampiezza dell'accelerazione am e varia entro i limiti ±am=±ω2xm. Infine combinando le due equazioni: x(t)=xmcos(ωt+θ)(spostamento) e a(t) = -ω2xmcos(ωt+θ) (accelerazione) possiamo scrivere:
a(t) = -ω2x(t)
e dire che nel moto armonico semplice l'accelerazione è proporzionale allo spostamento ma di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione. Quindi quando lo spostamento ha il massimo valore positivo l'accelerazione ha il massimo valore negativo, e viceversa. E quando lo spostamento è nullo, anche l'accelerazione è nulla.