Una storia dei numeri trascendenti

3 INTRODUZIONE Quello di trascendenza è un concetto matematico elementare del quale, come studenti, s'inizia a scoprire qualcosa già a livello di scuola media superiore. In generale, si può affermare che sono indicati come trascendenti tutti gli oggetti (funzioni, numeri, curve, ecc.) ai quali non si può accedere impiegando solo le quattro operazioni, e quindi, ad esempio, tramite espressioni polinomiali o equazioni algebriche. In particolare, si dicono trascendenti i numeri, reali o complessi, che non siano radici di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi del tipo ax a x a x a n n n n n n 1 1 2 2 0 0K . Si può facilmente verificare che è possibile riformulare in modo equivalente questa definizione sostituendo a “interi” il termine “razionali” 1 . I numeri che non sono trascendenti, ossia che costituiscano una soluzione di un’equazione del tipo suddetto, si chiamano algebrici. Ovviamente, un qualunque numero reale non può che essere algebrico o trascendente, quindi con questa definizione il campo dei numeri reali viene ad essere ripartito in due sottoclassi, esattamente come avviene con la distinzione tra razionali ed irrazionali. La distinzione tra algebrici e trascendenti è però applicabile anche al campo complesso, ed ha quindi una valenza più ampia. Ad esempio il numero i è algebrico, perché radice dell’equazione x 2 10 , mentre il numero 1 1 l i ! φ ƒ , dove l è un intero complesso, vale a dire del tipo n im , con n e m interi, è trascendente 2 . Tutti i numeri razionali del tipo m n sono banalmente algebrici (in quanto soluzioni dell’equazione di primo grado a coefficienti interi nx m 0) e 1 Basta considerare che se tutti i coefficienti sono razionali, esprimendoli come frazioni e poi moltiplicando l’intera equazione per il minimo comune denominatore si ottiene un’equazione a coefficienti interi. 2 In effetti, tale numero è trascendente anche secondo una definizione di trascendenza più forte rispetto a quello da noi indicata, tutta interna al campo complesso; si veda a pag. 38 e in Appendice 2.