Una storia dei numeri trascendenti

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quindi tutti i numeri trascendenti sono irrazionali, mentre non valgono le 
proposizioni inverse; di conseguenza, l’insieme dei numeri reali è così 
rappresentabile: 
 
È da osservare che questo grafico non restituisce a livello visivo una 
caratteristica importante dei trascendenti, ossia che essi sono la maggioranza 
dei reali, anzi ne costituiscono la quasi totalità, come vedremo più avanti. 
  Da un punto di vista storico, la nascita e l’evoluzione del 
concetto di numero trascendente hanno seguito pressappoco quelle di tutta 
l’analisi, e i risultati veramente rilevanti sono giunti solo in tempi alquanto 
recenti. Come abbiamo visto, la definizione di numero trascendente 
presuppone quella di numero reale, quindi la sua comprensione è proceduta 
scontando gli stessi equivoci, che nascevano dal fatto che si usavano 
indifferentemente numeri intesi come lunghezze di segmenti e numeri intesi 
come allineamenti di cifre, perlopiù derivanti da operazioni su naturali. Per 
noi oggi è chiaro che si stavano usando due sistemi diversi e con origini 
separate, uno nella geometria e l’altro nell’algebra, l’associazione tra i quali è 
così intuitiva che era difficile discernerli. Il riconoscimento che i numeri 
ottenuti dai naturali con successive estensioni algebriche non sono 
sufficienti a trattare le grandezze geometriche, è coinciso in buona parte con 
il riconoscimento della diversa natura dei due tipi di numeri, e ha chiuso il 
lungo cammino dell’integrazione tra geometria e algebra. Tutt’oggi, i 
trascendenti possono essere considerati come quelli che “completano” il 
sistema numerico in modo da renderlo in grado di descrivere le grandezze 
geometriche. 
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Nel presente scritto andremo a ripercorrere le tappe 
fondamentali dell’evoluzione storica del concetto di numero trascendente, 
dedicando ampio spazio soprattutto ad alcune di loro che, oltre che 
d'indubbio rilievo storico, sono state ritenute utili, in chiave attuale, ad una 
comprensione più approfondita del concetto stesso. La storia della 
matematica ha, infatti, il pregio di riportare alla luce gli aspetti non formali 
d'ogni teoria, le ragioni delle scelte che l’hanno portata ad assumere la forma 
attuale, e i suoi rapporti con altri problemi e questioni, non sempre e non 
solo di carattere matematico. 
Questa caratteristica potrebbe essere particolarmente utile, a 
mio parere, a livello didattico. I manuali si limitano spesso a presentare 
concetti e teoremi come entità assolute e immutabili calate nel nostro 
mondo da alcuni pensatori sublimi, senza riferire del contesto storico ed 
umano, anche individuale, nel quale le idee hanno avuto origine. Mi 
domando quanta responsabilità abbia quest'impostazione nel fatto che molti 
studenti finiscono con lo sviluppare quel senso di rifiuto verso la matematica 
che è l’ostacolo più grosso, nonché la frustrazione peggiore, per ogni 
insegnante di questa materia. E mi domando anche se non sarebbe possibile 
e opportuno, dopo aver opportunamente rifornito di formule e teoremi gli 
studenti, illustrare loro la genesi storica di quanto hanno appena appreso in 
modo da fornire una chiave d'accesso al senso profondo di quanto proposto 
(o imposto) nonché la possibilità di capire che non si tratta d’altro che di 
pensieri, per quanto raffinati, di esseri umani come loro. 
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Capitolo 1 
ORIGINE DEL CONCETTO E PRIME SCOPERTE  
Il concetto di numero trascendente non è molto antico, nella 
storia della matematica. Se le prime avvisaglie della sua nascita si possono far 
risalire al diciassettesimo secolo, esso vide la luce solo nel diciottesimo, e le 
prime scoperte rilevanti risalgono al diciannovesimo. Non esiste quindi, a 
rigore, una storia dei numeri trascendenti anteriore al 1600, ma in questo 
capitolo andremo a tracciare un quadro dello sviluppo dei vari filoni di 
studio che condussero ai traguardi di nostro più diretto interesse. 
Iniziamo con il rimarcare che l’età classica, e forse la stessa 
preistoria, conoscevano già un numero trascendente, forse il più importante 
di tutti: il pi greco. Le prime testimonianze scritte su di esso risalgono al 
XVII secolo avanti Cristo, e compaiono in documenti egizi e babilonesi in 
cui si assume già, evidentemente, che il rapporto tra circonferenza e 
diametro sia una costante e di questa costante si dà una stima all’interno di 
alcuni calcoli. Prevedibilmente, tali stime sono inesatte, ma, considerando la 
cultura matematica di quei popoli, essenzialmente un corpo di regole 
pratiche per risolvere problemi, appare chiaro che questo non faceva una 
gran differenza. Il concetto di valore irrazionale esatto era lungi da venire, e, 
d’altronde, anche in epoche più recenti alcune culture si sono addirittura 
sbrigativamente accontentate di approssimare Σ con l’intero 3
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. 
Egiziani e Babilonesi hanno un ruolo importante all’interno 
della nostra storia anche per un altro motivo, e cioè perché con essi nasce e 
muove i primi passi l’algebra. Sarà nell’ambito di questa branca della 
matematica che nasceranno nuovi numeri quali i negativi, gli irrazionali o i 
complessi, e dal punto in cui la sua capacità di estendere il sistema numerico 
si esaurisce nascerà anche la categoria dei trascendenti, termine dovuto 
                                                 
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 Tale valutazione sopravvive tutt’oggi; interpellando un anziano artigiano, che si accingeva a costruire 
un fusto cilindrico di lamiera, su quanta ne avrebbe tagliata per la superficie laterale, mi sono 
sentito rispondere:- Circa tre volte [il diametro della base]-. 
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proprio alla loro caratteristica di “trascendere” le possibilità dell’algebra. 
Anche in questo settore, però, nonostante secoli e secoli di attività, le due 
civiltà non si spinsero molto lontano. 
Con i greci, le cose cominciarono a cambiare, e per quanto 
riguarda le conoscenze su  Σ, un primo grosso cambiamento fu proprio a 
livello concettuale. Infatti, il forte senso del rigore logico che caratterizzò la 
matematica greca richiedeva che le quantità considerate fossero sempre 
intese come esatte, e di conseguenza i Greci svilupparono una teoria delle 
grandezze rigorosa, basata principalmente sulla geometria, che fece anche da 
anticipatrice del concetto di numero reale. Nel loro pensiero matematico 
così preciso, il rapporto di lunghezze di segmenti doveva comunque essere 
una quantità esatta, anche se non nota, e i Greci furono così i primi a 
rendersi conto che tutti i valori forniti fino ad allora per  Σ, in quanto 
ottenuti con metodi empirici o costruzioni approssimate, non erano quello 
“vero”. Essi si posero allora il problema di determinare questo valore vero, e 
lo affrontarono nel modo a loro più congeniale, ossia in ambito prettamente 
geometrico. 
La geometria greca, com’è noto, rappresenta un’astrazione delle 
costruzioni grafiche ottenibili su un foglio usando riga e compasso, e non si 
spinse mai molto oltre i limiti insiti in tale origine; curve particolari, non 
costruibili con riga e compasso se non per punti, furono scoperte e 
utilizzate, ma, escluse le coniche, con ben scarsi sviluppi. In un quadro di 
conoscenze così strutturato, i matematici di scuola greca formularono il 
problema di determinare  Σ in questi termini: trovare una costruzione 
geometrica unicamente basata sull’uso di linee rette e circonferenze 
(equivalenti astratti dell’uso di riga e compasso) che, a partire da un cerchio 
dato, produca un quadrato di uguale area; è facile verificare che questo 
problema è equivalente a quello di determinare, con le stesse regole, un 
segmento lungo pi greco volte uno assegnato. Tale ipotetica costruzione 
prese il nome di quadratura del cerchio, e la sua ricerca finì col raccogliere gli 
sforzi di migliaia di studiosi nei secoli successivi, divenendo così famosa da 
entrare nel parlare comune come sinonimo di problema astruso e 
probabilmente irresolubile. Paradossalmente, il problema della quadratura 
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del cerchio, nato dal desiderio di determinare in senso geometrico il valore 
di Σ, col passare degli anni iniziò a vivere una vita autonoma, perché di Σ si 
era comunque giunti a produrre un’approssimazione numerica più che 
sufficiente per tutti i fini pratici. Il problema continuava ad interessare di per 
sé, soprattutto perché antico ed irrisolto, e questo spinse molti ad indagare il 
problema del rapporto tra circonferenza e diametro da un punto di vista 
teorico, per capire come e perché si potevano mettere in relazione queste 
due grandezze. In una sorta di contrappasso storico, dunque, il problema 
della quadratura del cerchio finì col diventare uno dei più importanti  tra gli 
stimoli ad indagare sulla natura di  Σ, e fu risolto in senso negativo, cioè 
dimostrandone l’impossibilità di risoluzione, proprio nell’ambito di questi 
studi. 
Il problema della quadratura del cerchio ebbe un’influenza solo 
indiretta, anche se rilevante, sugli studi intorno a  Σ e sullo sviluppo del 
concetto di trascendenza; ma i Greci portarono un contributo decisivo 
anche nel merito di questi studi, impostando con rigore la ricerca di un 
valore numerico approssimato di  Σ. Mentre infatti in precedenza ci si era 
basati su misurazioni fisiche o approssimazioni empiriche, essi furono in 
grado di fornire un metodo di calcolo che poteva produrre dei valori di  Σ 
vicini a quello vero quanto si volesse, o, meglio, tanto più vicini ad esso 
quanto più tempo si poteva dedicare ai conteggi. 
Tale metodo fu un po’ un sottoprodotto della raffinata 
geometria “esatta” greca, perché consisté in un adattamento del cosiddetto 
metodo di esaustione. Quest’ultimo, dovuto ad Eudosso, era stato 
sviluppato dai Greci per poter trattare figure geometriche complesse, come 
cerchio e piramide, ad esempio, e consisteva nell’approssimare queste figure, 
secondo certi criteri, con una successione di figure geometriche più semplici. 
Riuscendo a dimostrare che la differenza tra le misure della figura di 
partenza e quelle delle figure approssimanti poteva essere ridotta sotto ogni 
valore prefissato, si poteva arrivare, di solito con un po’ di ingegno e 
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procedendo per assurdo, a dimostrare alcune proprietà della figura di 
partenza facendo uso delle proprietà di quelle approssimanti
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. 
Archimede fu tra quelli che fecero ampio uso di questo metodo, 
e nel trattato La misura del cerchio, egli lo adattò al calcolo di Σ. Dapprima, con 
una applicazione tutto sommato tipica, approssimò la circonferenza con una 
successione di poligoni regolari che ad ogni passo raddoppiavano i lati e 
dimostrò che il rapporto tra perimetro dei poligoni e diametro poteva 
avvicinare quanto si voleva il rapporto tra circonferenza e diametro. Poi 
introdusse la vera novità: stabilì un legame aritmetico tra i valori ottenuti in 
due iterazioni successive, in modo da poter procedere autonomamente da 
ogni interpretazione geometrica e in maniera pressoché automatica da un 
passo all’altro. Infine effettuò i calcoli numerici fino al passo corrispondente 
ad un poligono di 96 lati, trovando che 3
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3
1
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         Σ , e fissando così, 
in pratica, le famose prime tre cifre di  Σ: tre e quattordici. Ovviamente, il 
procedimento rimaneva aperto, e niente vietava di incrementare il numero 
dei lati del poligono approssimante (e infatti altri lo fecero) quindi possiamo 
individuare nel metodo di Archimede il primo algoritmo di calcolo per valori 
di Σ approssimati ma “tendenti” a quello esatto. Un aspetto peculiare di Σ e 
degli altri numeri irrazionali faceva così la sua comparsa: il loro valore è il 
risultato di procedimenti infiniti, e, normalmente, può solo essere ottenuto 
come approssimato. Ricordiamo infine che Archimede fu il primo ad 
asserire che la circonferenza e il diametro di un cerchio sono grandezze 
incommensurabili.
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Abbiamo detto che la geometria greca confinò la sua attenzione 
alle figure ottenibili a partire dalla retta e dal cerchio. In effetti, curve diverse 
furono individuate e studiate, ad esempio la quadratrice di Ippia, la concoide 
di Nicomede e la cissoide di Diocle. I Greci chiamavano piane le curve 
costruibili con riga e compasso, solide quelle ottenute da sezioni coniche e 
lineari le altre; queste ultime rimasero sempre ai margini della “grande” 
                                                 
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 Si veda, ad esempio, Kline, Storia del pensiero matematico, pag. 97 e seg., pag. 123 e seg. 
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 R. Remmert, What is Σ?, in Numbers, Springer ed. 
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geometria e vennero anche chiamate meccaniche, con un certo valore 
spregiativo del termine, perché per disegnarle occorreva un qualche 
meccanismo. Ebbene, in questa distinzione possiamo rintracciare il primo 
abbozzo di una distinzione tra quantità algebriche e trascendenti che, più 
sviluppata, ritroveremo nella classificazione delle curve operata da Cartesio. 
Per quanto riguarda l’algebra, la matematica greca alessandrina 
assorbì quanto creato dalle civiltà egiziana e babilonese, e vi apportò nuovi 
significativi sviluppi, tra i quali decisamente importante è l’uso di simboli 
letterali e di quantità irrazionali da parte di Diofanto. Questi rimase però una 
figura abbastanza isolata, e la scuola greca non riuscì a sviluppare una teoria 
algebrica che potesse competere con gli eccezionali risultati ottenuti in 
campo geometrico; di questo sbilanciamento fece le spese la matematica 
posteriore almeno fino al 1400. 
Ci fu infine un’altra occasione in cui i Greci arrivarono a 
sfiorare i numeri trascendenti, anche stavolta nel periodo alessandrino, e 
questo accadde con la nascita e il primo sviluppo della trigonometria. Infatti, 
le funzioni trigonometriche sono trascendenti, vale a dire che in generale il 
loro valore è un numero trascendente, e i Greci furono i primi a compilare 
tabelle di valori approssimati di tali funzioni, ossia elenchi di valori 
approssimati di numeri trascendenti. 
Come su tutto il resto della matematica europea, anche su questi 
studi, soffocata la fiaccola greca, calò l’oscurità. Intanto, anche nel resto del 
mondo, passando più o meno per le stesse fasi già viste per le civiltà a noi 
più prossime, si era giunti a qualche risultato interessante. In Cina, nel 264 
d.C. venne ricavato per  Σ un valore con una precisione analoga a quella 
ottenuta da Archimede, e nel quinto secolo d.C. Tsu Chung Chi e suo figlio 
migliorarono questa approssimazione spingendola fino a sette cifre decimali 
esatte. In America, è ragionevole supporre che i Maya avessero fatto un 
buon lavoro, vista la raffinatezza delle loro conoscenze astronomiche, ma 
non ci sono rimasti documenti a conforto di questa ipotesi.