Teoremi Fondamentali sugli operatori lineari e ricerca delle loro applicazioni

Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti può essere incluso in uno schema astratto descritto con l'aiuto degli operatori lineari. Tra i problemi di tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomi interpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, la teoria degli integrali singolari, eccetera. In questi casi lo studio del problema, in forma astratta, si riconduce solitamente alla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alla dimostrazione della limitatezza di tali operatori, o ad altri problemi analoghi.
Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principali teoremi sugli operatori lineari. Di alcuni teoremi non diamo la dimostrazione originale, in quanto nel corso del lavoro di tesi si è trovata una dimostrazione più attinente a questo contesto, un esempio in questo senso è dato dalla dimostrazione del teorema di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltre osservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivoca e precisamente dalla teoria delle multifunzione a grafico convesso, per i quali è stato necessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: il teorema di Deutsch-Singer [4], criteri di continuità, criteri per mappe aperte, eccetera.