Introduzione
Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti pu µ o essere incluso
in uno schema astratto descritto con l'aiuto degli operatori lineari. Tra i problemi
di tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi di
equazioni di®erenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomi
interpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, lateoriadegli integrali singolari,
eccetera. Inquesticasilostudiodelproblema,informaastratta,siriconducesolitamente
alla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alla
dimostrazionedellalimitatezzaditalioperatori,oadaltriproblemianaloghi.
Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principali
teoremisuglioperatorilineari. Dialcuniteoreminondiamoladimostrazioneoriginale,
in quanto nel corso del lavoro di tesi si µ e trovata una dimostrazione pi µ u attinente a
questo contesto, un esempio in questo senso µ e dato dalla dimostrazione del teorema
di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltre
osservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivoca
e precisamente dalla teoria delle multifunzione a gra¯co convesso, per i quali µ e stato
necessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: il
teoremadiDeutsch-Singer[4],criteridicontinuit µ a,criteripermappeaperte,eccetera.
1
Elenchiamo qui di seguito i risultati pi µ u salienti presenti nella nostra trattazione:
teoremadiDeutsch-Singer,teoremadiNachabin,teoremidiHahn-Banach,teoremasugli
operatorilinearinelcasodi¯nitodimensionali µ a,teoremadiBanachperl'inversadiun
operatorelineareecontinuo,teoremadellamappaapertainformagenerale,teoremadelle
duenorme,teoremadiBanach-Steinhaus,principiodell'uniformelimitatezza,teoremadi
rappresentazionediRiesz.
Ilcapitolouno µ e di carattereintroduttivo. Vi sonoesposte le nozioni algebriche e
topologichepropedeutiche,edifondamentidellateoriadeglispazivettorialitopologicie
dellateoriadeglioperatorilineari. L'impostazioneditalecapitolo µ estatafattaricalcando
l'impostazionedibasedatadalprofessoreB.RiccerinelcorsodiAnalisifunzionale[1].
Ilcapitolodue µ esuddivisoinparagra¯. Nelprimoparagrafosimettonoinevidenza
i legami che intercorrono tra gli operatori lineari, gli operatori a±ni e gli operatori a
gra¯co convesso. Di particolare interesse µ e un risultato estrapolato da un contesto di
analisimultivocaeprecisamentedalteoremadiDeutsch-Singer[4],ilqualea®ermache
condizionenecessariaesu±cientea±nch¶ eunoperatorede¯nitotraspazivettorialireali
sialineare µ echesiaagra¯coconvessoechesiannullinell'origine. Nelparagrafodueenel
paragrafo tre sono esposti dei risultati riguardanti rispettivamente gli operatori lineari
continuieglioperatorilineariaperti; talirisultatigiocanoun ruolofondamentalenella
presente trattazione, sono inoltre presenti interessanti conseguenze. La costruzione di
questidueparagra¯ µ estatafattaadoperandosiagliappuntidianalisifunzionale[1]che
gli appunti di analisi superiore [2], pi µ u precisamente da questi ultimi si µ e sfruttata la
parteconclusivadelcorsoinerentelatrattazionedellemultifunzioneagra¯coconvesso.
Nelparagrafoquattrosi µ ea®rontatoilproblemadell'estendibilit µ adiunoperatorelineare
2
e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremi
di Hahn-Banach. Inoltre vengono esposti come applicazione notevole di questi ultimi
i cosidetti teoremi di separazione. Per la stesura di questo paragrafo si µ e utilizzato il
testo Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo cinque µ e dedicato allo studio delle propriet µ a
dello spazio degli operatori lineari e continui e pi µ u precisamente si dimostra che tale
spazio µ e diBanach rispettoallanormaoperatorialeselo µ elospaziod'arrivoedinoltre
si dimostra che se lo spazio vettoriale topologico di partenza ha dimensione ¯nita ed
µ e di Hausdor® allora lo spazio degli operatori lineari e continui coincide con lo spazio
degli operatori lineari ovvero ogni operatore lineare µ e continuo. Per la stesura di tale
paragrafo sono stati utilizzati gli appunti di analisi funzionale [1]. Nel paragrafo sei
si a®ronta il problema dell'invertibilit µ a di un operatore lineare e continuo. Spicca tra
i risultati il noto teorema di Banach. Inoltre vengono esposti come conseguenza dei
teoremiinerentilaconvergenzadelcosiddettometododelleapprossimazionisuccessive.
La trattazione esposta in questo paragrafo µ e stata fatta seguendo l'impronta del testo
Kantarovic-Akilov[6]. Ilparagrafosette µ etraipi µ uimportantisenonilpi µ uimportante
paragrafodellapresentetesi. Inesso µ etrattatoilteoremadellamappaapertainforma
classica che costituisce uno dei capisaldi di tutta l'analisi funzionale. Le conseguenze
diquestoteoremasonoragguardevoliessendoquesteilteoremadell'inversacontinua,il
teorema del gra¯co chiuso ed il teorema delle due norme. Il tutto viene compendiato
grazie a l'aiuto di un lemma fondamentale nel cosiddetto teorema della mappa aperta
in forma generale. Per la costruzione di tale paragrafo si µ e fatto ricorso agli appunti
di analisi funzionale [1], agli appunti di analisi superiore [2] ed al testo H. Brezis
[5]. Nel paragrafo otto viene trattato il fondamentale teorema di Banach-Steinhaus e
3
come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto come
principiodell'uniformelimitatezza. Diquest'ultimovienedataun'applicazionenotevole
riguardantelaconvergenzadiunasuccessionedioperatorilineari. Perlacostruzionedi
taleparagrafosonostatiadoperatigliappuntidianalisifunzionale[1],iltestoH.Brezis
[5] ed il testo Kantarovic-Akilov [6]. Il capitolo nove conclude la tesi ed in esso viene
espostoilfondamentaleteoremadirappresentazionediRieszdiunfunzionalelinearee
continuodiunospaziodiHilbert. Unaprimaapplicazionediquestoteoremaconsentedi
individuarel'espressioneanaliticadiunfunzionalelinearenelcasodellospazioeuclideo
n-dimensionale. Ed in conclusione facendo uso del noto Lemma di Ascoli si ottiene la
formula per la stima della distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideo
reale n-dimensionale. La trattazione di questo paragrafo si appoggia sulla trattazione
deglispazidiHilbertespostanelcorsodianalisifunzionale[1].
4
Capitolo1
Nozioniestrumentipropedeutici
1.1 Nozioni di algebralineare propedeutiche
Propriet¶ a1.1.1
SiaEunIK-spaziovettoriale;sianoA,B µEduesottoinsiemi;sia
0
2E
Ts: Valgonoalloraleseguentia®ermazioni:
( )SeA 6= ;eB 6= ;alloraA \B= ; , (
0
+A) \(
0
+B)= ;
( )SeA \B 6= ;allora
0
+A \B=(
0
+A) \(
0
+B)
De¯nizione1.1.1
SiaEunIK-spaziovettorialeesianoFeGs.sp.vett. diE.Diciamoallorachelasomma
dei sottospazi F+G µ esomma direttae scriviamo F ©G seogni vettore dellasomma
F+G,sipu µ oscrivereinmodounicocomesommadiunvettorediFediunvettorediG.
Teorema1.1.1
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesianoFeGduesottospazivettorialidiE
Ts: F+G µ esommadiretta ,F\G=f
E
g
5
De¯nizione1.1.2
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaS µEinsieme,diciamocheS µ eunavarit¶ aa±nese:
9F µEsottospaziovettorialeex
0
2Et c S=x
0
+F
Banalmenteitraslatidivariet¶ aa±nisonovariet¶ aa±ni. Siosservacheipuntisonodelle
variet¶ aa±nipoich¶ elipossiamorigurdarecometraslatidels.sp.vett. banale f
E
g.
Propriet¶ a1.1.2
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaS µEunavariet¶ aa±neesianoquindiF µE
unsottospaziovettorialee
0
2Et.c. S=
0
+F
Ts: Valgonoalloraleseguentia®ermazioni:
( )S µ eunsottospaziovettoriale ,
E
2S
( ) 8G µEsottospaziovettorialee
0
2Et.c. S=
0
+GalloraF=G
( ) 8
0
2SalloraS ¡
0
=F
De¯nizione1.1.3
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaA µEinsieme,diciamoalloracheA µ econvessose:
+(1 ¡ ) 2A 8 2Ae 8 2[0 1]
Si veri¯ca facilmente che i punti sono convessi, che il prodotto di uno scalare per un
convesso µ eunconvesso,chelasommadiconvessi µ eunconvesso(echequindiinparticolare
iltraslatodiunconvesso µ eunconvesso)echel'intersezionediconvessiunconvesso.
De¯nizione1.1.4
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaA µEinsieme,diciamoalloracheA µ eequilibratose:
2A 8 2Ae 8 2IKcon j j ·1
6
Ovviamente
E
2A. Siveri¯cafacilmentecheilprodottodiunoscalareperunequilibrato
µ eunequilibrato,chel'intersezioneel'unionediequilibrati µ eunequilibrato.
De¯nizione1.1.5
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia A µE un insieme, diciamo allora che A µ e
assolutamente convessose µ econvessoedequilibrato.
De¯nizione1.1.6
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaA µEinsieme,diciamoalloracheA µ esimmetricose:
A= ¡A
Siosservaimmediatamentecheogniinsiemeequilibrato µ esimmetrico.
De¯nizione1.1.7
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaA µEunsottoinsiemenonvuotoesia
0
2E,
diciamoalloracheA µ eradialenelpunto
0
se:
8 2E 9 0t c
0
+ 2A 8 2[0 ]
Chiamiamonucleo radialediAelodenotiamoconA
0
l'insiemepuntidiEincuiA µ e
radiale. OvviamenteA
0
µA. InoltreseB µEconA µBalloraevidentementeA
0
µB
0
.
Propriet¶ a1.1.3
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaA µEunsottoinsieme;sia
0
2E
Ts:
0
2A
0
, 8 2E 9 0t c
0
+ 2A 8 2[¡ ]
Propriet¶ a1.1.4
SiaEunospaziovettorialesuIK;siaA µEconA
0
6= ;;siano
0
2Ee 2IK n f0g
Ts: ( A+
0
)
0
= A
0
+
0
7
Propriet¶ a1.1.5
SiaEunIK-spaziovettoriale;sia
0
2E;siaF µEuns.sp.vett;siaA µEradialein
0
Ts: Se
0
2FalloraA\F µ eradialein
0
inF
Propriet¶ a1.1.6
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaA µEunsottoinsiemeconvessoconA
0
6= ;
Ts: A
0
µ econvessoeA
0
=(A
0
)
0
De¯nizione1.1.8
SiaEunIK-spaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEuninsiemenonvuoto,diciamoallora
inviluppo linearediA elodenotiamocon (A),l'intersezionedituttiis.sp.vett.
di E che contengono A, ovvero il pi µ u piccolo s.sp.vett. di E contenente l'insieme A.
Evidentementel'inviluppolinearediunsottospaziovettorialecoincideconsestesso.
Teorema1.1.2
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEunsottoinsiemenonvuoto
Ts: span(A)=f
1
1
+ ¢¢¢+
n
n
:
1
n
2IKe
1
n
2Ag
Corollario1.1.1
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEunsottoinsiemeconA
0
6= ;
Ts: span(A)=E
Corollario1.1.2
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaF µEunsottospaziovettorialeconF
0
6= ;
Ts: F=E
8
Propriet¶ a1.1.7
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesianoA,B µEsottoinsieminonvuoti
Ts: (A [B)= (A)+ (B)
De¯nizione1.1.9
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaA µEnonvuoto,diciamoalloracheA µ elinearmente
indipendente(brevementel.i.) seogniparte¯nitadiAcostituisceuninsiemedivettori
l.i. cio µ ese
1
n
2Aadueaduedistintie
1
2IKt.c.
1
1
+¢¢¢+
n
n
=
E
alloranecessariamente
1
= =
n
=0.
Teorema1.1.3
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEunsottoinsiemenonvuoto
Ts: A µ elinearmenteindipendente , 8 2 (A)ammetterappresentazioneunica
De¯nizione1.1.10
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEunsottoinsiemenonvuoto,diciamo
alloracheA µ eunabasediHamelperEse µ elinearmenteindipendenteesespan(A)=E.
Teorema1.1.4(Massimalit¶ adi unabasediHamel)
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaD µEunsottoinsiemel.i.
Ts: 9A µEbasediHamelt.c. D µA
Teorema1.1.5
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesianoA,B µEduebasidiHamelperE
Ts: (A)= (B)
De¯nizione1.1.11
Sia E un IK-spazio vettoriale, per il teorema 1.1.4 tale spazio ammette almeno una
9
base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesima
cardinalit¶ a. Tenendocontodellapremessafattaside¯niscealloradimensionealgebrica
di E e la si denota con (E), la cardinalit¶ a di una qualsiasi base di Hamel di E.
Facciamo osservare subito che (IK
n
) = n, infatti basta considerare le n n-uple
(1 0 0) (0 0 1)checostituisconounabaseperIK
n
,dettabasecanonica.
De¯nizione1.1.12
SiaEunIK-spaziovettorialeesiaS µEunavariet¶ aa±ne,perlapropriet µ a1.1.2ils.sp.
di cui S µ e il traslato µ e univocamente determinato e quindi ha senso dare la seguente
de¯nizione. Si de¯nisce dimensione algebrica di S e la si denota con (S), la
dimensionedels.sp. dicuiS µ eiltraslato. Equivalentemente¯ssatounqualunque
0
2S
alloraperlapropriet µ a1.1.2ladimensionediS µ eladimensionedels.sp.vett. S ¡
0
.
Propriet¶ a1.1.8
SiaEunIK-spaziovettoriale;siaD µEinsiemel.i.
Ts: (D) · (E)
Dim
Conseguenzaimmediatadelteorema1.1.4.
Lemma1.1.1
SianoEedFIK-spazivettoriali;sian 2IN n f0g
Ts: (E) ¸n , 9
1
n
2El i
Teorema1.1.6
SianoEedFIK-spazivettoriali
Ts: Sonoalloraequivalenti:
10
(1) (E)= (F)
(2) 8m 2IN 9
1
m
2El i , 9
1
m
2Fl i
Dim(1))(2)
Conseguenzaimmediatadellemma1.1.1.
Dim(2))(1)
Proviamo che (E) · (F). Si pu µ o presentare il caso in cui (E) +1 ed
il caso in cui (E) = +1. Se (E) +1 ) 9n 2INt c (E) = n segue
allora dall'ipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ n = (E). Sia adesso il caso in
cui (E) = +1 e quindi comunque ¯ssato m 2 IN esisteranno m vettori di E l.i.
seguealloradall'ipotesiedallemma1.1.1che (F) ¸m 8m 2INcio µ e (F)=+1.
AnalogamentescambiandoilruolodiEconquellodiFsiottieneche (F) · (E).
De¯nizione1.1.13
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E.
DiciamoalloracheFeGsonocomplementarise:
E=F ©G
Propriet¶ a1.1.9
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaF µEunsottospaziovettoriale
Ts: 9G µEsottospaziovettorialecomplementareadF
De¯nizione1.1.14
SiaEIK-spaziovettorialeesia :E !IRunfunzionale(siricordacheperunafunzione
de¯nitasuunosp.vett. avaloriinIKsiriservailnomedifunzionale). Diciamoche:
² µ esub-additivose ( + ) · ( )+ ( ) 8 2E
11
² µ epositivamenteomogeneose ( )= ( ) 8 2Ee 8 0.
² µ eassolutamenteomogeneose ( )= j j ( ) 8 2Ee 8 2IK
² µ eunaseminormase µ esub-additivoeassolutamenteomogeneo
² µ e una norma se µ e una seminorma e se ( ) = 0 , =
E
. Usualmente per
denotareilfunzionalenormasiriservailsimbolo k ¢ k
E
.
Propriet¶ a1.1.10
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesia :E !IRunaseminormasuE
Ts: µ enonnegativaedinoltre j ( ) ¡ ( )j · ( + ) 8 2E
De¯nizione1.1.15
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEuninsiemeradialein
E
. Fissatoun
vettore 2Econsideriamol'insieme f 0: 2 Agche µ enonvuotoperlaradialit¶ adi
Ain
E
. Postoci µ ode¯niamoallorailseguentefunzionalenonnegativo:
A
:E !IRcon
A
( ):=inff 0: 2 Ag 8 2E
cheprendeilnomedifunzionaledi MinkowskyassociatoadA.
Propriet¶ a1.1.11
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEuninsiemeradialein
E
Ts: Valgonoalloraiseguentifatti:
( )
A
µ epositivamenteomogeneo
( )SeA µ eequilibratoallora
A
µ eassolutamenteomogeneo
( )SeA µ econvessoallora
A
µ esub-additivo
( )SeA µ eassolutamenteconvessoallora
A
µ eunaseminorma
12
Propriet¶ a1.1.12
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIKesiaA µEuninsiemeradialein
E
Ts: Valgonoalloraiseguentifatti:
( )A µ
¡1
A
([0 1])
( )SeA µ eequilibratooconvessoallora
¡1
A
([0 1[) µA
( )SeA µ econvessoalloraA
0
=
¡1
A
([0 1[)
Teorema1.1.7
SiaEunospaziovettorialesulcorpoIK;siaA µEuninsiemeradialein
E
;sia :E !IR
unfunzionalepositivamenteomogeneo
Ts: j ( )j ·1 8 2A , j ( )j ·
A
( ) 8 2E
Propriet¶ a1.1.13
SianoEedFdueIK-spazivettoriali; sianoX µEeY µFnonvuoti;sia :X !Y una
funzione;sia
0
2Feconsideriamo :X !Y+
0
con ( )= ( )+
0
8 2X
Ts: ( )= ( )+(
E
0
)
Propriet¶ a1.1.14
SiaEunospaziovettorialesuIK;sianoA,B µEsottoinsieminonvuotiesia 2IK n f0g
Ts: maxf (A) (B)g · (A+B)e (A)= ( A)
1.2 Nozioni topologichepropedeutiche
Diamoquidiseguitode¯nizioniepropriet µ adinaturatopologica,propedeuticheai
¯nidellapresentetesi. Perunresocontopi µ udettagliatosivedaD.C.Demaria[3].
13
De¯nizione1.2.1
Sia X un insieme non vuoto e siano
1
e
2
due topologie su X. Diciamo allora che la
topologia
1
µ e meno ¯ne o pi µ u grossolana della topologia
2
e scriviamo
1
·
2
se
valel'inclusione
1
µ
2
. Diciamoche
1
e
2
sonoequivalentise
1
=
2
.
De¯nizione1.2.2
Sia X uno spazio topologico; sia f
n
g
n2IN
una successione ordinaria in X e sia 2X.
Diciamoallorachelasuccessione f
n
g
n2IN
convergea se:
8U µ Xintornodi 9 2INt c
n
2U 8n ¸
Sifaosservarecheunasuccessionepu µ oaverepi µ upuntidiconvergenzacio µ enon µ edetto
chevalgal'unicit¶ adellimite. Denotiamoalloracon:
lim
n!1
n
l'insieme dei punti di convergenza della successione f
n
g
n2IN
. La circostanza che 2
lim
n!1
n
siesprimeancheconlescritture:
lim
n!1
n
= oppure = lim
n!1
n
facendo attenzione al fatto che questa µ e solo una simbologia, nel senso che se
1
2
2
lim
n!1
n
cio µ esfruttandolanotazioneoraintrodotta
1
=lim
n!1
n
=
2
,alloranon µ e
dettoche
1
=
2
poich¶ ecomesuddettoillimitenon µ enecessariamenteunico.
De¯nizione1.2.3
Diciamoche unospaziotopologico µ e diHausdor®se per ognicoppiadi punti distinti
esistonoduerispettiviintornidisgiunti. Banalmentesottospazitopologicidiunospazio
diHausdor®sonodiHausdor®.
14
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