Principi del massimo

Uno dei più utili e più conosciuti risultati impiegati nello studio dell'equazioni differenziali a derivate parziali è il principio del massimo, che sarà oggetto del nostro lavoro in questa Tesi.
Questo principio è una generalizzazione del risultato che si studia in analisi elementare secondo il quale una funzione f(x) qualsiasi che soddisfa la disuguaglianza f(x) > 0 su un intervallo [a; b] ha il suo massimo valore in uno degli estremi dell'intervallo. Affermiamo che le soluzioni della disuguaglianza f00 > 0 soddisfano il principio del massimo.
Più in generale, le funzioni che soddisfano una disequazione differenziale in un dominio D, che raggiungono il loro massimo valore sul bordo di D soddisfano un principio del massimo.
Lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali solitamente inizia con una classificazione di esse in diversi tipi. Le equazioni più studiate sono di tipo ellittico, parabolico e iperbolico. (Noi concentremo il nostro studio in modo particolare nelle equazioni di tipo ellittico.)
Perché le equazioni di questo tipo si presentano in molti problemi di fisica, i matematici interessati allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali hanno concentrato i loro sforzi nello sviluppo di questa teoria, che presenta interesse sia in campo matematico, che in quello fisico. Un lettore che impara le equazioni differenziali dalla fisica studia i problemi non soltanto attraverso i confronti con lo sviluppo storico della materia, ma anche acquisendo una chiara comprensione delle motivazioni per cui alcune equazioni sono studiate in grande dettaglio, mentre altre sembrano per lo più ignorate. Poiché molti problemi associati a equazioni di tipo ellittico, parabolico e iperbolico presentano principi del massimo, pensiamo che uno studio dei metodi e delle tecniche connesse con questi principi possono rappresentare una valida introduzione o un approfondimento allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Generalmente esiste una interpretazione fisica del principio del massimo in quei problemi nelle equazioni differenziali che hanno origine dalla fisica. In tali situazioni il principio del massimo ci permette di applicare l'intuizione fisica e di determinare modelli matematici.
Le dimostrazioni richieste per affermare la validità del principio del massimo sono per lo più elementari. Ponendo la nostra attenzione su quelle applicazioni che possono essere ricavate dal principio del massimo attraverso metodi del tutto elementari, possiamo scrivere questo lavoro di tesi in un livello fruibile per un lettore interessato a problemi di natura scientifica.
Il principio del massimo ci permette, come vedremo poi nei vari capitoli di questo lavoro di tesi, di ottenere informazioni sulle soluzioni delle equazioni differenziali senza una conoscenza esplicita delle soluzioni stesse. In modo particolare, il principio del massimo è un utile strumento per approssimare soluzioni, una materia di grande interesse per molti scienziati, in quanto esso ci permette di determinare dei limiti per gli errori in tale approssimazione.
Il principio del massimo per equazioni differenziali alle derivate parziali può essere anche applicato a funzioni di una variabile, ed infatti il primo capitolo di questo lavoro e dedicato proprio alla discussione del caso unidimensionale.
Naturalmente, il principio nel caso unidimensionale e relazionato alle equazioni differenziali del secondo ordine. In particolare il Capitolo 1 può essere visto come una importante e semplice introduzione alle diverse forme del principio del massimo che poi illustreremo nel seguito. Fornisce anche nuove tecniche nello studio della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Nel Capitolo 2 enunciamo il principio del massimo per gli operatori ellittici, forniremo diverse generalizzazioni e inoltre riavremo un certo numero di applicazioni. Sebbene il principio del massimo per l'operatore di Laplace e per altri operatori e stato studiato da circa un centinaio di anni, soltanto recentemente sono stati affermati e dimostrati dei principi del massimo forte per equazioni ellitiche di tipo generale. Molte delle diverse applicazioni che presentiamo fanno uso di tali risultati.
Adesso, nella speranza che il nostro lavoro sia di vostro gradimento, non ci resta di augurare una buona lettura a tutti.