Studio di circuiti lineari frazionali nel dominio tempo discreto

Di cosa parla questo testo?
In questo scritto saranno descritte e studiate le basi teoriche all’origine di una nuova classe di sistemi elettronici, cioè i sistemi lineari di ordine non intero. Un sistema di ordine non intero è descritto da potenze non intere nel dominio di Laplace, come ad esempio il semplice sistema descritto dalla funzione di trasferimento sa, con a 2 R. Le equazioni corrispondenti nel dominio del tempo assumono la forma di derivate di ordine non intero, come mostrato nel § 1.4.2 nella pagina 13.

Perché si studiano questi sistemi, quali sono i vantaggi?
Da qualche anno è cresciuto l’interesse verso sistemi elettronici di questo tipo, grazie ai risultati incoraggianti, come dimostrano le prestazioni, nettamente superiori, di controllori realizzati con le nuove teorie, rispetto ai controllori standard. Molteplici articoli guardano a questi sistemi come ai sistemi del futuro: Ortigueira [30] sottotitola il suo articolo, che dà una visione d’insieme dello studio dei sistemi frazionari, con le parole:
The 21st Century systems;
Secondo Chen [12] i sistemi frazionari saranno universalmente diffusi, per un semplice motivo, che detto con le sue parole: Using several real world examples, we further argue that, fractional order control is ubiquitous when the dynamic system is of distributed parameter nature.
Quindi, ciascun sistema a costanti distribuite, è un sistema frazionario per sua natura, ed è quindi ben descritto dalle teorie trattate in questo testo.

A che punto sono gli studi?
Le basi dei sistemi di ordine non intero risalgono a più di 300 anni fa, quando stavano venendo alla luce le teorie dell’analisi infinitesimale.
Se ha senso calcolare le derivate di ordine intero di una funzione, che significato potrebbe avere una derivata di ordine non intero? A partire da questa domanda posta da Leibniz a l’Hôpital, hanno avuto origine gli studi sulle teorie matematiche alla base dei sistemi che vedremo in questo testo, che ormai, con circa 300 anni alle spalle, sono sufficientemente sviluppate per l’utilizzo. Tuttavia, è solo in tempi recenti che questi studi hanno cominciato a sfociare in interessanti applicazioni pratiche, dopo essere state a lungo considerate come un esercizio di pensiero.
L’ambito dei controlli è stato il primo ad essere affrontato, attualmente è il più esteso, sebbene ancora non siano stati sviluppati tutti gli strumenti frazionari di analisi e progettazione, disponibili invece per i sistemi di ordine intero. Per quanto riguarda i sistemi digitali gli studi sono più carenti, spesso limitati ad implementazioni digitali di sistemi di controllo. Tuttavia i sistemi digitali di ordine non intero, si comportano come sistemi a ritardo frazionario, appoggiandosi alla teoria nota del ricampionamento digitale dei sistemi.

Come documentarsi sull’argomento? Perché questo testo?
Attualmente, per quanto ci è noto, non esistono libri esaustivi riguardanti la teoria e le applicazioni ai sistemi elettronici di ordine non intero, a parte forse il recente [16], consultato poco prima di ultimare questo lavoro. La maggior parte degli studi è disponibile sotto forma di articoli, che spesso trattano un problema specifico.
In questo testo si è cercato di dare una panoramica dello stato attuale della ricerca, illustrando tutte le conoscenze di base necessarie per intraprendere uno studio dei sistemi razionali non interi. La teoria è stata ricostruita a partire proprio dagli articoli reperibili, pressoché unica e molteplice fonte di informazioni, integrando diverse fonti, esplicitando calcoli matematici, affiancando grafici e script Matlab, e spesso anche aggiungendo considerazioni personali. Si è quindi cercato di organizzare in maniera coerente e sistematica, in un unico testo, tutte le informazioni basilari per lo studio di tali sistemi, tenendo presente un target di lettori che, come l’autore, possiedono una base culturale scientifica data dai corsi di ingegneria.