Studio di circuiti lineari frazionali nel dominio tempo discreto

iv PREFAZIONE
pratiche, dopo essere state a lungo considerate come un esercizio di
pensiero.
L’ambito dei controlli è stato il primo ad essere affrontato, attual-
mente è il più esteso, sebbene ancora non siano stati sviluppati tutti
gli strumenti frazionari di analisi e progettazione, disponibili invece
per i sistemi di ordine intero. Per quanto riguarda i sistemi digitali
gli studi sono più carenti, spesso limitati ad implementazioni digitali
di sistemi di controllo. Tuttavia i sistemi digitali di ordine non intero,
si comportano come sistemi a ritardo frazionario, appoggiandosi alla
teoria nota del ricampionamento digitale dei sistemi.
Come documentarsi sull’argomento? Perché questo testo?
Attualmente, per quanto ci è noto, non esistono libri esaustivi riguar-
danti la teoria e le applicazioni ai sistemi elettronici di ordine non
intero, a parte forse il recente [16], consultato poco prima di ultimare
questo lavoro. La maggior parte degli studi è disponibile sotto forma
di articoli, che spesso trattano un problema specifico.
In questo testo si è cercato di dare una panoramica dello stato attua-
le della ricerca, illustrando tutte le conoscenze di base necessarie per
intraprendere uno studio dei sistemi razionali non interi. La teoria è
stata ricostruita a partire proprio dagli articoli reperibili, pressoché uni-
ca e molteplice fonte di informazioni, integrando diverse fonti, esplici-
tando calcoli matematici, affiancando grafici e script Matlab, e spesso
anche aggiungendo considerazioni personali. Si è quindi cercato di
organizzare in maniera coerente e sistematica, in un unico testo, tutte
le informazioni basilari per lo studio di tali sistemi, tenendo presente
un target di lettori che, come l’autore, possiedono una base culturale
scientifica data dai corsi di ingegneria.
Come è strutturato questo testo?
Nelle pagine seguenti, si raccolgono le nozioni fondamentali per faci-
litare la lettura di questo testo: in particolare ci stiamo riferendo alla
terminologia relativa ai nuovi concetti esposti, e alla notazione usata,
disponibili nella prossima sezione, dal titolo Termini e simboli; nella
sezione successiva, acronimi, sono raccolte tutte le abbreviazioni del-
le sigle più comuni, frequentemente utilizzate sia in questo testo che
nella maggior parte degli articoli consultati.
Lo studio vero e proprio inizia dal primo capitolo, nel quale si for-
niscono tutti gli strumenti matematici alla base dei nuovi sistemi, in
particolare le derivate frazionarie e la relativa teoria delle trasforma-
te di ordine non intero, insieme ad altri concetti ausiliari ma non per
questo meno importanti, come la teoria delle superfici di Riemann e la
funzione gamma di Eulero.
Nel secondo capitolo, saranno affrontati i sistemi nel dominio con-
tinuo del tempo o di Laplace. Lo scopo è quello di capire come si
affronta lo studio dei sistemi non interi tempo-continui, ricalcando
quindi tutte le procedure note per i sistemi di ordine intero. Le dif-
ferenze che emergono, comportano la necessità di introdurre nuovi
metodi, in particolare si rendono necessari metodi di approssimazione
per la realizzazione dei sistemi proposti. Uno sguardo infine ai sistemi
di controllo, chiude il capitolo.
PREFAZIONE v
Nel terzo capitolo saranno affrontati i sistemi nel dominio discre-
to. La discretizzazione dei sistemi analogici pone ulteriori problemi,
l’assenza della trasformata Z inversa di un termine del tipo zα in
particolare, richiede una nuova formulazione di antitrasformata Z !
È in questo ambito che si inserisce lo studio specifico di questo testo,
che propone un modo alternativo (§ 3.4 nella pagina 49) di trattare i si-
stemi digitali, basato sostanzialmente sulla più complessa definizione
di derivata frazionaria di Grünwald-Letnikov (G-L) piuttosto che sulla
definizione, per alcuni aspetti più pratica, data da Riemann e Liouville.
È Questa la sezione caratterizzante del lavoro, quello “Studio di circuiti
lineari frazionali nel dominio tempo discreto” descritto dal titolo. La se-
zione sviluppata in modo autonomo, è stata poi ritrovata poco prima
che questo testo fosse completato, nel recente [16], come metodo di
calcolo.
Nel quarto capitolo invece cercheremo di capire il modo per realiz-
zare2 concretamente i sistemi proposti. Saranno analizzati i due princi-
pali approcci esistenti, l’approssimazione dei sistemi di ordine non in-
tero con componenti discreti di ordine intero, oppure la realizzazione
ad-hoc di componenti elettronici di ordine non intero.
Per concludere saranno considerati alcuni esempi applicativi, in par-
ticolare l’oscillatore di ordine non intero ci permette di applicare su un
caso concreto la teoria sviluppata per i sistemi analogici, mentre per
i sistemi di sintesi del parlato, molto più complessi ma di maggiore
interesse pratico e concreto, cercheremo di capire in che modo è pos-
sibile migliorare le prestazioni degli algoritmi esistenti focalizzandoci
proprio sulla sintesi delle vocali!
Parallelamente agli studi teorici, si stanno sviluppando dei pacchetti
applicativi che permettano di studiare i sitemi di ordine non intero. In
particolare per Matlab, le lacune del controlsystem toolbox sui site-
mi di ordine non intero, stanno venendo gradualmente colmate dalla
comparsa di pacchetti specifici, dedicati ai nuovi sistemi. Una panora-
mica è disponibile nell’appendice A, che fornisce indicazioni utili per
applicare da subito le teorie presentate, ed una serie di riferimenti gra-
zie ai quali è possibile trovare rapidamente vari script già pronti per
Matlab.
R INGRAZ IAMENT I
Non solo un lavoro come questo documento, ma tutta la carriera
universitaria non sarebbe mai stata possibile senza un valido suppor-
to, sia pratico che, soprattutto, morale. Pertanto desidero ringrazia-
re in primo luogo i professori della facoltà di ingegneria, che hanno
sempre mostrato disponibilità e flessibilità, rendendo in questo modo,
più semplice il percorso universitario di noi studenti, ed in particolar
modo vorrei ringraziare per questo il mio relatore, il prof. Panella.
Un secondo ringraziamento è per i miei genitori, che mi hanno per-
messo di studiare e mi hanno sempre sostenuto ed incoraggiato. Rin-
grazio mio fratello Domenico che mi ha spesso aiutato negli studi, così
2 In questo caso stiamo parlando della realizzazione dei sistemi analogici, dal momento
che i sistemi discreti sono realizzabili dall’algoritmo che li definisce, come mostrato nel
4° capitolo sui sistemi digitali
vi PREFAZIONE
come i miei amici dell’università che non mi hanno mai negato un
aiuto, in particolare Davide, Giovanni e Stefano.
Ringrazio Andrea, che nei viaggi in treno tra Roma e Frosinone ha
spesso chiarito i miei dubbi e mi ha ascoltato, e gli altri amici di viaggio
che hanno pazientemente sopportato la mia voce; mia cugina Loretta
che mi ha prestato la sua connessione per scaricare decine di artico-
li ed email, e ringrazio tutti quelli che, per brevità, non ho potuto
ringraziare esplicitamente, compreso me stesso.
Infine, un ringraziamento speciale a Sara, che è stata la mia vita
ed il mio mondo d’evasione in questi anni che altrimenti sarebbero
stati troppo incentrati sul solo studio, che mi ha regalato il sorriso,
l’allegria, la vitalità le emozioni e molto di più, in tantissime occasioni
che grazie a lei si sono trasformate in momenti speciali e preziosi da
custodire e conservare, e soprattutto che è stata in grado di scoprire
e farmi conoscere, come nessuno, il lato più umano e remoto del mio
animo! Grazie davvero, buona lettura!
TERM IN I . . .
Per facilitare la lettura di questo testo e degli articoli riguardanti gli
argomenti trattati, si è pensato di raccogliere gli acronimi più diffusi
in una comoda tabella, disponibile alle pagine seguenti. Si riportano
inoltre, qui di seguito, i termini relativi ai nuovi sviluppi tecnologici
e teorici, ed un elenco di convenzioni matematiche adottate in questo
testo.
Il primo e forse il più abusato termine da introdurre è il termine diffe-
rintegrale. Quando si parla di derivate ed integrali, si considerano due
concetti distinti. Nel caso non intero tale differenza scompare! Infatti,
in tal caso, considerando ad esempio una derivata, un qualsiasi ordine
di derivazione α ∈ sarà ammissibile, anche negativo! Come è ovvio im-
maginare, un ordine di derivazione negativo dà luogo ad un integrale,
per cui la differenza tra i due operatore svanisce di fatto. Proprio per
questo viene coniato il il termine differintegrale, che generalizza sia il
concetto di derivata che quello di integrale. In letteratura, il termine
inglese corrispondente è differintegral. La notazione dei differintegrali
è varia tanto quanto quella delle derivate.
Si osserva poi, che per brevità, con il nome di sistemi frazionari, sa-
ranno indicati in generale i sistemi di ordine non intero, sebbene il
termine possa far pensare ad una minore generalità.
Resta da chiarire cosa si intende per ordine di un sistema: nella
rappresentazione nel dominio di Laplace, l’ordine è l’esponente del-
la variabile di Laplace comunemente indicata con s; ciò equivale, nel
dominio del tempo, ad un’equazione in cui compaiono derivate dello
stesso ordine dell’esponente della s.
L’impedenza, che comunemente indica la resistenza al passaggio di
corrente di un elemento, come valore complesso dalla variabile di La-
place s, prenderà il nome di frattanza quando l’esponente della s è
frazionario. L’equivalente corrispettivo inglese che più spesso ricorre
in letteratura è fractance.
Per le impedenze della forma 1/sα, sappiamo che, nel caso ordina-
rio con α = 1, stiamo trattando con le impedenze di un condensato-
re o capacitore; non c’è un termine altrettanto chiaro nel caso in cui
α ∈ (0, 1). In letteratura si trova spessissimo il termine fractor, che in
italiano potrebbe essere reso con frattore, ma che più spesso in questo
testo sarà indicato con capacità frazionaria, analogamente per l’induttore
frazionario.
. . . E S IMBOL I
I differintegrali presentano una grande varietà di possibili scritture,
un po’ come le derivate ordinarie, alle quali si aggiungono le conven-
zioni diffuse per la notazione di ordine non intero. È bene chiarire che
un differintegrale è definito dall’ordine, dall’estremo inferiore considera-
to e dall’estremo superiore che coincide con la variabile della funzione
differintegrata.
vii
viii TERMINI E SIMBOLI
Tabella 1: Elenco delle convenzioni matematiche e dei simboli adottati in
questo testo
Notazione Descrizione
aDαx f Simbolo compatto operatore differintegrale
dα f
[d(x− a)]α Simbolo analitico operatore differintegrale
f
(α) Funzione differintegrata
s Variabile complessa di Laplace
j Unità immaginaria
Z {} , L {} Trasformata Zeta e di Laplace. Con
esponente −1 si hanno le trasformazioni
inverse
N, Z, Q, R, C Insiemi numerici.
⊗ Prodotto di convoluzione
a Vettore. I caratteri in neretto indicano quan-
tità vettoriali. Se accostati ad un numero
tra parentesi quadre, il numero (od equiva-
lentemente il parametro al suo posto) indi-
ca l’elemento del vettore considerato, cioè se
a = {1, 4, 2, 6}, a[3] = 2.
L’ORDINE tipicamente indicato con n se intero, con α altrimenti, è no-
to dal caso intero. L’unica osservazione è che α potrebbe essere
un elemento dell’insieme dei numeri complessi C, reali R, o ra-
zionali Q, in questo ultimo caso potrebbe anche essere indicato
come 1/q se α ∈ (0, 1).
L’ESTREMO INFERIORE a è un concetto noto nel caso del calcolo inte-
grale, ma non è tipicamente presente se si considerano le deri-
vate. Se però ricordiamo che un differintegrale comprende en-
trambi gli operatori, di derivata ed integrale, si osserva come
l’estremo inferiore sia necessario sempre, e non pone problemi
nel calcolo della derivata che se è definita a partire da −∞, sarà
definita a partire da a.
L’ESTREMO SUPERIORE x è la variabile rispetto alla quale stiamo cal-
colando la derivata, oppure è l’estremo superiore di integrazione,
se stiamo calcolando l’integrale rispetto ad una variabile ausilia-
ria.
Le notazioni possibili sono elencate nelle prime righe della tabella 1,
in cui f è una qualunque funzione differintegrabile. Si osservi che spes-
so nella definizione analitica dell’operatore differintegrale, il differen-
ziale a denominatore può essere elevato a potenza senza l’uso di paren-
tesi, infatti il simbolo d(x− a) rappresenta un termine infinitesimale e
non un prodotto, e non può essere spezzato.
Nella stessa tabella, 1, sono indicati tutti gli altri simboli. Non resta
che aggiungere che la trasformata L {x(t)} di una funzione x(t), si
indica con la stessa lettera della funzione, ma con la maiuscola, cioè
X(s).