Portafogli di titoli azionari ed opzioni: Value-at-Risk in situazione di volatilità costante e di volatilità stocastica

La necessità di disporre di modelli matematici che descrivano accuratamente la dinamica dei mercati finanziari e permettano quindi di migliorare la misura del VaR è fortemente sentita. Il lavoro svolto nella tesi va in questa direzione. In particolare vengono analizzati ed implementati modelli matematici per il calcolo del VaR sia in situazione di volatilità costante che di volatilità stocastica. Nel caso di volatilità costante vengono considerati tre diversi metodi di calcolo del VaR, la cosiddetta approssimazione Delta, una variante dell'approssimazione Delta (abbiamo chiamato questo metodo Delta modificato) e la simulazione Monte Carlo. Questi metodi sono stati utilizzati per calcolare il VaR di singoli titoli azionari, di portafogli di titoli azionari e di portafogli composti da azioni ed opzioni call di tipo europeo. Il portafoglio di titoli azionari considerato è il portafoglio Finanza Web commercializzato da Banca Marche, costituito da venti titoli appartenenti al mercato italiano. Il calcolo del VaR in situazione di volatilità stocastica viene compiuto utilizzando il modello di Heston, secondo il quale i rendimenti e la varianza dei rendimenti medesimi vengono descritti da un sistema di equazioni differenziali stocastiche. Il calcolo del VaR è stato affrontato mediante il metodo di simulazione Monte Carlo. Le equazioni del modello di Heston sono state risolte per via numerica, utilizzando quattro diversi schemi di approssimazione: gli schemi convenzionali di Eulero e di Milstein, una variante dello schema di Milstein tale da garantire la positività delle soluzioni numeriche e uno schema di tipo Runge-Kutta di recente formulazione. Il modello di Heston è stato utilizzato per il calcolo del VaR di un solo titolo e del portafoglio di titoli azionari Finanza Web. Riteniamo questo un aspetto significativo del presente lavoro di tesi, poichè, almeno per quanto a nostra conoscenza, nella letteratura finanziaria il modello di Heston non è stato finora applicato per il calcolo del VaR di un portafoglio di titoli. Sia nella situazione di volatilità costante, che in quella di volatilità stocastica tutti i parametri necessari al modello vengono valutati a partire dalle serie storiche dei titoli azionari. In particolare, nel caso del modello di Heston, è stato ideato un metodo di stima che estende al caso di un portafoglio di titoli il procedimento proposto per un singolo titolo e che si basa su una tecnica di completamento della matrice di correlazione del modello di Heston opportunamente implementata. Sia nel caso di volatilità costante che in quello di volatilità stocastica, tutti i programmi software per il calcolo del VaR sono stati realizzati dall'autore della tesi. L'ambiente di programmazione scelto è il MATLAB 7, per la particolare flessibilità, l'elevata disponibilità di funzioni di libreria per il calcolo matriciale e l'alto livello del suo generatore di numeri casuali.