Portafogli di titoli azionari ed opzioni: Value-at-Risk in situazione di volatilità costante e di volatilità stocastica

x Introduzione
li e �nanziarie dei pi� importanti paesi del mondo all�ingresso in
nuove aree di attivit� ed all�esposizione ad una gamma pi� ampia di
fattori di rischio.
Il risk-management moderno si trova a dover decifrare un�aleatori-
et� crescente in mercati �nanziari caratterizzati da dinamiche sempre
pi� complesse e necessita quindi di strumenti adeguati a descrivere
tali situazioni. L�approccio statistico consente di prevedere in parte
tale aleatoriet�. Esso consiste nel trarre informazioni sulla frequenza
delle possibili variazioni dei prezzi di mercato dalle osservazioni pas-
sate della dinamica di tali prezzi. Ipotizzando che queste frequenze
ri�ettano un meccanismo di comportamento interno dei mercati �-
nanziari, si pu� ragionevolmente pensare che esse rimangano stabili
per un determinato periodo di tempo. L�approccio statistico si basa
sull�idea che l�evoluzione dei mercati �nanziari, sebbene repentina,
impieghi comunque un periodo dell�ordine di alcuni anni per veri�-
carsi e che perci� i dati passati siano utili a descrivere i possibili prezzi
su un orizzonte temporale non troppo lungo. Sappiamo che l�ipotesi
di stabilit� delle frequenze osservate non � veri�cata nel caso di crisi
�nanziarie che invertano l�andamento dei mercati �nanziari e che
per questo il metodo statistico � imperfetto, ma rimane nei restanti
casi un�ipotesi ragionevole. � perci� di estrema importanza svilup-
pare strumenti matematici e statistici che descrivano al meglio le
dinamiche interne dei mercati �nanziari e consentano di controllare
per quanto possibile il rischio di mercato.
Il modello lognormale per l�andamento dei prezzi dei titoli, propo-
sto da Bachelier, v. [13] e successivamente formalizzato da Osborne
in [14] nel 1959, � rimasto il modello pi� comunemente utilizzato, nel
quale si ipotizza che la volatilit� che guida il processo di evoluzione
dei rendimenti sia costante e che i rendimenti logaritmici dei prezzi
azionari seguano quindi una distribuzione normale. Sebbene l�ipote-
Introduzione xi
si lognormale sia stata utilizzata anche da Black e Scholes nel loro
celebre modello che fornisce il prezzo di opzioni europee, v. [16], le os-
servazioni empiriche mostrano una distribuzione dei rendimenti dei
prezzi di mercato che si allontana chiaramente dall�ipotesi di nor-
malit�. Tale distribuzione presenta infatti code pi� spesse di quelle
proprie di una normale ed � asimmetrica [4]. Questa evidenza empiri-
ca ha indotto a considerare nuovi modelli che descrivano in maniera
pi� adeguata i rendimenti dei prezzi di mercato e ri�ettano il fatto
che la volatilit� non pu� essere ritenuta costante e che infatti, essa
vari, almeno in parte, casualmente, v. [28].
Il crescente sviluppo di modelli matematici atti a descrivere la di-
namica dei mercati ha determinato un�evoluzione del risk-management.
All�inizio degli anni Novanta, per ognuno dei fattori di rischio di
mercato individuati, la quanti�cazione dell�esposizione era ancora
legata a misure ad hoc e non confrontabili tra loro. Sebbene un�analisi
di questo tipo sia tuttora utilizzata, essa fornisce al risk manager dati
disaggregati, non permette una valutazione comparata di rischiosit�
tra diversi strumenti e non sintetizza una misura del rischio totale
di portafoglio.
Una misura relativamente recente, il Value-at-Risk (VaR), ha rivo-
luzionato il risk-management moderno, fondendo i modelli teorici di
descrizione della dinamica dei prezzi di mercato con la statistica.
Il grande vantaggio risultante dall�utilizzo del Value-at-Risk (VaR)
� quello di riassumere in un solo numero l�esposizione totale al rischio
di una istituzione �nanziaria, cogliendo l�e�etto diversi�cazione e
fornendo una misura di rischio con associata una probabilit�.
Inizialmente considerato solo dalle maggiori societ� �nanziarie mon-
diali per misurare i rischi dei loro portafogli di negoziazione, l�uso del
VaR esplode con il tentativo della J.P Morgan di stabilire uno stan-
dard di mercato, attraverso la pubblicazione nel 1994 del sistema
RiskMetricsTM [1].
xii Introduzione
L�impulso alla di�usione del VaR � stato talmente forte, da indi-
rizzare il comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria al suo uti-
lizzo per l�applicazione dei requisiti patrimoniali a fronte dei rischi
di mercato; infatti, dopo un�analisi empirica delle caratteristiche dei
principali modelli utilizzati attraverso test e�ettuati su una serie di
banche, nel 1995 � stato proposto un emendamento all�originario do-
cumento del 1988, Basel Capital Accord. La proposta considerava due
metodi alternativi per la misura del rischio di mercato: un modello
detto standard, pensato per banche di piccole e medie dimensioni,
non in possesso della complessa infrastruttura tecnologica e della e-
sperienza richieste per il calcolo delle esposizioni giornaliere al rischio
di mercato ed un modello interno basato su metolodogie VaR, per
banche in grado di contare sulle proprie competenze tecnologiche.
Nel Gennaio del 1996 si � in�ne giunti all�approvazione u� ciale e
alla pubblicazione dell�emendamento.
La regolamentazione dell�adeguatezza patrimoniale a fronte del
rischio di mercato in vigore nell�Unione Europea � in gran parte
ispirata al lavoro del comitato di Basilea, v. al riguardo [2].
Il VaR � ora ampiamente utilizzato da banche, societ� di investi-
mento mobiliare, fondi di investimento ed in alcuni casi anche da
societ� non �nanziarie ed � diventato lo stumento pi� importante
per la misurazione e gestione del rischio di mercato.
Di qui la necessit� di disporre di modelli matematici che descrivano
accuratamente la dinamica dei mercati �nanziari e permettano quin-
di di migliorare la misura del VaR.
Il lavoro svolto nella tesi va in questa direzione. In particolare
vengono analizzati ed implementati modelli matematici per il cal-
colo del VaR sia in situazione di volatilit� costante che di volatilit�
stocastica.
Nel caso di volatilit� costante vengono considerati tre diversi meto-
di di calcolo del VaR, la cosiddetta approssimazione Delta, v. [17]
Introduzione xiii
e [26], una variante dell�approssimazione Delta proposta in [26] per
un solo titolo e da noi estesa al caso di portafogli di titoli (abbiamo
chiamato questo metodo Delta modi�cato) e la simulazione Monte
Carlo, v. [22], [19] e [23]. Questi metodi sono stati utilizzati per cal-
colare il VaR di singoli titoli azionari, di portafogli di titoli azionari
e di portafogli composti da azioni ed opzioni call di tipo europeo.
Il portafoglio di titoli azionari considerato � il portafoglio Finanza
Web commercializzato da Banca Marche, costituito da venti titoli
appartenenti al mercato italiano. Dunque tutti i risultati ottenuti
dai nostri calcoli per un portafoglio di titoli azionari sono da asso-
ciare ad un�ipotesi di investimento che realmente viene proposta ai
clienti e non da un�ipotetico mix di titoli creato solo per esercizio.
Il calcolo del VaR in situazione di volatilit� stocastica viene com-
piuto utilizzando il modello di Heston [33], secondo il quale i rendi-
menti e la varianza dei rendimenti medesimi vengono descritti da
un sistema di equazioni di�erenziali stocastiche. Il calcolo del VaR
� stato a�rontato mediante il metodo di simulazione Monte Carlo.
Le equazioni del modello di Heston sono state risolte per via nu-
merica, utilizzando quattro diversi schemi di approssimazione: gli
schemi convenzionali di Eulero e di Milstein, v. [38], una variante
dello schema di Milstein tale da garantire la positivit� delle soluzioni
numeriche, v. [41] e uno schema di tipo Runge-Kutta recentemente
formulato da Wilkie, v. [42]. Il modello di Heston � stato utilizza-
to per il calcolo del VaR di un solo titolo e del portafoglio di titoli
azionari Finanza Web. Riteniamo questo un aspetto signi�cativo del
presente lavoro di tesi, poich�, almeno per quanto a nostra conoscen-
za, nella letteratura �nanziaria il modello di Heston non � stato �nora
applicato per il calcolo del VaR di un portafoglio di titoli.
Sia nella situazione di volatilit� costante, che in quella di volatilit�
stocastica tutti i parametri necessari al modello vengono valutati a
partire dalle serie storiche dei titoli azionari. In particolare, nel caso
xiv Introduzione
del modello di Heston, � stato ideato un metodo di stima che estende
al caso di un portafoglio di titoli il procedimento proposto in [34] per
un singolo titolo e che si basa su una tecnica di completamento della
matrice di correlazione del modello di Heston opportunamente im-
plementata, v. paragrafo 4.4. Lo sviluppo di questo algoritmo � an-
ch�esso un contributo originale del presente lavoro di tesi, in quanto
non ci risulta che siano presenti in letteratura casi in cui viene sti-
mata la matrice di correlazione per un portafoglio di titoli azionari
descritti dal modello di Heston.
Sia nel caso di volatilit� costante che in quello di volatilit� sto-
castica, tutti i programmi software per il calcolo del VaR sono stati
realizzati dall�autore della tesi. L�ambiente di programmazione scelto
� il MATLAB 7, per la particolare �essibilit�, l�elevata disponibilit�
di funzioni di libreria per il calcolo matriciale e l�alto livello del suo
generatore di numeri casuali.
La tesi � strutturata come segue:
Nel capitolo 1 viene introdotta la de�nizione di Value-at-Risk e
viene presentato il modello lognormale per la dinamica dei prezzi
azionari, sia nel caso di un solo titolo che nel caso di un portafoglio
di pi� titoli.
Nel capitolo 2 vengono descritti i principali metodi di calcolo
del VaR con particolare attenzione ai metodi applicati nella tesi in
situazione di volatilit� costante: il metodo Delta, il metodo Delta
modi�cato e la simulazione Monte Carlo.
Nel capitolo 3 vengono descritti il funzionamento e le modalit�
di implementazione del software sviluppato per il calcolo del VaR
in situazione di volatilit� costante. Viene dato particolare rilievo al-
l�implementazione della simulazione Monte Carlo, che gi� nel caso del
modello lognormale richiede lo sviluppo di software adeguato. Inoltre
vengono precisate le fonti di tutti i dati utilizzati negli esperimenti
numerici.
Introduzione xv
Il capitolo 4 � interamente dedicato al modello a volatilit� stocasti-
ca di Heston, che viene formulato dal punto di vista matematico sia
nel caso di un solo titolo che nel caso di un portafoglio di titoli.
Vengono successivamente descritti gli schemi numerici di Eulero,
Milstein, Milstein modi�cato e Runge-Kutta e in�ne presentato il
metodo di stima dei parametri del modello di Heston.
Nel capitolo 5 vengono presentati e commentati i risultati ottenuti
in tutte le situazioni considerate e tratte le conclusioni �nali.