Modelli Affini per il Pricing di Derivati

In questo lavoro si sfruttano i processi affini per muoversi "oltre" Black-Scholes. Anche questo semplice modello è affine e quindi formule semichiuse equivalenti alle più famose formule chiuse per il pricing di opzioni possono essere ritrovate nell'ambito dei modelli affini. Inoltre, le proprietà dei processi affini possono essere utilizzate per "allentarne" le restrittive ipotesi alla base. In questa tesi ci si pone sotto l'ipotesi di tasso d'interesse stocastico, ottenendo formule di pricing semichiuse per opzioni in modelli affini bivariati, con rischio di stock e rischio di tasso. In particolare, sono stati considerati due modelli: il VASBS ed il CIRBS. Il primo assume che il tasso d'interesse evolva secondo un processo stocastico di Ornstein-Uhlenbeck, ovvero che lo short rate segua la dinamica descritta dal modello di Vasicek; il secondo, assume una dinamica di tipo mean reverting square root, analoga alla dinamica dello short rate nel modello CIR. Viene dimostrato che il modello VASBS è un processo affine, mentre il CIRBS è affine soltanto nel caso particolare di correlazione nulla tra i processi di stock e di tasso. Poi, sfruttando le proprietà dei processi affini, viene calcolata la soluzione affine della funzione caratteristica associata a ciascun processo, la quale ci permette di giungere ad una formula semichiusa per la valutazione di opzioni. Questo è stato fatto soltanto per il VASBS, in quanto il CIRBS affine in un "caso fortunato" ed è stato scelto di utilizzare questo modello soltanto per il pricing tramite simulazione Monte Carlo. Queste formule sono molto `comode' da un punto di vista di implementazione: grazie ad algoritmi numerici, come quello di Gauss-Kronrod utilizzato dalla function quadgk di Matlab, si riescono ad approssimare integrali infiniti, e quindi a calcolare numericamente formule semichiuse, in una frazione di secondo.
Nel capitolo 1 vengono affrontati alcuni concetti generali, come la misurazione della struttura per scadenza, realizzata sia tramite procedure di bootstrap sia tramite la stima di un modello: in particolare viene considerata la famiglia di Nelson-Siegel, la cui calibratura è realizzata tramite inversione della yield curve e partendo direttamente dai tassi swap.
Nel capitolo 2, partendo dalla definizione di processo di Wiener, viene ricavato il Lemma di Ito (in una ed in più dimensioni). Viene poi affrontato il moto browniano geometrico, sia da un punto di vista teorico che pratico: tramite la decomposizione di Cholesky, passando per la variabile aleatoria normale bivariata, viene simulato un moto browniano geometrico bivariato, mostrando gli effetti di diversi valori della correlazione. Viene poi presentato il modello di Black-Scholes.
Nel capitolo 3 vengono affrontati alcuni modelli univariati per lo short rate, sia a struttura a termine endogena (CIR e Vasicek) che a struttura a termine esogena (Hull-White). Viene dimostrato come questi modelli siano strutture a termine affini. Vengono poi affrontate nel dettaglio alcune procedure di calibratura: per i modelli CIR e Vasicek la metodologia è identica a quella del modello di Nelson-Siegel (inversione della yield curve e calibratura da tassi swap). Per il modello di Hull-White si parte invece da caps e floors, invertendo la formula di Black e individuando, tramite una procedura di minimizzazione, i parametri ottimi che minimizzano le dipreferenze mercato-modello.
Il capitolo 4 e il "cuore" di questo lavoro: data la definizione di processo affine, si affrontano i modelli univariati incontrati fino ad ora (Black-Scholes, Vasicek, CIR e Hull-White) dal punto di vista dei processi affini. In particolare, il modello di Black-Scholes si dimostra essere affine sia tramite il calcolo diretto della funzione generatrice dei momenti che tramite un "approccio martingala". Viene inoltre mostrata la relazione tra processi di tasso affini (caso generale) e strutture a termine affini (caso particolare). Il passo successivo è quello dei processi affini bivariati: VASBS e CIRBS. Viene poi mostrato come recuperare la soluzione affine della trasformata di Laplace associata ai processi di tasso univariati partendo da quella dei modelli bivariati. Infine, le formule chiuse ottenute vengono testate tramite una simulazione Monte Carlo.

Il capitolo 5 affronta il problema del pricing nei modelli affini: si ottengono formule semichiuse per opzioni call e forward start in Black-Scholes ed in VASBS e le si testano tramite procedure numeriche. Viene inoltre svolto un confronto tra pricing in ambiente VASBS e CIRBS (tramite simulazione Monte Carlo).

L'appendice si divide in due parti: l'appendice A contiene tutti i codici Matlab utilizzati in questo lavoro ed alcuni utili script. L'appendice B, teorica, riporta il teorema di Fubini ed una dimostrazione della legge delle aspettative condizionate iterate.