Introduzione
Il Chicago Board Options Exchange, che diede il via alla negoziazione di opzioni negli
USA, fu aperto nel 1973. Nello stesso anno fu pubblicato l’articolo contenente la famosa
‘formula di Black-Scholes’. Essa, nonostante sottintendesse nozioni di matematica avan-
zata e di calcolo delle probabilit a, concetti che sfuggivano ai ‘cultori’ di nanza dell’epoca,
sia pratici che accademici, fu velocemente assorbita dal mercato. Le motivazioni del suo
successo a ondavano le radici nel fatto che il prezzo di un’opzione scritta su azione veniva
a dipendere soltanto da grandezze oggettive osservabili sul mercato, come la volatilit a, il
tasso d’interesse e la quotazione del sottostante. Pochi anni pi u tardi la Texas Instrument
produsse una calcolatrice portatile che consentiva di calcolare in una frazione di secondo,
applicando tale formula, il prezzo di non arbitraggio dell’opzione. Questa innovazione
tecnologica fu come un ponte che un teoria e pratica di mercato. Il risultato fu una vera
esplosione nelle transazioni nanziarie in generale ed in quelle di derivati in particolare.
La Banca dei Regolamenti Internazionali pubblica periodicamente statistiche sui valori
nozionali e di mercato dell’attivit a in derivati svolta dalle grandi banche internazionali, al
di fuori dei mercati regolamentati. Il volume delle negoziazioni viene espresso in termine
di capitale nozionale, che rappresenta il parametro per il calcolo dei ussi di pagamen-
to. Osservando queste statistiche notiamo, nel triennio 2007 - 2010, una fase di estrema
crescita nello scambio di derivati over-the-counter (OTC). Tale andamento ha raggiunto
l’apice nella prima met a del 2008 per poi decrescere, con un declino che ha riguardato i
derivati collegati a tutti i tipi di rischio e sicuramente dovuto in gran parte alla compres-
sione degli scambi nanziari avvenuta a livello globale nella seconda met a del 2008 a causa
della crisi nanziaria. Il collasso nell’immediato post-crisi e stato per o compensato da un
nuovo aumento avvenuto tra ne 2009 ed inizio 2010. Nonostante il declino post-crisi,
le negoziazioni complessive degli strumenti derivati OTC sono aumentate negli ultimi 4
anni: gli scambi aggregati a livello mondiale di questi strumenti hanno raggiungo 583000
miliardi di dollari a ne giugno 2010, circa il 15% in pi u rispetto ai livelli registrati nel
2007. Ci o corrisponde ad un tasso di crescita annuo del 5%, basso se comparato al 32%
del periodo 2004 - 2007 e al 20% del periodo 1995 - 2007, notevole se guardiamo al fatto
che siamo comunque a livelli superiori rispetto a quelli pre-crisi. L’economia mondiale
riconosce pertanto ancora una grande rilevanza agli strumenti derivati, sia come stru-
mento di hedging che di speculazione. Certo e che dal lontano 1973 la teoria nanziaria
e evoluta enormemente. Il modello di Black-Scholes rimane un buon punto di partenza
per l’analisi nanziaria e quantitativa, ma le ipotesi alla base, notevolmente rigide, ne
precludono una reale utilizzabilit a pratica. Lo sforzo, negli ultimi decenni, e stato quello
di muoversi ‘oltre’ Black-Scholes: per convincersene basta notare quanti siano i libri e gli
articoli in letteratura che contengano, nel titolo, le parole chiave ‘beyond Black-Scholes’.
I modelli a ni consentono di andare in questa direzione.
La classe dei processi a ni e utilizzata in nanza da decenni. Le prime applicazioni
15
riguardarono la struttura a termine dei tassi d’interesse. Successivamente, anche pro-
cedure di option pricing, modellizzazione del rischio di credito e processi a volatilit a
stocastica furono analizzati dal punto di vista dei processi a ni. Tuttavia, soltanto nel
2003 e stata ottenuta una formalizzazione matematica compiuta grazie al lavoro A ne
processes and applications in nance di Du e, Filipovic e Schachermayer. Il successo
di questi modelli e dovuto in gran parte alla loro trattabilit a analitica: ad esempio, si
dimostra che le funzioni all’esponente della soluzione a ne della funzione caratteristica
si ricavano risolvendo delle equazioni di erenziali ordinarie. Altro motivo di successo sta
nella capacit a dei modelli a ni di catturare evidenze empiriche dalle serie storiche di
dati nanziari (Filipovic-Mayerhofer (2009)). Inoltre, al loro interno e possibile ottenere
formule semichiuse per il pricing di derivati, ad esempio opzioni, tramite un approccio
basato sulla trasformata di Fourier, come si pu o vedere in Du e (2008). La letteratura
nanziaria riguardante i processi a ni e piuttosto vasta. Per una serie di indicazioni
bibliogra che si rimanda a Du e-Filipovic-Schachermayer (2009) e Filipovic-Mayerhofer
(2009).
In questo lavoro si sfruttano i processi a ni per muoversi ‘oltre’ Black-Scholes. Anche
questo semplice modello e a ne e quindi formule semichiuse equivalenti alle pi u famose
formule chiuse per il pricing di opzioni possono essere ritrovate nell’ambito dei modelli
a ni. Inoltre, le propriet a dei processi a ni possono essere utilizzate per ‘allentarne’ le
restrittive ipotesi alla base. Ad esempio, si pu o dimostrare che il modello di Heston, in
cui la volatilit a segue un processo mean reverting square root, e a ne ed al suo interno si
possono trovare formule semichiuse per opzioni call e forward start. In generale, il pricing
di opzioni forward start e stato a rontato per primo da Rubinstein (1991), che arriv o ad
una formula chiusa per il pricing in ambiente Black-Scholes. Successivamente, altri au-
tori, tra cui Kruse-Nogel (2005), hanno ottenuto formule semichiuse rilassando l’ipotesi
di volatilit a costante e ponendosi in ‘ambiente Heston’. Il problema del pricing di opzioni
forward start sotto l’ipotesi di volatilit a con tassi d’interesse stocastici ed indipendenti
e stato considerato da Guo-Hung (2008), Ahlip (2008) e Nunes-Alcaria (2009), mentre
Haastrecht-Pelsser (2010) hanno considerato una correlazione esplicita tra sottostante e
struttura a termine dei tassi d’interesse, assumendo per lo short rate una dinamica ‘alla
Hull-White’ in un contesto a volatilit a stocastica ‘alla Heston’. Anche in questa tesi ci si
pone sotto l’ipotesi di tasso d’interesse stocastico, ottenendo formule di pricing semichiuse
per opzioni in modelli a ni bivariati, con rischio di stock e rischio di tasso. In particolare,
sono stati considerati due modelli: il VASBS ed il CIRBS. Il primo assume che il tasso
d’interesse evolva secondo un processo stocastico di Ornstein-Uhlenbeck, ovvero che lo
short rate segua la dinamica descritta dal modello di Vasicek; il secondo, assume una
dinamica di tipo mean reverting square root, analoga alla dinamica dello short rate nel
modello CIR. Viene dimostrato che il modello VASBS e un processo a ne, mentre il
CIRBS e a ne soltanto nel caso particolare di correlazione nulla tra i processi di stock
e di tasso. Poi, sfruttando le propriet a dei processi a ni, viene calcolata la soluzione
a ne della funzione caratteristica associata a ciascun processo, la quale ci permette di
giungere ad una formula semichiusa per la valutazione di opzioni. Questo e stato fatto
soltanto per il VASBS, in quanto il CIRBS e a ne in un ‘caso fortunato’ ed e stato scel-
to di utilizzare questo modello soltanto per il pricing tramite simulazione Monte Carlo.
Queste formule sono molto ‘comode’ da un punto di vista di implementazione: grazie ad
algoritmi numerici, come quello di Gauss-Kronrod utilizzato dalla function quadgk di
Matlab, si riescono ad approssimare integrali in niti, e quindi a calolare numericamente
16
formule semichiuse, in una frazione di secondo.
Una possibile applicazione di questi modelli bivariati va ricercata in ambito assicurativo,
all’interno delle polizze pro t sharing , nelle quali il rendimento del fondo della gestione
separata viene in parte retrocesso all’assicurato in funzione di un coe ciente di parte-
cipazione speci cato contrattualmente. Dal punto di vista strettamente nanziario, la
polizza e un contratto derivato che ha come sottostante il rendimento del fondo che, tipi-
camente, e investito in parte preponderante in obbligazioni governative e, in minor parte,
in azioni. Per modellizzare questo particolare derivato e quindi necessario un modello
bivariato che prenda in considerazione sia il rischio azionario che il rischio di tasso. In-
oltre, le polizze pro t sharing possono essere viste come un investimento aleatorio con
garanzia annua di rendimento minimo. E’ possibile mostrare che questa garanzia annua e
un’opzione implicita di tipo cliquet (a tal ne si veda Pacati (2003) o De Felice-Moriconi
(2005)), che a sua volta pu o essere scomposta in una sommatoria di opzioni forward start.
Ad esempio, De Felice-Moriconi (2005) considerano gli stessi modelli bivariati a rontati
in questo lavoro, ovvero ‘mescolano’ il modello di Black-Scholes con i modelli Vasicek e
CIR. Tuttavia, nel loro lavoro il pricing non ricorre a formule semichiuse ed e realizza-
to soltanto attraverso un approccio Monte Carlo. L’obiettivo di giungere a formule di
pricing semichiuse all’interno di un modello bivariato stock-tasso e pertanto di grande
rilevanza ed interesse.
Nel capitolo 1 vengono a rontati alcuni concetti generali, come la misurazione della strut-
tura per scadenza, realizzata sia tramite procedure di bootstrap (a sua volta risolto sia
come problema di algebra lineare che dal punto di vista della formula ricorsiva) sia tramite
la stima di un modello: in particolare viene considerata la famiglia di Nelson-Siegel, la
cui calibratura e realizzata tramite inversione della yield curve e partendo direttamente
dai tassi swap. Vengono inoltre passate in rassegna le principali tipologie di opzioni in-
contrate in questo lavoro, ovvero opzioni plain vanilla, forward start e cliquet.
Nel capitolo 2, partendo dalla de nizione di processo di Wiener, viene ricavato il Lemma
di Ito (in una ed in pi u dimensioni). Viene poi a rontato il moto browniano geometri-
co, sia da un punto di vista teorico che pratico: tramite la decomposizione di Cholesky,
passando per la variabile aleatoria normale bivariata, viene simulato un moto browniano
geometrico bivariato, mostrando gli e etti di diversi valori della correlazione. Viene poi
presentato il modello di Black-Scholes: utilizzando l’argomentazione di hedging, si giunge
all’equazione generale di valutazione e viene dimostrata la formula di pricing di una call
europea (ricavata grazie al metodo del completamento del quadrato).
Nel capitolo 3 vengono a rontati alcuni modelli univariati per lo short rate, sia a strut-
tura a termine endogena (CIR e Vasicek) che a struttura a termine esogena (Hull-White).
Viene dimostrato come questi modelli siano strutture a termine a ni e come l’approccio
Monte Carlo possa essere realizzato senza ricorrere alla discretizzazione euleriana, sfrut-
tando semplicemente la distribuzione di probabilit a dello short rate a scadenza. Vengono
poi a rontate nel dettaglio alcune procedure di calibratura: per i modelli CIR e Vasicek la
metodologia e identica a quella del modello di Nelson-Siegel (inversione della yield curve
e calibratura da tassi swap). Per il modello di Hull-White si parte invece da caps e oors,
invertendo la formula di Black e individuando, tramite una procedura di minimizzazione,
i parametri ottimi che minimizzano le di erenze mercato-modello. Le cross-section con-
17
siderate sono due, una pre e una post crisi; viene mostrato come la crisi del 2008 in uisce
sui parametri di questi modelli.
Il capitolo 4 e il ‘cuore’ di questo lavoro: data la de nzione di processo a ne, si a rontano
i modelli univariati incontrati no ad ora (Black-Scholes, Vasicek, CIR e Hull-White) dal
punto di vista dei processi a ni. In particolare, il modello di Black-Scholes si dimostra es-
sere a ne sia tramite il calcolo diretto della funzione generatrice dei momenti che tramite
un ‘approccio martingala’. Viene inoltre mostrata la relazione tra processi di tasso a ni
(caso generale) e strutture a termine a ni (caso particolare). Il passo successivo e quello
dei processi a ni bivariati: VASBS e CIRBS. Viene poi mostrato come recuperare la
soluzione a ne della trasformata di Laplace associata ai processi di tasso univariati par-
tendo da quella dei modelli bivariati. In ne, le formule chiuse ottenute vengono testate
tramite una simulazione Monte Carlo.
Il captilo 5 a ronta il problema del pricing nei modelli a ni: si ottengono formule
semichiuse per opzioni call e forward start in Black-Scholes ed in VASBS e le si testano
tramite procedure numeriche. Viene inoltre svolto un confronto tra pricing in ambiente
VASBS e CIRBS (tramite simulazione Monte Carlo).
L’appendice si divide in due parti: l’appendice A contiene tutti i codici Matlab uti-
lizzati in questo lavoro ed alcuni utili script. L’appendice B, teorica, riporta il teorema
di Fubini ed una dimostrazione della legge delle aspettative condizionate iterate.
18
Capitolo 1
Concetti di base
1.1 La misurazione della struttura per scadenza: un
problema di algebra lineare
La struttura matematica del problema di misurazione della struttura per scadenza pu o
essere visto come problema lineare, dato che si tratta di estrapolare prezzi di ZCB a partire
da una serie di prezzi di coupon bond, che possono essere considerati come combinazioni
lineari di ZCB. Impostiamo dunque la questione come problema di algebra lineare. In
generale, ipotizziamo che il mercato prezzi n titoli obbligazionari non necessariamente a
cedola nulla. Indichiamo con:
t =ft
1
; t
2
;:::; t
m
g
lo scadenzario discreto comune a tutti i titoli, ottenuto dall’unione degli n scadenzari dei
singoli titoli. Indichiamo invece con:
x
j
=ft
j1
; t
j2
;::; t
jm
g;
il usso di pagamenti del j-esimo titolo ride nito sullo scadenzario comune, considerando
nulle le poste sulle date dello scadenzario che non rientrano tra le date speci che del
titolo. Indichiamo con:
V
j
= V (t; x
j
); j = 1; 2;::;n
i prezzi degli n titoli osservati sul mercato al tempo t. Il problema consiste nel ricavare
gli m fattori di sconto
v
k
=v(t;t
k
); k = 1; 2;::;m;
tali che:
V
j
=
m
X
k=1
x
jk
v(k); k = 1; 2;::;n;
Abbiamo dunque un sistema di n equazioni lineari (una per fattore di sconto) in m
incognitev
k
(una per scadenza). I dati del problema leggibili sul mercato sono i coe cienti
x
jk
e i termini noti V
j
. Il problema da risolvere e dunque il seguente:
X v = V; (1.1)
19
dove X e la matrice dei ussi di cassa, v il vettore dei fattori di sconto e V il vettore
dei prezzi. Ricordando che, in generale, il rango r(M) della matrice M e l’ordine mas-
simo dei suoi minori non nulli (cio e in queasto caso il numero di equazioni linearmente
indipendenti), il rango della matrice dei ussi, r(X), individua il numero massimo dei
ussi di pagamento linearmente indipendenti. La di erenza:
n r(X)
individua il numero dei titoli ‘ridondanti’, cio e di quei titoli che possono essere ottenuti
dalla combinazione lineare degli altri titoli. Se si assumono rispettate le ipotesi di mercato
perfetto, e possibile ipotizzare che:
r(X) = n m
Per il teorema di Rouch e - Capelli, il sistema e compatibile (cio e ammette soluzione, non
necessariamente unica) se e solo se la matrice dei ussi e la matrice completa (ottenuta
cio e aggiungendo alla matrice dei ussi il vettore dei prezzi, cio e dei termini noti) hanno
lo stesso rango. Ovvero:
r(X) = r(XjV) = n
Se il rango della matrice completa e maggiore di n il sistema non ammette soluzione,
perch e il vettore dei prezzi non e ottenibile come combinazione lineare delle colonne della
matrice dei ussi. La soluzione esiste ed e unica se e solo se:
r(X) = r(XjV) = n = m
Sem>n il sistema e indeterminato, cio e e possibile scegliere arbitrariamente m n fattori
di sconto e determinare in modo unico solo i rimanenti n fattori di sconto. Esistono cio e
1
m n
strutture per scadenza diverse che risolvono il problema.
1.1.1 Metodi basati sui tassi di parit a: il bootstrap
Un buon punto di partenza per risolvere il problema di misurazione della struttura per
scadenza sono i tassi swap, che sono per de nizione tassi di parit a. Consideriamo un titolo
a cedola ssa (coupon bond) emesso nell’istante t, con valore facciale C e scadenzario:
t =ft + ;t + 2 ;t + 3 ;:::;t +m g
Si de nisce tasso di parit a del titolo il valore
i
C
del tasso cedolare per cui il valore del
titolo (calcolato secondo la struttura per scadenze in vigore in t) coincide col valore di
parit a C, cio e per cui il titolo quoti alla pari. A nch e ci o avvenga e necessario che:
i
m
X
k=1
v(t;t +k ) +Cv(t;t +m ) =C (1.2)
Se si ricava il par yield dalla (1.2) si ottiene un tasso cedolare periodale. Il tasso di parit a
annuo si ottiene semplicemente con la logica dei tassi equivalenti:
p =
1
i
C
=
1 v(t;t +m )
P
m
k=1
v(t;t +k )
(1.3)
20
Il tasso swap e per de nizione ‘un tasso di parit a: e il tasso nominale annuo di un titolo
che ha valore di mercato pari al suo valore facciale, cio e che quota alla pari.’ (Angelini,
2006). In particolare, ponendosi nell’istante di valutazione t = 0, il tasso swap relativo
alla j-esima scadenza risulta pari a:
s
j
=
1 v(0;t
m
)
P
m
k=1
v(0;t
k
)
; (1.4)
dove e la periodicit a dei pagamenti cedolari del titolo che quota alla pari, generalmente
6 mesi (e dunque = 0:5 anni). Sia C il valore facciale del coupon bond. Consideriamo
ora lo scadenzario annuale:
t =f1; 2; 3;:::; ng;
vettore con norma pari ad n. Indichiamo con s
j
il tasso swap per la j-esima scadenza.
Ipotizziamo che il valore facciale sia pari ad 1. Questa scelta e del tutto inin uente, in
quanto il caso generale e facilmente recuperabile moltiplicando scalarmente X e V per
C, determinando soltanto un cambiamento di scala. Il vettore dei prezzi V e dunque un
vettore colonna di norma pari ad n in cui tutti gli elementi sono uguali ad 1:
V = (1; 1;:::; 1)
0
La matrice X dei ussi e la seguente:
0.5 1 1.5 2 2.5 3 .... m
1 0.5s
1
1+0.5s
1
0 0 0 0 ... 0
2 0.5s
2
0.5s
2
0.5s
2
1+0.5s
2
0 0 ... 0
3 0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
1+0.5s
3
... 0
. ... ... ... ... ... ... ... ...
. ... ... ... ... ... ... ... ...
. ... ... ... ... ... ... ... ...
n 0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
.... 1+0.5s
n
Per riga sono riportate le n scadenze in anni, mentre per colonna i pagamenti cedolari
semestrali ed il rimborso del valore facciale a scadenza. Abbiamo dunque un sistema di
n equazioni (una per scadenza) in m incognite (una per fattore di sconto, cio e una per
semestre). La matrice XjV, cio e la matrice completa, e invece la seguente:
0.5 1 1.5 2 2.5 3 .... m m+1
1 0.5s
1
1+0.5s
1
0 0 0 0 ... ... 1
2 0.5s
2
0.5s
2
0.5s
2
1+0.5s
2
0 0 ... ... 1
3 0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
0.5s
3
1+0.5s
3
... ... 1
. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n 0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
0.5s
n
... 1+0.5s
n
1
21
Sappiamo che il sistema ammette soluzione, ed essa e unica, se e solo se:
r(X) = r(XjV) = n = m
In questo caso m = n 2 > n ed il sistema risulta quindi indeterminato. Per tornare
all’unicit a della soluzione e su ciente considerare i pagamenti cedolari su uno scadenzario
annuale e non semestrale e completare la cross section dei tassi swap (ad esempio tramite
interpolazione lineare). In questo caso la matrice X dei ussi risulta molto pi u ‘comoda’,
essendo quadrata e diagonale. La sua forma e infatti la seguente:
1 2 3 .... m=n
1 1+s
1
0 0 .... 0
2 s
2
1+s
2
0 .... 0
3 s
3
s
3
1+s
3
.... 0
... .... .... .... .... 0
n s
n
s
n
s
n
.... 1+s
n
Si veri ca facilmente che il problema ammette soluzione unica, essendo:
r(X) = r(XjV) = n = m
Il vettore dei fattori di sconto v pu o essere ottenuto in almeno due modi equivalenti. Una
prima possibilit a consiste nell’inversione della matrice dei ussi:
v = inv(X) V
Una seconda possibilit a consiste nell’operare in modo ricorsivo, utilizzando una procedura
nota come bootstrap: in pratica, in ogni equazione si utilizzano i fattori di sconto ricavati
dalle equazioni precedenti. Dalla prima equazione del problema di algebra lineare che
stiamo a rontando si ricava:
v(0; 1) =
1
1 +s
1
Dalla seconda:
v(0; 2) =
1 v(0; 1)s
2
1 +s
2
In generale, ponendo t = 0, dalla k-esima equazione si ricava:
v(0;k) =
1 s
k
P
k 1
j=1
v(0;j)
1 +s
k
A partire dai fattori di sconto si possono poi ricavare i tassi zero coupon i(t;t +k). In
generale, ponendo t = 0, per la k-esima scadenza si avr a:
i(0;k) =v(0;k)
1
k
1 =
1 s
k
P
k 1
j=1
v(0;j)
1 +s
k
1
k
1 (1.5)
22
Soltanto per la prima scadenza il tasso zero coupon coincide col tasso swap:
i(0; 1) =v(0; 1)
1
1 =
1
1 +s
1
1
1 =s
1
La struttura per scadenza cos ottenuta copre lo scadenzario annuale da 1 anno ad m anni,
dove m e la maturity massima dei tassi swap quotati sul mercato. Convenzionalmente
la struttura dei tassi a pronti ricavata dagli swap e compleata per le scadenze inferiori
all’anno facendo ricorso alle quotazioni dei tassi del mercato monetario, cio e ai tassi
euribor. In questo modo si ottiene una struttura per scadenza dei tassi nota anche come
struttura zero coupon swap.
1.1.2 Metodi basati sulla stima di un modello: la famiglia di
Nelson-Siegel
Dato che il vettore v che risolve il problema (1.1) non e individualbile in modo unico, un
altro approccio possibile consiste nel determinare v come l’insieme dei prezzi che produce
la migliore approssimazione possibile (cio e il best t )b v dei prezzi osservativ. Si tratta di
scegliere un modello parametrico per la funzione di sconto nel tempo continuo: si assume
cio e come valida una speci ca forma funzionale
v(t;T ; ); t T
per rappresentare il generico fattore di sconto sull’orizzonte temporale [t;T ] in funzione
del vettore di parametri . Si possono allora de nire i prezzi di modello (in funzione del
vettore ) per gli n titoli che formano la matrice dei ussi:
b v
j
( ) =
m
X
k=1
x
jk
v(t;t
k
; )
Una possibile strada che a questo punto pu o essere seguita e quello di determinare il
vettore che minimizza gli scarti quadratici tra i prezzi di modello e quelli di mercato:
= min
n
X
j=1
(b v
j
( ) v
j
)
2
Data la relazione esistente tra tassi swap e fattori di sconto, si tratta di risolvere (nel
senso dei minimi quadrati) il seguente sistema di equazioni in funzione del vettore :
s
1
2
v(0; 0:5; ) +
s
1
2
v(0; 1; ) +v(0; 1; ) = 1
s
2
2
v(0; 0:5; ) +
s
2
2
v(0; 1; ) +
s
2
2
v(0; 1:5; ) +
s
2
2
v(0; 2; ) +v(0; 2; ) = 1
.
.
.
s
n
2
v(0; 0:5; ) +
s
n
2
v(0; 1; ) +
s
n
2
v(0; 1:5; ) +
s
n
2
v(0; 2; ) +::: +
s
n
2
v(0;m; ) +v(0;m; ) = 1
Ottenuto il vettore dei parametri ottimi , ssato t, e possibile costruire l’intera struttura
per scadenza dei fattori di sconto per tutte le scadenze T t. Uno dei possibili modelli
23
parametrici usati per costruire la struttura per scadenza e il modello di Nelson Siegel (di
seguito: NS). Questo modello lavora con la curva forward (Diebold-Li, 2005):
f = 0
+ 1
e
=
+ 2
e
= La curva forward di NS pu o essere vista come una costante sommata ad una funzione
di Laguerre, cio e un polinomio moltiplicato per un decadimento esponenziale. La yield
curve corrispondente e la seguente funzione (Diebold-Li, 2005):
r
ns
= 0
+ 1
1 e
T=
T=
+ 2
1 e
T=
T=
e
T=
(1.6)
La (1.6) corrisponde anche ad una curva dei fattori di sconto che vale 1 in t = 0 e
poi scende asintoticamente a 0 per t che tende all’in nito. Nella (1.6) i parametri
( 0
; 1
; 2
; ) 2 sono ottenibili tramite la minimizzazione degli scarti quadratici
tra i prezzi teorici e quelli di mercato. I parametri possono essere interpretati nel modo
seguente (Diebold - Li, 2006):
• 0
e il fattore di lungo periodo, dato che il ‘caricamento’ sul parametro 0
e una
costante pari ad 1 che dunque non decade a 0 col passare del tempo;
• 1
e la componente di breve periodo: il ‘caricamento’ su questo parametro,
1 e
T=
T=
,
e una funzione che parte da 1 e poi decresce asintoticamente e velocemente no a
0;
• 2
e la componente di medio periodo: il suo ‘caricamento’,
1 e
T=
T=
e
T=
, e una
funzione che parte da 0, aumenta e poi decresce no a 0;
• e il fattore di decadimento: tanto pi u piccolo e , tanto pi u lento e il decadimento
e tanto maggiore e la bont a del tting della curva per le lunghe scadenze;
I valori di 1
e 2
pert = 0 sono facilmente ottenibili applicando la regola di De L’Hopital.
Ad esempio, il caricamento sul parametro 1
, cio e la funzione
1 e
T=
T=
, perT = 0 esprime
una forma indeterminata del tipo
0
0
. Con de L’Hopital otteniamo:
@
T
1 e
T=
T=
=
1= e
T=
1=
=e
T che per T = 0 vale 0. Il gra co (1.1) mostra l’andamento dei caricamenti sui parametri
in funzione del tempo.
1.1.3 Applicazione
Consideriamo la cross section di tassi swap del 1/12/2010 (tratti da Datastream). La
serie di tassi swap e stata completata per interpolazione lineare. La tabella (1.1) riporta
i valori dei tassi swap (in grassetto quelli ottenuti per interpolazione lineare). Da questa
serie completa, ipotizzando dei pagamenti annuali, e stata ottenuta la matrice dei ussi
di cassa, di dimensione 30 30, visto che la maturity massima considerata per i tassi
24
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
caricamenti dei parametri
anni
beta0
beta1
beta2
Figura 1.1: Caricamenti sui parametri in funzione del tempo nel modello di Nelson-Siegel: rns = 0
+
1
1 e
T=
T=
+ 2
1 e
T=
T=
e
T=
, avendo ssato = 0:8, su uno scadenzario mensile da 0 a 7 anni.
swap e pari a 30 anni. Sia il rango di questa matrice, sia quello della matrice completa,
e pari a 30:
r(X) = r(XjV) = n = m = 30
Il vettore v, soluzione al problema, esiste ed e dunque unico. Esso e stato ottenuto sia in
maniera ricorsiva, cio e tramite la procedura di bootstrap (function bootstrap ricorsivo
in appendice), sia utilizzando le regole dell’algebra matriciale, cio e tramite il prodotto del
vettore dei prezzi per l’inversa della matrice dei ussi (function bootstrap sist lin in
appendice). La tabella (1.1) riporta i risultati ottenuti in questi due modi ed ovviamente
essi coincidono esattamente. Dal vettore dei fattori di sconto sono stati poi calcolati
i tassi zero coupon, utilizzando la formula (1.5). Anche i valori dei tassi zero coupon
sono riportati nella tabella (1.1). La gura (1.2) riporta gra camente la curva dei tassi
swap e quella dei tassi zero coupon. Per le scadenze inferiori all’anno i tassi zero coupon
sono stati ricavati dai tassi euribor, i cui valori al 1/12/2010 sono riportati nella tabella
(1.2). In generale, a partire dal tasso euribori
e
(0;t
j
) in vigore sul mercato per laj-esima
scadenza, il relativo fattore di sconto e stato ottenuto utilizzando la seguente espressione:
v(0;t
j
) =
1 + (j t) i
e
(0;t
j
)
1
Il tasso zero coupon e stato ottenuto a partire da questo fattore di sconto:
i(0;t
j
) =v(0;t
j
)
1
j t
1
Passiamo ora ai metodi basati sulla stima di un modello. Per la calibratura del modello
di Nelson Siegel sono stati utilizzati due punti di partenza: i tassi swap e i fattori di sconto
di mercato ottenuti tramite bootstrap. Nel primo caso, la procedura e stata implementata
nel modo seguente:
25
T EURIRS (%) V
(1)
V
(2)
i(0,T) (%) T EURIRS (%) V
(1)
V
(2)
i(0,T) (%)
1 1.36 0.98658 0.98658 1.360 16 3.41 0.57349 0.57349 3.536
2 1.56 0.96949 0.96949 1.562 17 3.42 0.55332 0.55332 3.543
3 1.79 0.94802 0.94802 1.795 18 3.43 0.53371 0.53371 3.550
4 2.05 0.92157 0.92157 2.063 19 3.44 0.51464 0.51464 3.558
5 2.31 0.89104 0.89104 2.334 20 3.45 0.49612 0.49612 3.567
6 2.51 0.86002 0.86002 2.545 21 3.43 0.48220 0.48220 3.534
7 2.70 0.82710 0.82710 2.749 22 3.41 0.46890 0.46890 3.502
8 2.85 0.79484 0.79484 2.912 23 3.40 0.45621 0.45621 3.471
9 2.97 0.76352 0.76352 3.043 24 3.38 0.44409 0.44409 3.440
10 3.07 0.73306 0.73306 3.154 25 3.36 0.43252 0.43252 3.409
11 3.16 0.70347 0.70347 3.249 26 3.33 0.42315 0.42315 3.363
12 3.24 0.67366 0.67366 3.347 27 3.30 0.41431 0.41431 3.317
13 3.29 0.64698 0.64698 3.406 28 3.28 0.40597 0.40597 3.272
14 3.35 0.62049 0.62049 3.468 29 3.25 0.39812 0.39812 3.227
15 3.40 0.59424 0.59424 3.531 30 3.22 0.39073 0.39073 3.182
Tabella 1.1: Grandezze di mercato dai tassi swap al 1/12/2010. L’orizzonte temporale va da 1 a 30 anni. I
valori in grassetto degli EURIRS indicano i valori ottenuti tramite interpolazione lineare per completare la serie. V
(1)
e
V
(2)
indicano i fattori di sconto di mercato ottenuti rispettivamente tramite inversione della matrice dei ussi e tramite
bootstrap. E’ evidente che queste due modalit a sono del tutto equivalenti. La grandezza i(0,T) (%) indica invece i tassi
zero coupon (espressi in percentuale) ricavati dai fattori di sconto.
EURIBOR (%) Scadenza
0.606 1 settimana
0.668 2 settimane
0.735 3 settimane
0.812 1 mese
0.915 2 mesi
1.026 3 mesi
1.082 4 mesi
1.162 5 mesi
1.258 6 mesi
1.301 7 mesi
1.345 8 mesi
1.398 9 mesi
1.436 10 mesi
1.482 11 mesi
Tabella 1.2: Tassi EURIBOR e relative scadenze in vigore sul mercato al 1/12/2010.
1. e stata costruita la matrice dei ussi di cassa ‘originale’, di dimensione 15 60,
recuperando cio e la semestralit a dei pagamenti cedolari;
2. e stata costruita la matrice dei pagamenti nali, riportando cio e il rimborso del
valore facciale (ipotizzato uguale ad 1) sulla relativa scadenza semestrale per ogni
riga;
3. e stata richiamata la function che calcola il generico fattore di sconto nel modello
di NS;
4. la funzione obiettivo e stata costrutita come somma per riga del prodotto tra la
matrice dei fattori di sconto per la matrice completa (ottenuta cio e dalla somma
della matrice dei ussi e dei pagamenti nali), sottraendo poi il valore facciale (cio e
1). Questa funzione obiettivo e stata poi passata all’elaboratore per la minimiz-
zazione. A questo ne e stata utilizzata la function lsqnonlin di Matlab (per una
sua breve illustrazione si rimanda all’apposita sezione). Questo procedimento e
stato implementato tramite la function caliNS descritta in appendice.
26
0 5 10 15 20 25 30
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
maturity
tassi
tassi swap
tassi zc (da euribor)
tassi zc (da swap)
Figura 1.2: Curva dei tassi di mercato al 01/12/2010. I tassi zero coupon per scadenze inferiori all’anno sono
stati ottenuti a partire dai tassi euribor. Quelli per scadenze superiori all’anno sono stati calcolati dai fattori di sconto
estrapolati tramite bootstrap a partire dai tassi swap.
Come valori di inizializzazione sono stati utilizzate le seguenti ‘scommesse’ per i parametri:
0
= 0:02; 1
= 0:02; 2
= 0:001; = 4
Non sono stati utilizzati limiti per i parametri, n e inferiori n e superiori. Il numero delle
possibili iterazioni e stato limitato a 5000. Il risultato della minimizzazione e il vettore
dei parametri ‘ottimi’:
0
= 0:01903; 1
= 0:02647; 2
= 0:1444; = 12:9531
Il residuo della minimizzazione e pari a 1.55 10
05
. Con questi parametri e ora possibile
costruire l’intera struttura per scadenza degli ZCB, da cui si ricava sia la curva dei tassi
zero coupon che il vettore di tassi swap. La gura (1.3) riporta gra camente queste
grandezze, confrontandole con quelle di mercato. Come si vede il tting e notevole.
Passiamo ora alla seconda metodologia: vogliamo cio e calibrare il modello di Nelson-
Siegel a partire da un vettore di fattori di sconto e non dai tassi swap. A tal ne e
stata utilizzata la function caliNS fatt scont descritta in appendice. Come valori di
inizializzazione per la minimizzazione sono stati utilizzate le stesse ‘scommesse’ per i
parametri del caso precedente:
0
= 0:02; 1
= 0:02; 2
= 0:001; = 4
Come prima, non sono stati posti vincoli ai parametri. Il residuo dell’ottimizzazione e
leggermente pi u alto, essendo pari a 5.136 10
05
. Il vettore ottenuto e molto simile al
precedente. Esso contiene i seguenti parametri:
0
= 0:01985; 1
= 0:02819; 2
= 0:1424; = 13:29401
La gura (1.4) riporta i tassi zero coupon di mercato (ottenuti dai tassi euribor e dai tassi
swap) e le curva dei tassi zero coupon del modello di Nelson Siegel, ottenute in entrambe
le metodologie appena descritte.
27
0 5 10 15 20 25 30
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
maturity
tassi
tassi zc da euribor
tassi zc da swap
tassi zc NS
swap di mercato
swap NS
Figura 1.3: Costruzione della struttura per scadenza col modello di Nelson Siegel, 01/12/2010: a partire dai tassi
swap di mercato sono stati ottenuti i tassi zero coupon di mercato, la cui serie e stata completata facendo ricorso ai tassi
EURIBOR per le scadenze inferiori all’anno. La curva dei tassi di Nelson Siegel e stata ottenuta a partire dai tassi swap.
0 5 10 15 20 25 30
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
tassi zc NS(1)
tassi zc NS(2)
tassi zc mkt da eruibor
tassi zc mkt da swap
Figura 1.4: Costruzione della struttura per scadenza col modello di Nelson Siegel, 01/12/2010: a partire dai fattori
di sconto di mercato (ottenuti tramite bootstrap a partire dai tassi swap) sono stati ottenuti i tassi zero coupon di mercato,
la cui serie e stata completata facendo ricorso ai tassi EURIBOR per le scadenze inferiori all’anno. La curva dei tassi
zero coupon di Nelson Siegel e stata ottenuta a partire dai tassi swap (tassi zc (1)) e a partire dai fattori di sconto di
mercato (tassi zc (2)).
1.2 Alcune tipologie di opzioni
1.2.1 Opzioni plain vanilla
Un’opzione di tipo plain vanilla e un contratto che da all’acquirente il diritto di acquistare
(opzione call) o di vendere (opzione put) entro una certa data (opzione americana) o
28
in una data futura precisa (opzione europea) un determinato sottostante ad un prezzo
pre ssato K, detto strike price. Colui che sottoscrive il contratto di opzione e detto essere
in posizione lunga, o essere il writer dell’opzione; viceversa, la controparte e detta essere
in posizione corta. Chi e in posizione corta, nell’istante di stipula del contratto, riceve
una quantit a di soldi pari al prezzo dell’opzione, ma ha potenziali perdite successive; la
sua situazione e speculare rispetto alla posizione lunga, che paga un certo importo per
avere possibili guadagni a scadenza. Il payo nale di una posizione lunga su una call
europea, senza includere il valore iniziale dell’opzione, e pari a:
max(S
T
K; 0)
Questo ri ette il fatto che l’opzione sar a esercitata se S
T
K e non altrimenti. Il payo
nale di una posizione corta e invece pari a:
max(S
T
K; 0) = min(K S
T
; 0)
Per quanto riguarda l’opzione put, la posizione lunga ha payo :
max(K S
T
; 0);
mentre la posizione corta:
max(K S
T
; 0) = min(S
T
K; 0)
L’immagine (1.5) disegna il payo a scadenza di un’opzione call (in alto) e di una put
Figura 1.5: Payo a scadenza di un’opzione europea di tipo call (in alto) e put (in basso), posizione lunga (a
sinistra) e corta (a destra).
(in basso) sia in posizione lunga (a sinistra) che corta (a destra). Come si vede, il payo
a scadenza e funzione del valore assunto dal sottostante. Nel caso di una posizione
lunga su call, il payo e strettamente positivo solo per valori del sottostante maggiori
dello strike price K. In questo caso, infatti, si ha il diritto di acquistare ad un prezzo
29
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
