Arbitraggio e valutazione dei titoli rischiosi

Oggetto del presente studio è l'analisi della teoria della selezione di un portafoglio
(portfolio selection) di titoli rischiosi negoziati nei mercati finanziari in condizioni d'incertezza. L'analisi è costruita sulla base di tre importanti postulati che si assume caratterizzino il mercato:
• agenti economici razionali,
• assenza di strategie di arbitraggio,
• equilibrio efficiente.
Come vedremo, ciascuna di queste tre condizioni implica l'esistenza di un vettore dei prezzi di stato, ovvero di fattori di sconto positivi, uno per ciascuno dei possibili stati futuri del mondo, tali che il prezzo effettivo di un titolo sia dato dalla somma dei suoi dividendi pesata rispetto alle componenti del vettore dei prezzi di stato. Fondamentale conseguenza è allora l'unicità del prezzo di un titolo.

Dopo un primo capitolo di introduzione ai concetti di mercati finanziari e titoli di mercato, il lavoro vero e proprio si sviluppa a partire dal secondo capitolo con l'esame del modello standard per la descrizione di un mercato finanziario con un singolo periodo di transazione. All'inizio del periodo di transazione il sistema economico si presenta costituito da un solo stato, le cui caratteristiche sono completamente note agli agenti economici. Al termine del periodo si manifesta uno stato di mondo di un insieme finito di stati possibili e mutuamente esclusivi, le cui caratteristiche, compresa una misura oggettiva della probabilità di realizzazione, sono note agli agenti. In questo modello, l'incertezza viene pertanto rappresentata assumendo l'esistenza di un numero finito di possibili stati futuri ciascuno dotato di una sua probabilità di realizzazione. In questo contesto cominceremo ad introdurre i concetti di base che verranno poi ripresi e analizzati nei modelli successivi sotto condizioni tecniche più sofisticate.

Nel terzo capitolo analizzeremo modelli a più periodi di transazione e con un numero eventualmente infinito di possibili stati futuri, riesaminando alla luce dell'accresciuta complessità i concetti introdotti nel caso monoperiodale.
Il collegamento tra i due modelli, monoperiodale e multiperiodale, è definito attraverso i concetti di vettore dei prezzi di stato e di misura equivalente di martingala, introdotti allo scopo di definire il prezzo effettivo di un titolo rischioso. Nell'ambito di questi modelli, cercheremo di presentare una panoramica di situazioni in cui interviene la nozione di strategia di arbitraggio. Quello che otteremo sarà una definizione del concetto di vettore dei prezzi di stato basata in primo luogo sull'assenza di strategie di arbitraggio, in secondo luogo sulle condizioni di primo ordine per l’ottimizzazione delle scelte di portafoglio degli agenti economici, ed infine sulle condizioni necessarie per la Pareto Efficienza dell'equilibrio nell'ambito di mercati completi.

Infine, nel quarto capitolo cercheremo di illustrare alcune applicazioni del concetto di strategia di arbitraggio nell'ambito di modelli di mercato a tempo continuo, dove giocano un ruolo fondamentale le più avanzate tecniche di calcolo stocastico. In questo modello, l'incertezza è rappresentata dai processi di Wiener, che intervengono nelle equazioni differenziali utilizzate per modellare la dinamica del prezzo dei titoli. Analizzeremo in particolare la ben nota formula per la valutazione delle opzioni europee ottenuta da Fischer Black e Myron Scholes, in un lavoro del 1973, sulla base di precedenti ricerche di Robert Merton e Paul Samuelson. L'intuizione fondamentale del modello di Black & Scholes è che un titolo derivato è implicitamente prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato. La formula di Black & Scholes è largamente applicata nei mercati finanziari ed esercita un enorme influenza sul modo in cui gli operatori valutano le opzioni ed effettuano le coperture.
Nel 1997, l'importanza del modello è stata riconosciuta con l'assegnazione del premio Nobel per l'economia a Myron Scholes e a Robert Merton.