Sul ruolo della stretta convessità nello studio delle equazioni funzionali alternative

Nel capitolo precedente abbiamo visto come sia stato possibile pronunciarsi sull'equivalenza delle varie forme alternative dell'equazione quadratica, tra loro e con l'equazione (2.1) stessa, quando si ricerchino le soluzioni nella classe delle soluzioni degli operatori a valori in uno spazio pre-hilbertiano. E' stato osservato che la presenza del prodotto interno, caratteristica che qualifica questi spazi, facilita e semplifica molti ragionamenti e dimostrazioni in quanto esso è intimamente legato alla norma dalla legge del parallelogrammo, la quale altro non è se non una particolare riformulazione dell'equazione quadratica stessa.

In un certo senso trattare operatori a valori in uno spazio pre-hilbertiano è la scelta più naturale che si può compiere per affrontare lo studio delle forme alternative dell'equazione quadratica e, non a caso, proprio in quest'ambito siamo stati in grado di garantire l'equivalenza di quasi tutte le forme alternative stesse, al più aggiungendo una non troppo vincolante condizione di natura geometrica.

Ci si rende però immediatamente conto del ruolo centrale giocato dalla stretta convessità in moltissime situazioni che abbiamo incontrato: a titolo di esempio si consideri la dimostrazione del Teorema 15, il quale stabilisce l'equivalena delle equazioni (2.2) e (2.3), oppure le proprietà enucleate per l'equazione (2.4) nel Lemma 17 tra cui spicca la parità delle soluzioni nel caso in cui appunto il codominio sia strettamente convesso, fatto che tra le altre cose ci ha permesso di osservarne l'equivalenza con l'equazione (2.5). Ma c'è un ulteriore motivo per il quale èopportuno prendere in considerazione la stretta convessità e restituirle ancora una volta, almeno per certi ambiti, la funzione dominante che aveva avuto nello studio delle forma alternative dell'equazione di Cauchy, ragione che appunto analizzeremo subito nella sezione seguente.