Sul ruolo della stretta convessità nello studio delle equazioni funzionali alternative

Introduzione La presente tesi si pone come obbiettivo quello di sottolineare il ruolo cen- trale giocato da un propriet a di natura geometrica, la stretta convessit a , nell’ambito di una teoria invece prettamente analitica quale quella delle for- me alternative delle equazioni funzionali. Rivolgeremo in particolare la nostra attenzione a problemi tipici del ramo come l’equivalenza e lo studio su dominio ristretto. I primi due capitoli hanno carattere introduttivo e illustrano i principali risultati concernenti lo studio delle delle equazioni funzionali alternative dell’additivit a f(x +y) =f(x) +f(y) e quadratica f(x +y) +f(x y) = 2f(x) + 2f(y). Ci o che distinge le due sezioni e che, mentre nella prima utilizzeremo esclu- sivamente la stretta convessit a (e saremo addirittura in grado di fornirne una caratterizzazione mediante le soluzioni continue dell’equazione alterna- tivakf(x +y)k =kf(x) +f(y)k), nella seconda avremo bisogno per alcune dimostrazioni di lavorare sulla pi u limitata classe degli operatori a valori in uno spazio pre-hilbertiano. Il lavoro originale muove proprio da qui: l’idea e quella di tentare, nello stes- so modo portato a termine con successo nel caso additivo, di estendere il risultato di equivalenza tra l’equazione quadratica e l’equazione kf(x +y)k =k2f(x) + 2f(y) f(x y)k considerando operatori a valori in spazi strettamente convessi. Il problema che ci si e posti e stato suggerito soprattutto dalla mancanza di controesempi, almeno tra quelli noti no ad oggi in letteratura, i quali mostrino la non equivalenza senza dover per forza negare la stretta convessit a del codominio: il terzo capitolo costituir a per l’appunto un dettagliato riassunto di tutto quanto si e stati in grado di dire sulla questione. Il risultato cui si e pervenuti e purtroppo solo parziale e a posteriori possiamo 3