Applicazione dell’algoritmo di Lemke-Howson nei giochi bimatriciali

La teoria dei giochi è una “settore” della matematica applicata all’economia (e a dire il vero anche in molte altre materie) che studia l’interazione strategica tra soggetti economici, detti giocatori o agenti. È uno strumento con il quale è possibile descrivere ed analizzare situazioni astratte in cui due o più soggetti razionali, con interessi almeno parzialmente contrapposti, affrontano problemi decisionali reciprocamente dipendenti, tenendo conto delle proprie conoscenze ed al tempo stesso formulando aspettative di comportamento degli altri. Le situazioni in cui ciascun individuo è coinvolto ed i relativi pay-off non dipendono quindi solo dalle proprie decisioni ma anche da quelle degli avversari.
Parlando della TdG, bisogna sicuramente menzionare l’“Equilibrio di Nash”, senza ombra di dubbio il concetto di soluzione più conosciuto per un gioco non cooperativo. Comunque bisogna puntualizzare che nella realtà le situazioni sono molto più complesse, per questo motivo s’è dato vita ad un’enormità di sistemi automatizzati atti alla determinazione di questi equilibri. Ed in particolare ad una serie di algoritmi di calcolo, tra i quali spicca quello di Lemke-Howson, di cui si tratterà nel seguito.
Un gioco è un modello di descrizione di situazioni in cui due o più soggetti (agenti) autonomi si trovano ad interagire in maniera strategica. In detta situazione i vari agenti devono prendere delle decisioni, e quindi devono controllare ciascuno una o più variabili che influiscono sul benessere e l’utilità propri e degli altri decisori.
Procedendo, sicuramente bisogna analizzare le varie differenze che intercorrono tra tipi diversi di giochi. Una prima distinzione è quella tra giochi cooperativi e non cooperativi. Altra distinzione molto importante è tra giochi in forma normale oppure forma estesa. I primi sono detti anche “strategici” e sono rappresentati in modo molto sintetico, attraverso un insieme di agenti, un insieme di strategie ad essi assegnate, da una funzione che associa ad ogni combinazione possibile un esito diverso, ed infine da un vettore che associa ad ogni esito una sequenza di vincite definite. Quando si parla invece di forma estesa si ha una più completa informazione, appunto l’“estensione”, ma in realtà la particolarità principale è costituita dalla non contemporaneità delle scelte formulate dagli agenti.