Modelli in finanza matematica: aspetti analitici e probabilistici

In questo capitolo verrà introdotto sinteticamente il modello di riferimento per la descrizione dei mercati finanziari: il modello di Black e Scholes. Si tratta di un modello matematico che permette di risolvere un problema di "option pricing" cioè un problema di calcolo del prezzo di opzioni. Per la valutazione di opzioni di tipo europeo, infatti, è frequentemente usata la nota formula di Black e Scholes, che deriveremo utilizzando due differenti approcci.

Il modello di Black e Scholes si basa su alcuni assunti che si sono dimostrati per certi versi lontani dalla realtà dei mercati; tra questi si possono elencare la continuità del processo di prezzo, l'assenza di costi di transazione, la distribuzione normale e indipendente dei rendimenti e la volatilità costante del processo di prezzo. La formula di Black e Scholes, ad esempio, è anche usata per calcolare la volatilità del sottostante osservando il prezzo dell'opzione (volatilità implicita): se si effettua il calcolo della volatilità implicita in diversi istanti, si vede che essa varia sensibilmente con il variare del tempo, contraddicendo il modello di Black e Scholes.

Una delle più grosse differenze tra ciò che si osserva nei mercati finanziari e le previsioni del modello di Black e Scholes è, però, il prezzo delle opzioni europee. Vedremo, infatti, dopo aver introdotto il cosiddetto "effetto smile", che esso mette in evidenza come il modello di Black e Scholes, in molti casi, non sia sufficientemente predittivo.

Successivamente presenteremo diverse modifiche al modello, ottenute con l'aggiunta di una componente stocastica nella volatilità del sottostante, e mostreremo brevemente quale sia il loro apporto nella qualità di predizione della distribuzione di probabilità del prezzo di un titolo azionario, e quindi del prezzo dei contratti derivati.