Modelli in finanza matematica: aspetti analitici e probabilistici

Le opzioni finanziarie sono strumenti finanziari derivati che hanno conosciuto, negli ultimi decenni, una rapida diffusione e vengono utilizzate prevalentemente sia come copertura rispetto varie forme di rischio che a fini speculativi.
E' innegabile, tuttavia, che parte dell'iniziale successo e della successiva diffusione di tali strumenti sia legata alla presenza di un modello di valutazione, molto semplice ed efficiente, sviluppato da Black e Scholes nel 1973 ed esteso in varie direzioni da Merton nello stesso anno.
Nello studio del prezzaggio di opzioni è di fondamentale importanza lo studio di Black e Scholes in quanto essi, sulla base di determinate "condizioni ideali", riuscirono a derivare un'espressione per determinare il prezzo di una call europea su di un'azione.
La formula derivata da Black e Scholes si basa su numerose ipotesi che, nella realtà, raramente sono soddisfatte. La violazione di tutte o di alcune delle ipotesi alla base del modello di Black e Scholes porta, inevitabilmente, a commettere sistematici errori rispetto ai prezzi di mercato. Nonostante ciò, la formula di Black e Scholes risulta molto utilizzata nella pratica in virtù della sua semplicità: è necessaria, infatti, la stima del solo parametro incognito che rappresenta la volatilità osservabile empiricamente sul mercato. La volatilità ha un importante ruolo nella valutazione del prezzo di un'opzione.
Secondo la teoria di Black e Scholes essa è considerata un parametro deterministico costante nel tempo, ma numerose analisi empiriche hanno dimostrato che questo vincolo viene violato in quanto la volatilità di un titolo, in realtà, varia nel tempo dispiegando un particolare andamento conosciuto dagli operatori di mercato come "sorriso di volatilità". La necessità di rendere sempre più accurate le stime dei prezzi delle opzioni ha indotto gli operatori finanziari a sviluppare alcune tecniche in grado di sopperire alle inadeguatezze del modello di Black e Scholes. Infatti, nel corso degli ultimi decenni, in letteratura sono comparsi un gran numero di modelli per la determinazione dei prezzi delle opzioni che considerano la volatilità variabile nel tempo. Una classe di modelli importante e più recente è quella che considera il caso di una "volatilità stocastica". Essa ha attirato l'attenzione delle principali istituzioni finanziarie in quanto, se da un lato consente un notevole miglioramento delle stime dei prezzi reali delle opzioni, dall'altro riproduce in modo naturale i famosi sorrisi di volatilità. E' bene tuttavia chiarire che, ad oggi, i modelli a volatilità stocastica non hanno sostituito il modello di Black e Scholes nella prassi operativa. Estensioni e miglioramenti avvenuti nel corso degli ultimi anni rendono comunque questo filone di studi tutt'altro che esaurito ed è per questo che abbiamo concentrato su di esso la nostra attenzione.