Introduzione
possibilità di neutralizzare non solo gli shock transitori, ma anche quelli duraturi
che, in assenza di redistribuzione interpersonale dei rischi, modificano invece il
livello di reddito permanente e del consumo.
Le maggiori implicazioni del risk sharing solitamente sottoposte a verifica sono
due. In primo luogo dovrebbe risultare un’elevata correlazione tra i tassi di
crescita dei consumi degli agenti economici (coefficiente teoricamente pari a 1 in
presenza di completa neutralizzazione dei rischi idiosincratici) e comunque di
entità superiore alla correlazione tra i tassi di crescita del reddito. In secondo
luogo, la correlazione tra i singoli tassi di crescita del consumo e altre variabili
esplicative deve essere nulla, una volta che si siano considerati i tassi di crescita
del consumo a livello globale. In ciascun periodo quindi, la variazione dei
consumi sarebbe soggetta soltanto a shock globali non diversificabili; la
variabilità del consumo a livello globale dovrebbe spiegare interamente la
variabilità dei consumi individuali e nessun altro fattore esplicativo della
dinamica del consumo dovrebbe essere significativo.
I comportamenti di risk sharing sono stati studiati in diverse analisi e per diversi
soggetti quali nazioni, regioni, famiglie, ecc. Una rassegna dei principali studi
riguardanti il risk sharing viene fornita nel primo capitolo.
Tutti questi studi sono tuttavia concordi nell’affermare che esiste
un’assicurazione solo parziale del reddito e del consumo. Nonostante risulti un
risk sharing molto limitato tra i soggetti, è comunque importante quantificarne
l’estensione e, soprattutto, è importante identificare i canali attraverso i quali il
rischio è condiviso, nonché misurare l’ammontare di risk sharing ottenuto con
ciascun canale. Questo è ciò che si è tentato di fare nel secondo capitolo per i
paesi appartenenti all’Unione Monetaria Europea, seguendo il modello proposto
da Sorensen e Yosha (1998) di scomposizione della varianza cross-sectional
degli shock sul reddito a livello internazionale.
Nell’ottica del risk sharing internazionale si possono identificare diversi
meccanismi per condividere il rischio tra i paesi. I cittadini o i governanti di un
paese possono acquistare diritti sull’output prodotto in un altro paese. Ad
esempio, se i fondi comuni o i fondi pensione in un paese investono a livello
Introduzione
internazionale, il reddito dei cittadini di quel paese si muoverà con l’output di un
altro; oppure, se gli intermediari finanziari in un paese concedono prestiti alle
imprese di un altro paese, il flusso dei pagamenti degli interessi contribuirà allo
smoothing del reddito dei cittadini del paese prestatore. Tutte queste forme di risk
sharing internazionale si riflettono nell’assicurazione del reddito attraverso
proprietà cross-border di attività produttive. Se i flussi dei fattori di reddito non
sono sufficienti per un completo risk sharing, c’è la possibilità di effettuare un
ulteriore consumption smoothing attraverso i comportamenti di risparmio.
La scomposizione della varianza cross-sectional proposta da Sorensen e Yosha
(1998) permette di misurare la frazione di shock che è assorbita attraverso il
mercato dei capitali, quella attraverso il risparmio e quella non assorbita
(quest’ultima calcolata come deviazione dall’allocazione ottimale del consumo)
e, quindi, di individuare l’esatto ruolo di ciascun canale nello smoothing
internazionale degli shock sull’output.
Si è ritenuto di particolare interesse effettuare tale analisi per i paesi appartenenti
all’Unione Monetaria Europea, poiché i meccanismi per ottenere l’assicurazione
del reddito e lo smoothing del consumo sono essenziali per la stabilità di
un’unione monetaria: senza tali meccanismi i paesi durante una recessione
avranno un incentivo a lasciare l’unione. L’analisi, in particolare, ha riguardato il
grado di condivisione del rischio nonché i principali canali per la diversificazione
dei rischi tra i paesi dell’EMU su due diversi sottoperiodi di notevole interesse,
ovvero 1968-1992 e 1993-2001, in quanto rappresentanti le fasi fondamentali
dell’integrazione europea.
Nel terzo capitolo viene poi proposto un tentativo di miglioramento del modello
di Sorensen e Yosha (1998) che prende spunto dalle critiche di Mélitz e Zumer
(1999), ottenuto introducendo un’ulteriore variabile indipendente nelle
regressioni data dall’apertura dei paesi verso l’estero (misurata come rapporto
della somma delle esportazioni e importazioni sul PIL).
L’ipotesi dell’apertura di un paese, che è associata alla letteratura delle aree
valutarie ottimali, è che più un paese è specializzato nella produzione, più
dipenderà dal commercio e tenderà ad essere aperto verso l’estero. In un paese
Introduzione
più aperto, cioè che commercia di più in beni e servizi, ci saranno maggiori
proprietà cross-border sul capitale e maggiori diritti cross-country sull’output.
L’introduzione dell’apertura nelle regressioni come variabile indipendente può
allora influenzare la scomposizione dello smoothing degli shock sull’output.
Tenendo conto dei risultati trovati e delle implicazioni derivanti dalla
costituzione di un’area valutaria comune, si è infine tentato di analizzare i
possibili meccanismi di aggiustamento degli shock nell’era dell’euro, visto
soprattutto che l’adozione della moneta comune ha comportato la rinuncia da
parte degli stati membri allo strumento della politica monetaria e che il trattato di
Maastricht impone delle restrizioni sui deficit di bilancio dei paesi aderenti
all’Unione Monetaria Europea, pur nella consapevolezza che la durata
dell’esperienza della moneta unica è tuttora troppo breve per dare robustezza alle
ipotesi che vengono formulate.
Capitolo 1
Teoria e letteratura del risk sharing
1 Introduzione
L’idea che i soggetti cerchino di assicurare il proprio consumo dalle fluttuazioni
del reddito individuale è una caratteristica comune delle moderne teorie
economiche.
Come sottolineato da molti autori, l’assicurazione del consumo può essere vista
come il complemento dell’ipotesi di reddito permanente: nel primo caso c’è un
consumption smoothing tra gli agenti mentre nel secondo caso gli agenti
effettuano un consumption smoothing nel tempo.
Con piena assicurazione, il consumo delle unità considerate (soggetti, famiglie,
paesi) non dovrebbe variare in risposta agli shock idiosincratici del reddito,
mentre se l’ipotesi di reddito permanente è verificata, il consumo di una unità
individuale non dovrebbe variare in risposta agli shock transitori.
La redistribuzione interpersonale dei rischi individuali e la redistribuzione
intertemporale del rischio individuale sono quindi due proposizioni distinte,
ognuna delle quali può essere verificata indipendentemente dall’altra. Come
suggerito da Cochrane (1991), in un caso gli errori delle equazioni di Eulero
1
derivate dal processo di massimizzazione dell’utilità dei diversi individui
dovrebbero essere gli stessi in un dato periodo, nell’altro caso l’equazione di
1
L’equazione di Eulero è data da
)()1()(
2
'
1
'
CUrCU += δ
, dove
1
C
e
2
C
indicano il consumo al tempo
1 e al tempo 2, δ il fattore di sconto intertemporale del soggetto e r il tasso di interesse privo di rischio del
mercato, ed identifica una relazione di ottimo intertemporale sottolineando che in una situazione di
ottimo i guadagni e le perdite derivanti dalla allocazione intertemporale del consumo si devono
perfettamente controbilanciare. Supponendo infatti che l’individuo al periodo 1 riduca di una unità il
proprio consumo, che investa tale ammontare (che in quanto non consumato è risparmiato) al tasso di
interesse di mercato r, e che consumi poi tale unità più gli interessi nel periodo 2, il minor consumo
corrente comporta una riduzione dell’utilità pari a
)(
1
'
CU , mentre il maggior consumo futuro comporta
un aumento dell’utilità pari a
)()1(
2
'
CUr+δ
. La decisione di consumare di più nel periodo 1 rispetto al
periodo 2, o viceversa, dipende ovviamente dalla grandezza di δ e (1+r), ovvero dalla misura con cui il
consumo futuro viene valutato rispettivamente dall’individuo e dal mercato.
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
Eulero per un individuo dovrebbe avere un errore di previsione pari a zero.
Ovviamente, gli errori delle equazioni di Eulero possono essere uguali senza
avere media zero (assicurazione del consumo senza reddito permanente) e
viceversa.
Al fine di neutralizzare gli effetti di shock idiosincratici sulla dinamica del
consumo si può far ricorso al mercato delle attività (ad esempio, impiegando il
proprio portafoglio in azioni collegate ad attività diversificate sul territorio), al
mercato del credito (ad esempio, assumendo posizioni creditorie o debitorie a
seconda del tipo di shock che colpisce il reddito), agli interventi di politica
economica (ad esempio, facendo affidamento a manovre redistributive e di
sostegno anticiclico della domanda).
Sotto l’ipotesi di mercati completi gli agenti possono sottoscrivere contratti di
contingent claim che forniscono piena assicurazione contro gli shock
idiosincratici sul reddito. I problemi di asimmetria informativa come il moral
hazard o l’adverse selection
2
rendono però difficile l’implementazione di tali
contratti, che sono infatti raramente osservati nella realtà.
La piena assicurazione può essere ottenuta anche quando esistono istituzioni che
implementano allocazioni ottimali del consumo. Alcune di queste istituzioni
esistono nella realtà ed includono ad esempio le indennità di disoccupazione ed
invalidità e l’assistenza medica; i programmi di welfare e i programmi sociali del
governo; l’insieme dei trasferimenti governativi per le calamità naturali come
siccità, alluvioni, terremoti; e, infine, i meccanismi di assicurazione informale
che includono doni o prestiti fatti dai parenti o dagli amici.
Esistono inoltre forme di altruismo intergenerazionale che possono
implementare allocazioni ottimali del consumo all’interno di una famiglia
3
e
2
L’asimmetria informativa è un fenomeno tipico dei contratti di assicurazione che si ha quando uno dei
contraenti possiede più informazione dell’altro sulla probabilità degli eventi. In particolare il moral
hazard attiene al legame di dipendenza che può sussistere tra la probabilità di un evento (di solito
l’evento dannoso) e il comportamento dell’assicurato, mentre l’adverse selection concerne l’eterogeneità
delle probabilità individuali rispetto alla frequenza media: l’offerta dell’assicurazione a un premio medio
opererebbe una selezione della domanda tale da indurre ad assicurarsi solo gli individui più esposti al
rischio.
3
Vedi Abel e Kotlikoff (1988) e Altonji, Hayashi e Kotlikoff (1992) per lo studio delle implicazioni sul
consumo dell’altruismo intergenerazionale.
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
forme di altruismo cross-sectional che possono, in modo analogo, implementare
allocazioni ottimali del consumo tra le famiglie: molte persone sono infatti
disposte ad aiutare individui o gruppi sconosciuti che sono stati colpiti da un
evento calamitoso; aiuti che non sono basati sull’osservazione delle differenze
nei livelli di reddito (Cochrane, 1991).
La completezza dei mercati e l’esistenza di istituzioni che implementano
allocazioni di first best, sono però solo condizioni sufficienti, ma non necessarie,
per la piena assicurazione del consumo. Ad esempio, Marcet e Singleton (1992) e
Baxter e Crucini (1995) mostrano che anche quando i mercati finanziari sono
fortemente incompleti e non esistono meccanismi per implementare allocazioni
ottimali, si può ottenere un’assicurazione quasi totale del consumo se gli agenti
hanno preferenze simili e differiscono solamente per i flussi di reddito.
Le maggiori implicazioni del risk sharing solitamente sottoposte a verifica sono
due. In primo luogo dovrebbe risultare un’elevata correlazione tra i tassi di
crescita dei consumi degli agenti economici (coefficiente teoricamente pari a 1 in
presenza di completa neutralizzazione dei rischi idiosincratici) e comunque di
entità superiore alla correlazione tra i tassi di crescita del reddito. In secondo
luogo, la correlazione tra i singoli tassi di crescita del consumo e altre variabili
esplicative deve essere nulla, una volta che si siano considerati i tassi di crescita
del consumo a livello globale. In ciascun periodo quindi, la variazione dei
consumi sarebbe soggetta soltanto a shock globali non diversificabili; la
variabilità del consumo a livello globale dovrebbe spiegare interamente la
variabilità dei consumi individuali e nessun altro fattore esplicativo della
dinamica del consumo dovrebbe essere significativo. In questo senso l’ipotesi di
completo risk sharing suggerisce la possibilità di neutralizzare non solo gli shock
transitori, ma anche quelli permanenti che, in assenza di redistribuzione
interpersonale dei rischi, modificano invece il livello di reddito permanente e del
consumo.
L’idea che gli individui possano essere capaci di stabilizzare il consumo tra i
diversi stati di natura non trova però riscontro nella realtà. Ogni giorno,
l’esperienza sembra smentire l’esistenza di mercati formali nei quali i
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
consumatori possano assicurarsi contro gli shock idiosincratici sul reddito e
sembra affermare che il consumo individuale risponde agli shock individuali.
Test formali basati sull’ipotesi di mercati completi rifiutano nettamente l’ipotesi
di piena assicurazione del consumo (vedi Attanasio e Davis, 1996)
4
. Usando dati
internazionali, molti autori affermano che i paesi condividono il rischio in modo
insufficiente (vedi Obstfeld (1994a), Canova e Ravn (1996) e Backus, Kehoe e
Kydland (1992))
5
. Anche i modelli che testano l’esistenza del risk sharing
all’interno delle famiglie, ipotizzando che non ci sia condivisione del rischio tra
famiglie che non hanno rapporti, rifiutano l’ipotesi di piena assicurazione del
consumo (vedi Altonji, Hayashi e Kotlikoff, 1996). Quindi, almeno per le
economie sviluppate, il completo risk sharing sembra essere fortemente
rifiutato.
Esistono poi due evidenze empiriche che implicano la mancanza di completa
assicurazione. La prima è il c.d. “Feldstein-Horioka puzzle”, ossia l’alta
correlazione tra il tasso di risparmio e il tasso di investimento riscontrata sia nelle
serie temporali che nei dati cross-country (vedi Feldstein Horioka, 1980), mentre
la seconda è il c.d “home bias puzzle”, ovvero il fatto che il portafoglio delle
famiglie è composto per la maggior parte da attività nazionali, implicando una
bassa diversificazione del portafoglio a livello internazionale (vedi Tesar e
Werner (1995), French e Poterba (1991) e Golub (1990)). Per il secondo
problema sono state fornite diverse spiegazioni, nessuna delle quali sembra però
convincente.
Comunque, la teoria del risk sharing produce la piena assicurazione sotto ipotesi
restrittive (ad esempio, che i contratti possano essere sottoscritti e fatti osservare
senza costi).
Una volta realizzato che il risk sharing può essere imperfetto ci possiamo
aspettare che l’assicurazione del consumo possa avere diverse estensioni; gli
4
Eccezioni a questo rifiuto sono fornite da Altug e Miller (1990) e da Mace (1991). Alcuni autori
sostengono però che i loro risultati di piena assicurazione del consumo dipendono crucialmente dalle
tecniche econometriche e dai campioni utilizzati (vedi Nelson, 1994).
5
Backus, Kehoe e Kidland (1992) trovano anche che l’implicazione teorica del completo risk sharing
secondo la quale il consumo aggregato tra i paesi dovrebbe essere più correlato dell’output aggregato, è
ampiamente rifiutata usando i dati internazionali.
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
shock possono cioè essere assicurati pienamente, parzialmente o non assicurati.
Crucini (1999), ad esempio, formalizza questa idea adottando un modello che
permette al grado di pooling del reddito di variare. L’equazione del consumo che
ne deriva è coerente con un comportamento di risk sharing che va dal pooling
completo del reddito all’autarchia del portafoglio. I risultati del suo studio
evidenziano un grado solo parziale di risk sharing.
Analogamente Blundell, Pistaferri e Preston (2002) utilizzano un modello che
prevede che gli shock possano non essere assicurati completamente, facendo
però una distinzione tra shock permanenti e shock transitori del reddito. Il loro
modello prevede un parametro di assicurazione parziale che può variare tra i due
casi estremi di piena assicurazione degli shock permanenti, come previsto
dall’ipotesi di mercati completi, e assenza di assicurazione (oltre l’auto-
assicurazione), come previsto dall’ipotesi di reddito permanente. L’evidenza che
ne deriva è a favore di una parziale assicurazione (almeno per quanto riguarda gli
shock permanenti), implicando il rifiuto sia dell’ipotesi di mercati completi, sia
dell’ipotesi tradizionale di self-insurance.
2 Teoria del risk sharing
6
Consideriamo un’economia con N famiglie che hanno una funzione di utilità
attesa separabile nel tempo su un unico bene di consumo. L’informazione
comune degli individui al tempo t è rappresentata dagli eventi
t
s che assumono
tanti valori quanti sono gli stati del mondo al tempo t. Il numero degli eventi è
finito ma il numero degli stati del mondo può essere infinito a causa
dell’accumularsi delle informazioni nel tempo.
Il problema del risk sharing rientra tra i problemi del pianificatore sociale. Le
allocazioni Pareto ottimali sono infatti derivate dalla massimizzazione della
somma ponderata delle utilità attese delle famiglie, data dalla funzione obiettivo
6
La presente sezione ripropone la struttura dell’articolo di Cochrane (1991).
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
(2) )()()()(
(1) ))(),(( )()( max
1t
N
1j
j
∑∑
∑∑
≡≤≡
∞
==
jj
t
A
t
j
t
j
t
A
t
j
t
j
t
tj
sesescsc
sscus δπρλ
(1), sotto il vincolo di bilancio (2) per ogni
t
s :
dove j è l’indice delle famiglie, t è l’indice di tempo,
j
λ è il peso paretiano
della famiglia j,
j
ρ è il fattore di sconto per la famiglia j, )(
t
sπ è la probabilità
che si verifichi lo stato
t
s e )(
t
j
sc è il consumo della famiglia j al tempo t nello
stato del mondo
t
s . Il termine []1,0)( ∈
t
sπ ed è tale che
∑
=
t
s
t
s 1)(π , per ogni t (la
notazione
∑
t
s
indica la somma su tutti i possibili stati del mondo ad ogni istante
di tempo). Gli shock sulle preferenze )(
t
j
sδ possono indicare arbitrariamente sia
variazioni cross-sectional che variazioni intertemporali delle preferenze. Inoltre,
)(
t
j
se indica la dotazione della famiglia j al tempo t, e )(
t
A
se indica la quantità
del bene di consumo disponibile al tempo t.
Le analisi non cambiano se supponiamo che esista una funzione di produzione
collegata all’ammontare totale del consumo disponibile nei diversi istanti di
tempo e nei diversi stati del mondo: il pianificatore può risolvere il nuovo
problema determinando prima la distribuzione ottimale degli aggregati nel tempo
e tra gli stati del mondo, e poi la distribuzione di tali aggregati agendo come se
fossero delle dotazioni.
Poniamo per convenzione ≡
j
t
c )(
t
j
sc , ≡
j
t
δ )(
t
j
sδ , e così via.
Se deriviamo rispetto a
j
t
c , le condizioni del primo ordine implicano che:
(3) ) ,( )(
tt
µδλρ =
jj
tc
jj
cu
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
dove )(
tt
sµµ ≡ è il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di bilancio
(2), diviso per la probabilità dell’evento
t
s , )(
t
sπ .
Il moltiplicatore
t
µ dipende dal consumo aggregato ed è costante tra le j
famiglie; questo implica che, dato il consumo aggregato ed i pesi paretiani, le
dotazioni delle famiglie non entrano nella determinazione dell’allocazione del
loro consumo individuale.
Il consumo e le dotazioni delle famiglie possono comunque essere correlati, dato
che le dotazioni possono essere correlate con i pesi paretiani. Esiste infatti una
relazione positiva tra la quota di consumo aggregato allocata alla j-esima
famiglia e l’ammontare della ricchezza della famiglia j in relazione alla
ricchezza aggregata; quindi le famiglie che hanno tipicamente alte dotazioni
avranno anche alte allocazioni del consumo. Si può inoltre notare che i pesi
paretiani non dipendono dal tempo: i dati di diversi momenti rappresentano
l’evoluzione nel tempo di un unico piano. Allora, le osservazioni di due o più
istanti di tempo possono essere usate per eliminare dall’equazione questo “fixed
effect” eliminando i pesi paretiani. In particolare, prendiamo il rapporto tra le
condizioni del primo ordine (3) di una famiglia in due diversi istanti di tempo:
La crescita scontata dell’utilità marginale è costante tra le famiglie e, dato il
consumo aggregato, la dotazione delle famiglie non entra nella sua
determinazione.
La teoria del risk sharing prevede quindi, come maggiore implicazione, che la
crescita scontata dell’utilità marginale debba essere uguale tra tutte le famiglie.
In realtà, la crescita del consumo può variare tra le famiglie se le loro funzioni di
utilità hanno forme diverse (ad esempio, le famiglie che sono meno avverse al
rischio avranno una volatilità maggiore del consumo) o se hanno tassi di
preferenze intertemporali diversi, se la crescita del consumo è misurata in modo
(4)
),(
),(
111
t
t
j
t
j
tc
j
t
j
t
c
j
cu
cu
µ
µ
δ
δ
ρ
+++
=
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
(5) .
1
1)(
])[,(
1
j
j
t
j
t
j
j
t
j
t
j
c
bbcu
γ
γ
γ
+
−
=
+
non corretto, o se le famiglie subiscono shock sulle preferenze (ad esempio,
cambiamenti nel nucleo familiare come una nascita).
Queste fonti di eterogeneità dovrebbero essere esogene per le famiglie e non
essere variabili decisive.
Per testare l’assicurazione del consumo ovvero l’indipendenza statistica delle
allocazioni del consumo da una qualche variabile idiosincratica
j
t
X
1+
, dobbiamo
assumere che
j
t
X
1+
non sia correlata con le variabili che determinano le
allocazioni del consumo delle famiglie.
Supponiamo che la funzione di utilità di ogni famiglia sia caratterizzata da un
coefficiente relativo di avversione al rischio costante
j
γ e da uno shock
moltiplicativo
j
t
b (cioè prendiamo ][
jj
t
j
t
b γδ = ):
La condizione (4) di crescita dell’utilità marginale uguale per tutte le famiglie
diventa allora:
Prendendo i logaritmi e aggiungendo un termine di errore di misurazione
j
t 1+
ξ al
logaritmo della crescita del consumo, si ha:
Consideriamo ora la dotazione o un’altra variabile idiosincratica
j
t
X
1+
.
L’equazione (7) mostra che se gli shock sulle preferenze dati da )/log(
1
j
t
j
t
bb
+
,
j
γ ,
j
ρ , e
j
t 1+
ξ sono cross-sectional indipendenti da
j
t
X
1+
, anche )/log(
1
j
t
j
t
cc
+
lo è.
(6) famiglie. le tracostante
)(
)(
111
==
+++
t
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
j
j
cb
cb
µ
µ
ρ
γ
γ
(7) .)log(loglog
1
log
1
111
j
t
j
j
t
j
t
t
t
jj
t
j
t
b
b
c
c
+
+++
+
−
−
=
ξρ
µ
µ
γ
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
Allora una regressione del tipo
può testare se la crescita del consumo e la variabile idiosincratica
j
t
X
1+
sono
indipendenti testando l’ipotesi nulla β =0.
Potrebbe essere allettante considerare il coefficiente β diverso da 0 come una
misura dell’intensità dell’assicurazione del consumo, così come il rifiuto
statistico della piena assicurazione. Comunque, se ci sono diversi shock correlati
che non sono perfettamente assicurati, il coefficiente di una singola regressione
come la (8) non sarà più lo stesso di quello della vera regola di allocazione del
consumo, regola che sarebbe invece rivelata dal coefficiente di una regressione
multipla della crescita del consumo su tutti gli shock.
La separabilità, la forma della funzione di utilità e le restrizioni sull’eterogeneità
dei soggetti (cioè sugli shock sulle preferenze) non sono però essenziali per
affermare che una variabile idiosincratica, che è indipendente dagli shock sulle
preferenze e dall’errore di misurazione, dovrebbe essere indipendente anche dalla
crescita del consumo individuale. Si può cioè dimostrare che tali risultati sono
robusti anche se consideriamo utilità non separabili o se generalizziamo ad altre
forme di utilità.
(8) ,....,1 log
11
1
NMjX
c
c
j
t
j
t
j
t
j
t
≤=++=
++
+
εβα
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
2.1 Separabilità
Supponiamo che l’utilità sia non separabile tra i beni. Includiamo come secondo
bene il tempo libero, l , con una dotazione associata z.
Il problema del pianificatore diviene allora:
Ci sono ora due set di condizioni del primo ordine: uno rispetto a c e un altro
rispetto a l. Ma le dotazioni individuali e le altre variabili idiosincratiche non
entrano nella determinazione delle allocazioni individuali che sono invece date
da
A
t
c e
A
t
z . Se prendiamo ad esempio una funzione di utilità del tipo
l’allocazione del consumo sarà data da:
(9)
dove
c
t
µ e
l
t
µ sono rispettivamente il moltiplicatore di Lagrange del consumo
aggregato e quello del tempo libero aggregato. Come si può facilmente notare, la
(9) è una generalizzazione della (8) e l’indipendenza di
j
t
X
1+
da
j
t
j
t
bb /
1+
,
j
Φ ,
j
γ ,
j
t 1+
ξ , implica ancora l’indipendenza dalla crescita del consumo.
Quindi, l’unico effetto della non separabilità della funzione di utilità è che il
moltiplicatore di Lagrange sul tempo libero aggregato, in generale, entrerà con il
moltiplicatore del consumo aggregato nella determinazione delle allocazioni
individuali del consumo. Ma questo non ha nessun effetto dato che nella
. , vincoloil sotto
),,( )(E max
0t
N
1j
∑∑∑∑
∑∑
≡≤≡≡≤≡
∞
==
jjj
A
t
j
t
j
t
A
t
A
t
j
t
j
j
t
A
t
j
t
j
t
j
t
tjj
zzlleecc
lcu δρλ
,)()(),,(
11
jj
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
lcblcu
Φ++
=
γ
δ
,)log(loglog)1(log
1
1
log
1
1111 j
t
j
j
t
j
t
l
t
l
tj
c
t
c
tj
jjj
t
j
t
b
b
c
c
+
++++
+
−
−
Φ+−
Φ−
Φ++
=
ξρ
µ
µ
µ
µ
γ
Capitolo 1 Teoria e letteratura del risk sharing
regressione cross-sectional su un solo periodo tutte le grandezze aggregate
finiscono nella costante
7
.
I risultati trovati non sorprendono se ci si rende conto che l’ipotesi cruciale di
questo esempio non è la separabilità della funzione di utilità, bensì la capacità
del pianificatore di trasferire liberamente il tempo libero tra le famiglie come
ogni altro bene, ad esempio chiedendo ad una persona di fare il lavoro di
un’altra. Se questa ipotesi fallisce e se il tempo libero entra nella funzione di
utilità non separabile, allora gli shock sulla dotazione di tempo libero agiscono
sull’utilità marginale del consumo come shock sulle preferenze. Affinché i
risultati trovati continuino a valere, le variabili indipendenti della regressione
dovrebbero allora essere indipendenti dal tempo libero; ipotesi però poco
realistica (ad esempio, la perdita del posto di lavoro di certo non lo è).
2.2 Funzioni di utilità più generiche
Se consideriamo altri tipi di funzioni di utilità o la presenza di eterogeneità tra gli
individui che implicano shock sulle preferenze di tipo non moltiplicativo,
possiamo fare ulteriori ipotesi sulla variabile indipendente della regressione per
derivare la sua indipendenza dalla crescita del consumo. Queste complicazioni si
traducono in un aumento delle variabili che causano l’allontanamento della
crescita dell’utilità marginale dalla crescita del consumo e dalle quali la variabile
idiosincratica deve essere indipendente.
Se la funzione di utilità non è più della forma con shock moltiplicativi, allora
l’utilità marginale non è più solo una funzione della crescita del consumo.
Possiamo comunque scrivere la crescita dell’utilità marginale come una funzione
sia della crescita del consumo che del livello iniziale del consumo stesso. Allora
se la variabile idiosincratica è indipendente dal livello iniziale del consumo,
dovrebbe essere indipendente anche dalla crescita del consumo.
7
Lo stesso ragionamento è ovviamente valido anche nel caso in cui altri beni di consumo vengano
inclusi nella funzione di utilità non separabile.
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
