Un ambiente software integrato per la modellazione, risoluzione ed analisi di problemi di programmazione stocastica

Introduzione
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possono assumere. La rassegna sulle caratteristiche degli AML lascer  quindi spazio
alla descrizione piø approfondita del particolare ambiente MPL, su cui si basa l’intera
applicazione oggetto di questa Tesi.
Il terzo Capitolo riprender  il problema della mancanza di supporto per i problemi di
programmazione stocastica da parte degli esistenti software di modellazione; saranno
quindi elencate le loro principali limitazioni ed alcune delle estensioni proposte in
letteratura.
La Tesi proseguir  con la definizione della particolare estensione del linguaggio MPL
denominata SMPL, identificandone i costrutti principali ed illustrando come un
modello stocastico possa essere implementato mediante tale estensione. SMPL Ł il
linguaggio di modellazione sviluppato ed utilizzato nell’ambito del sistema presentato
in questa Tesi. Esso consente al modellatore di descrivere un problema stocastico in
maniera concisa ed immediata. Particolare enfasi sar  posta sulla  naturalezza con cui
SMPL permette di estendere un modello deterministico in un modello stocastico dello
stesso problema.
Il quarto Capitolo proporr  una panoramica dei metodi di risoluzione per problemi di
programmazione stocastica, identificando le tre  strategie : Here and Now, Wait and
See ed Expected Value. Sar  inoltre approfondita la descrizione del metodo di
scomposizione Benders, il quale costituisce l’algoritmo di risoluzione incorporato nel
software SPInE. Si proseguir  illustrando il formato di rappresentazione SMPS, che
riveste fondamentale importanza nell’ambito dei risolutori stocastici in quanto unico
standard esistente.
Il processo di sviluppo di modelli stocastici verr  quindi riconsiderato in relazione
all’ambiente integrato oggetto di questo lavoro, il che porter  alla descrizione di una
sessione di SPInE in correlazione al concetto di progetto (o project). Nel quinto
Capitolo sar  quindi descritto il funzionamento dei diversi moduli che costituiscono
l’ambiente, soffermandosi in particolare sul problema della generazione di scenari e
sull’algoritmo di creazione del formato SMPS a partire dal modello algebrico e dai
dati sugli scenari relativi ad un problema.
In conclusione, saranno considerati due esempi di modelli stocastici con differenti
propriet  come banco di prova del software. Il primo, denominato Newsboy, d 
l’occasione di descrivere il processo di discretizzazione delle distribuzioni di
Introduzione
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probabilit  per la creazione di scenari. Il secondo Ł un modello multiperioidale di
dimensioni piø consistenti che sar  risolto per un numero di scenari limitato.
I due modelli saranno implementati e risolti in SPInE attraverso le tre strategie di
risoluzione Here and Now, Expected Value e Wait and See elencate in precedenza, e
le soluzioni saranno riportate parte nel sesto Capitolo e parte in Appendice B.
Infine, si illustreranno le aree di ricerca ancora attive nell’ambito del progetto SPInE,
nonchŁ una rassegna dei possibili sviluppi futuri.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
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Capitolo 1.  Introduzione alla programmazione stocastica
1.1 Programmazione matematica.
Un gran numero di problemi riguardanti l identificazione e determinazione di una
serie di decisioni soggette a vincoli di diversa natura pu  essere  modellato e risolto
con metodi propri della programmazione matematica. Le applicazioni che essa trova
nel mondo reale spaziano dalla finanza all’agricoltura, dalla pianificazione della
produzione nell’industria alla distribuzione di energia elettrica, dallo scheduling di
trasporti pubblici allo studio delle reti.
¨ bene puntualizzare che il termine  programmazione  va inteso come
 pianificazione , piuttosto che come programmazione dal punto di vista informatico.
Come tale, in principio essa non presenta relazione alcuna con il mondo dei computer.
In realt , le dimensioni che i problemi possono assumere hanno reso l’uso degli
elaboratori indispensabile.
Il processo che porta alla risoluzione dei problemi mediante programmazione
matematica pu  essere rappresentato da una prima fase di modellazione del problema,
una successiva implementazione del modello mediante linguaggio algebrico ed infine
la risoluzione del problema con l’aiuto di algoritmi piø o meno ad hoc. La figura
seguente mostra schematicamente tale processo.
RISOLUZIONE 
 
RELAZIONI 
TRA 
PARAMETRI 
PARAMETRI 
DEL 
PROBLEMA 
MODELLO IN 
LINGUAGGIO 
ALGE BRICO 
 
 
MODELLO 
MATEMATICO 
 
Figura 1.
¨ necessario a questo punto fornire una definizione di modello: tale termine Ł spesso
usato per riferirsi a strutture costruite con il proposito di esibire caratteristiche e
propriet  di entit  reali. Secondo H rlimann (H rlimann 1997), un modello Ł una
imitazione, un pattern, un template o un oggetto idealizzato che rappresenta il vero
oggetto fisico o virtuale.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
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La programmazione matematica tratta modelli astratti, nel senso che le relazioni nella
entit  modellata vengono rappresentate mediante simbolismo algebrico: equazioni,
diseguaglianze, dipendenze logiche corrispondono cos  a relazioni nel mondo reale
quali leggi fisiche, vincoli di mercato ecc. ¨ da sottolineare che un modello Ł
completamente definito dalle relazioni in esso presenti, le quali, nella maggior parte
dei casi, sono considerate indipendenti dai parametri in ingresso.
La creazione di un modello del problema reale Ł un’attivit  delicata che richiede la
stretta cooperazione dell’esperto e del matematico. Il compito dell’esperto Ł quello di
identificare i parametri e le variabili di decisione del problema, insieme agli obiettivi
da raggiungere ed i vincoli cui le decisioni devono sottostare. Il matematico studia
prevalentemente la struttura del problema in termini di interazioni tra parametri,
decisioni e vincoli. Lo scopo di questa collaborazione Ł quello di creare un modello
quantitativo del problema, che sia pertanto risolubile tramite appositi algoritmi. Un
tale modello Ł composto da almeno tre entit :
1. uno (o piø) obiettivi,
2. un insieme di variabili di decisione,
3. un insieme di vincoli cui le variabili di decisione devono sottostare.
PoichØ una discussione esaustiva sull’argomento della programmazione matematica Ł
al di fuori dello scopo di questa tesi, si rimanda a (Taha 1993) per una trattazione piø
approfondita in materia.
1.2 Classificazione dei modelli decisionali.
Volendo fornire una panoramica sulla classificazione dei modelli, Ł necessario
considerare diverse propriet  legate al problema reale di cui un modello Ł stato
elaborato; considerando infatti le tre dimensioni:  numero di decisori ,  ambiente ,
 numero di obiettivi , si pu  individuare uno schema come da figura 2 (Archetti
1995).
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
10
Decisori 
 
Obiettivi 
 
Ambiente 
 
St o cast ico 
 
M o lt i 
 
Uno 
 
Uno 
 
Deterministico 
 
M o lt i 
 
TEORIA DEI 
GIOCHI 
P ROGRAMM AZIONE 
ST O CAST ICA 
 
P ROGRAMMAZIONE 
MULTI-OBIETTIVO 
 
Figura 2.
La programmazione matematica si occupa dei modelli che stanno sull’asse  ambiente 
dello spazio dei modelli decisionali; in questo lavoro non saranno presi in
considerazione modelli multi-obiettivo nØ la teoria dei giochi, la quale si prefigge di
risolvere problemi nei quali piø di un decisore cerca di ottimizzare i propri obiettivi.
Considerando per il momento il punto all’origine del diagramma, in cui "l’ambiente  Ł
deterministico, Ł possibile identificare classi di modelli in base ad alcune propriet 
matematiche (e quindi intrinseche) dei modelli stessi. Una prima distinzione pu 
essere fatta tenendo conto del tipo di relazione che rappresenta la funzione obiettivo
od i vincoli:
relazione lineare (LP)
relazione non lineare (NLP)
relazione quadratica (QP)
All’interno di queste classi si pu  operare un’ulteriore partizione dei modelli, questa
volta in base al tipo di variabili di decisione. Esse possono infatti essere continue,
semi continue, intere (o discrete), booleane (0-1). ¨ da far notare che variabili semi-
continue sono tali da appartenere ad insiemi composti dall’unione di intervalli reali e
insiemi di interi (es.: {1,2,3}∪[1 , 9.7]). Esse possono essere sostituite
opportunamente da combinazioni di variabili intere e continue.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
11
Tenendo in considerazione queste categorie, un problema viene rappresentato come:
IP (Integer Program) se tutte le variabili sono intere,
MIP (Mixed Integer Program) se alcune variabili sono intere ed altre continue,
ZIP (Zero-One Integer Program) se le variabili sono tutte booleane.
La nomenclatura che deriva da questa classificazione permette di definire ad esempio
problemi non lineari a variabili discrete come NLIP (Non Linear Integer Program)
oppure problemi lineari a variabili miste come MILP (Mixed Integer Linear
Programs) e via dicendo. Come si pu  intuire, ciascuna classe di modelli ammette
diverse strategie di risoluzione: metodo del simplesso, Branch and Bound, Interior
Point per citare i piø diffusi. Si veda (Mitra et al. 1992), (Levkovitz e Mitra 1995) e
(Maros e Mitra 1996).
1.3 Il concetto di incertezza.
Quanti scommettitori non hanno mai desiderato almeno una volta di poter prevedere i
risultati di una corsa di cavalli? E quanti operatori di borsa vorrebbero conoscere in
anticipo quale sar  l’andamento della borsa? La presenza di parametri e variabili il cui
controllo Ł al di fuori delle nostre capacit  Ł un fatto che sia il buon senso che la
statistica hanno dimostrato. Tuttavia, ai fini della risoluzione di un problema, viene
spesso ipotizzato che i dati che caratterizzano il problema stesso siano deterministici,
ossia noti con certezza.
La programmazione lineare  tradizionale  tiene conto implicitamente di tale ipotesi,
usufruendo in tal modo di una riduzione in termini di complessit  del problema. Ma
cosa accade se lo scenario reale si discosta da quello previsto durante la creazione di
un modello? Occorre innanzitutto introdurre il concetto di incertezza in un problema
decisionale.
La variabile  ambiente  citata nel paragrafo precedente, caratterizza il tipo dei
parametri che influiscono sul modello decisionale. Si parla di problema decisionale in
condizioni di certezza se tali parametri sono stabiliti definitivamente, ossia ciascuno
di essi assume un unico valore e tale valore Ł noto. Se alcuni dei dati del modello non
possiedono la propriet  appena descritta, si parla di problema decisionale in
condizioni di incertezza. Ricordando che i modelli di cui si sta parlando sono di tipo
quantitativo, nasce spontanea la questione di come includere i parametri incerti. Una
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
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soluzione Ł quella di assegnare, qualora sia possibile, una distribuzione di probabilit 
per i valori che il parametro pu  assumere. Si usa quindi parlare di ambiente e
modello stocastico, nei quali uno o piø dei dati che lo caratterizzano sono variabili
casuali.
Esistono tuttavia alcune metodologie che permettono di considerare l’incertezza in un
modello deterministico; tra le piø comuni vi sono l’analisi di sensitivit , la
simulazione, l’analisi degli scenari ed infine l’argomento portante di questa tesi: la
programmazione stocastica. Il prossimo paragrafo si occuper  brevemente dell’analisi
di sensit ivit ; verr  quindi introdotta l’analisi degli scenari, quindi il paradigma della
programmazione stocastica.
1.4 Analisi di sensitivit 
Una possibile via da seguire per scoprire se le decisioni ottimali ottenute da un
programma lineare sono ancora tali a fronte di perturbazioni in alcuni dati del
problema, Ł quella dell’analisi di sensitivit . Essa permette di studiare l’impatto che la
variazione di un parametro (sia esso un coefficiente nella funzione obiettivo o in un
vincolo) ha sulla bont  della soluzione. Non scendendo troppo nei particolari, tra i
parametri calcolabili nella risoluzione di un modello, vi sono i cosiddetti prezzi duali
dei vincoli: ci  che essi matematicamente rappresentano Ł il tasso di incremento o
decremento della funzione obiettivo al variare del termine RHS. Un valore nullo del
prezzo duale di un vincolo implica che, anche se il corrispondente RHS varia entro un
determinato range, la nostra decisione rimane ottimale.
In generale, questo ed altri tipi di analisi sui risultati del problema sono definiti
 analisi di sensit ivit  . In effetti, il prezzo duale d  una indicazione sulla sensibilit 
della decisione ottimale a variazioni del termine RHS, e pu  quindi fornire una prima
idea sulla sua robustezza. Tuttavia, le risposte che l’analisi di sensitivit  Ł in grado di
fornire alle questioni riguardanti la presenza di valori incerti nei parametri sono
decisamente limitate. Wallace ad esempio (Wallace 1997), pone la questione
sull’efficacia dell’analisi di sensitivit  in problemi decisionali in condizioni di
incertezza.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
13
1.5 Analisi degli scenari.
Questo approccio prevede l assunzione che sia possibile identificare alcune
combinazioni di possibili valori dei parametri incerti: tali combinazioni sono chiamate
scenari, ed il modello viene risolto per ogni scenario. La soluzione ottimale ed il
corrispondente valore della funzione obiettivo sono poi esaminati seguendo adeguate
euristiche. Attraverso questa linea di investigazione delle soluzioni, Ł possibile
evidenziare sensitivit  nei parametri e quindi una decisione ottimale su tutti gli
scenari.
Nel seguito della tesi (Capitolo 6), verranno fornite ulteriori informazioni ed esempi
riguardo all’analisi degli scenari .
1.6 Programmazione stocastica.
Come anticipato, molti parametri di un problema possono essere considerati incert i e
quindi rappresentati come variabili casuali. Costi di produzione e di distribuzione
dipendono tipicamente dal costo del petrolio, che Ł casuale. La domanda di energia
per il riscaldamento Ł strettamente legata alle condizioni climatiche, cos  come la
produzione agricola. I modelli di programmazione stocastica (Stochastic Program o
SP) possono essere applicati virtualmente a qualsiasi problema decisionale con
parametri incerti caratterizzati da distribuzioni di probabilit  . Si pu  affermare che gli
SP sono generalizzazioni di problemi di programmazione matematica (MP)
deterministici. Le propriet  chiave sono tipicamente la presenza di molte variabili di
decisione, di periodi discreti in cui le decisioni vengono prese, l’uso di funzioni
obiettivo caratterizzate da una certa aspettativa e di distribuzioni di probabilit  note o
almeno parzialmente note.
Altre aree legate a questo tipo di problemi quali la teoria delle decisioni statistica
(Wald 1950), (DeGroot 1970) e (Berger 1985), la programmazione dinamica e i
processi decisionali Markoviani (Bellman 1957), (Ross 1983) e (Kall e Wallace
1994), la teoria stocastica dei controlli (Kushner 1971) sono particolarizzazioni del
paradigma della programmazione stocastica, in cui viene affidato differente peso alle
propriet  sopra elencate.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
14
Procederemo ora con un esempio (Wallace 1998) che illustrer  alcune delle propriet 
dei modelli stocastici, e che servir  allo scopo di fornire una panoramica sulle
differenze tra SP e modelli deterministici.
Si consideri anzitutto il problema del pricing di un opzione con strike price = 22£:
un’azione del valore di 20£ oggi pu  avere due possibili prezzi alla prossima chiusura
della borsa:
25
£ 
 
16
£ 
 
 
20
£ 
 
Domani Oggi 
Azione  
 
 
1£ 
 
1£ 
 
 
1£ 
 
Domani Oggi 
Bond 
 
 
25-22=3£ 
 
0£ 
 
 
? 
 
Domani Oggi 
Opzione (to buy) 
 
Figura 3.
Ipotizziamo di comprare un azione e di vendere m opzioni (to buy) al prezzo c:
Il nostro portafoglio diventa:
25-3m 
 
16 
 
 
-20+mc 
 
Domani Oggi 
Protafoglio 
 
Figura 4.
Il portafoglio Ł risk-free solo se 25-3m=16, da cui otteniamo m=3. Un portafoglio
risk-free deve avere lo stesso valore di un bond, per cui -20+mc= - (25+3m), da cui,
per m=3 si ottiene c=4/3, che Ł il valore dell’opzione.
Si pu  osservare che al fine di valutare un’opzione Ł necessario includere decisioni
future (sar  esercitata?). Questo Ł un problema deterministico. Se l’opzione ha un
valore diverso da quello ricavato, si Ł in una situazione di arbitraggio, ossia la
possibilit  di ricavare qualcosa dal nulla.
L’approccio deterministico suggerisce che se il prezzo dell’azione salir  non bisogna
vendere l’azione prima che il prezzo sia salito; se il prezzo caler , bisogna vendere
l’opzione prima che ci  accada. Ci  implica un semplice ma importante fatto: si Ł in
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
15
presenza di una decisione che deve essere stabilita prima della realizzazione di un
evento casuale.
L’idea fondamentale alla base della programmazione stocastica Ł il concetto di
ricorso. Il ricorso Ł la capacit  di intraprendere decisioni correttive dopo che un
evento casuale si Ł verificato. La figura 5 mostra tale processo:
STAGE  1 STAGE 2 
Decisione 
 
Osservazione 
 
Decisione 
 
Figura 5.
Il concetto di ricorso Ł strettamente legato a quello di stage: tipicamente i modelli
stocastici includono una dimensione temporale, che identifica una successione degli
eventi casuali. Uno stage pu  essere interpretato come un istante lungo questo asse
temporale, in cui un’azione o un insieme di azioni correttive Ł effettivamente
intrapresa.
Chiariamo con un esempio tratto dalla pagina Web del server NEOS (Czyzyc et al.
1997).
La compagnia GasPerTutti si occupa della distribuzione di gas metano. Essa pu 
comprare gas da terze parti, distribuendone una parte ai clienti e immagazinandone il
resto, oppure pu  venderlo, prelevandolo dalle proprie riserve o da nuovi fornitori. Le
variabili di decisione sono quindi:
• Quanto gas acquistare e distribuire,
• Quanto gas acquistare ed immagazzinare,
• Quanto gas prelevare dalle riserve per la distribuzione.
I fattori che influenzano tali decisioni sono il costo del gas oggi ed in periodi futuri, i
costi di immagazzinamento, la capacit  delle riserve e la domanda in ciascun periodo.
Per ogni periodo considerato dell’orizzonte temporale, bisogna determinare la
decisione ottimale. L’obiettivo Ł quello di minimizzare i costi (sembra ragionevole).
Questo problema pu  essere modellato come LP multiperioidale, a patto che i dati del
problema siano noti con certezza.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
16
Piø che probabilmente, il futuro non sar  esattamente come pianificato in partenza; in
particolare, il prezzo del gas e la domanda sono fattori altamente casuali. Tuttavia Ł
possibile fornire delle stime per essi. Ad esempio, se la compagna fornisce gas per il
riscaldamento, il prezzo dello stesso sar  fortemente dipendente dal clima. Le
previsioni del tempo sono raramente una scienza esatta: non considerare questa
incertezza pu  rendere i risultati del modello inutilizzabili.
Un diffuso metodo per caratterizzare tale incertezza Ł quello di identificare una serie
di scenari futuri e di assegnare un diverso peso (probabilit ) a ciascuno di essi.
Riprendendo l’esempio della compagna del gas, supponendo che l’inverno corrente
presenti un clima  normale , essa Ł in grado di stabilire che il prossimo inverno sar :
 normale ,  freddo  o  molto freddo , con la stessa probabilit . Per ogni scenario, i
valori dei parametri sono:
Scenario Probabilita Costo del gas Domanda( in unita )
Normale 1/3 5 100
Freddo 1/3 6 150
Molto freddo 1/3 7.5 180
Supponiamo che il costo del gas sia costante, ad esempio 1$ per unit  all’anno.
Questo modello, se risolto per ogni singolo scenario, d  origine alle seguenti strategie
ottimali:
Inverno normale: Tot $1000
Anno Acq. e Distrib. Acq. e Immagazz. Magazzino Costo
1 100 0 0 500
2 100 0 0 500
Inverno  freddo: Tot:$1400
 
Anno Acq. e Distrib. Acq. e Immagazz. Magazzino Costo
1 100 0 0 500
2 150 0 0 900
Inverno molto freddo: Tot $1580
Anno Acq. e Distrib. Acq. e Immagazz. Magazzino Costo
1 100 180 180 1580
2 150 0 0 0
Ancora una volta, va sottolineato come purtroppo non sia possibile sapere in anticipo
quale sar  il clima durante l’inverno prossimo; tuttavia Ł possibile osservare l’errore
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
17
commesso nel prendere una decisione ottimale per uno scenario nel caso se ne
verifichi un altro (analisi degli scenari).
Un metodo alternativo per la risoluzione di un tale problema Ł quello di considerare,
anzichØ gli scenari singolarmente, il valore atteso dei parametri su tutti gli scenari ed
utilizzare questo come valore in un modello deterministico. Nel nostro caso, si ottiene
un costo atteso nel secondo anno di :
costo = 167.6)5.765(
3
1
=++ ;
La domanda attesa vale invece:
domanda = 33.143)180150100(
3
1
=++
La risoluzione del problema con i valori attesi dei parametri d  il seguente risultato:
Anno Acq. e Distrib. Acq. e Immagazz. Magazzino Costo
1 100 143.33 143.33 1360
2 00
Implementando tale soluzione, detta expected value solution (EVS), il costo in
ciascuno scenario diventa:
Scenario  Normale  : $1403
Scenario  Freddo     : $1400
Scenario  Molto freddo  : $1635
Il che fornisce un valore atteso di = 44.1479)1635140033.1403(
3
1
=++ $.
Questo valore viene definito come EEV (Expected result of the EV solution).
Il modello SP corrispondente al precedente problema differisce nel fatto che esso
tende a fornire una decisione ottimale per il primo stage tale che possa essere corretta
(ricorso) nel secondo stage con al minimo costo considerando tutti gli scenari.
L’obiettivo di un tale modello diventa quindi la minimizzazione del costo della
decisione iniziale piø il valore atteso del costo della decisione al secondo stage.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
18
La formulazione generale di un modello stocastico di questo tipo, che in letteratura Ł
definito come two-stage con ricorso fisso  (Dantzig 1955) e (Beale 1955) Ł la
seguente:
(1.1) 
0
  s.t.
))(,(min 
≥
=
+
x
bAx
xQExc
T
ωξ
ξ
dove:
(1.2) 
)()()()(                    
s.t.                    
)(min ))(,(
ωωωω
ωωξ
hxTyW
yqxQ
T
=+
=
Ł detta appunto funzione di ricorso. Si rimanda al paragrafo 1.8 per una descrizione
piø dettagliata.
In questa formulazione, i parametri casuali sono quelli che dipendono dagli esiti ϖ
(nel nostro caso gli scenari). Il termine Q identifica la funzione di ricorso, che in
pratica Ł un sottoproblema del problema generale.
La soluzione stocastica al problema della distribuzione di gas Ł la seguente:
Anno Acq. e Distrib. Acq. e Immagazz. Magazzino Costo
1 Normale 100 100 100 1100
2 Normale 0 0 0 0
2 Freddo 50 0 0 300
2 Molto freddo 80 0 0 600
Come si pu  notare, essa Ł molto piø  flessibile  delle precedenti:
Il valore atteso del costo su tutti gli scenari Ł dato da:
Costo=1100 + 1/3(0) + 1/3(300)+ 1/3(600)= $1400.
Tale soluzione viene a volte rappresentata con RP (Recourse Problem o Here and
Now). La differenza tra questo valore e quello ricavato dalla soluzione EVS d  il
valore della soluzione stocastica VSS (Value of the Stochastic Solution):
VSS =(1479.33 - 1400)=79.33$.
Capitolo 1. Introduzione alla programmazione stocastica
19
Questo indice quantifica il costo dell ignorare l incertezza nel problema. Calcolando il
valore atteso dei valori della funzione obiettivo ottenuti risolvendo il problema per
ogni singolo scenario, si ottiene ci  che viene definito WS (Wait and See solution
value); questo Ł il costo ottimale atteso che si potrebbe ricavare potendo  aspettare e
vedere  cosa succeder  prima di prendere una decisione. Nell’esempio qui illustrato,
si ottiene:
WS = (1000 + 1400 + 1580) / 3 = 1326.67
La differenza tra il risultato della risoluzione del problema con ricorso RP e tale
valore fornisce un importante indice denominato EVPI (Expected Value of Perfect
Information):
EVPI = 1400-1326.67=73.33$
Esso permette di fornire una misura quantitativa della massima somma che un
decisore sarebbe disposto a pagare in cambio di accurate informazioni sul futuro. Per
riferimenti sul concetto di EVPI si veda (Raiffa e Schlaifer 1961).
1.7 Stage e periodi nei modelli stocastici
L’esempio illustrato precedentemente considerava un orizzonte temporale formato da
due periodi (in particolare l’anno corrente ed il successivo). Questi due periodi
coincidevano con i momenti in cui venivano prese le decisioni (stage). Pu  venire
fatto di pensare che questa non sia una coincidenza: in realt  lo Ł. Molto spesso infatti
il numero di periodi e quello di stage si discostano.
Per esemplificare, si pu  considerare un problema di distribuzione simile a quello
mostrato nel primo paragrafo su un orizzonte di 15 mesi, in cui il primo stage prevede
una decisione su quali impianti aprire e quali no, mentre il secondo stage decide la
distribuzione dei prodotti. Il primo stage potrebbe durare tre mesi, mentre il secondo
potrebbe coprire i restanti 12.  In questo caso, il solo istante in cui il numero di periodi
assume importanza Ł quello in cui viene calcolato il preciso valore della funzione
obiettivo. Si potrebbe considerare un modello con piø stage se la compagnia decidesse
di aprire ulteriori impianti in un altro periodo (all’interno dello stesso intervallo di 15
mesi).