Metodo degli elementi finiti per l'approssimazione numerica del problema delle correnti parassite

nelle quali la densita` di corrente Je, la conducibilita` σ , la permeabilita` magnetica µ e la
frequenza angolare ω sono assegnate, mentre si vogliono determinare il campo magnetico
H e il campo elettrico E.
Nel secondo capitolo si considera un dominio Ω limitato composto da un conduttore
ΩC non omogeneo ed anisotropo immerso in un isolante perfetto ΩI. Si determinano le
condizioni necessarie cui deve soddisfare il dato Je per garantire l’esistenza di una soluzione.
Si completa poi il sistema (1) con ulteriori condizioni sul campo elettrico nell’isolante per
garantire l’unicita` della soluzione. Stabilito il sistema di equazioni che modellizzano il
problema, questo si puo` riformulare esprimendo il campo elettrico E nei termini del campo
magnetico H o viceversa. In questo lavoro si considera la formulazione coinvolgente solo il
campo magnetico la cui formulazione variazionale e`
cercare H ∈VJe,I := {v ∈ H0(rot;Ω) | rotvI = Je,I in ΩI}
tale che ∀ v ∈V := {v ∈ H0(rot;Ω) | rotvI = 0 in ΩI}
∫
Ω
iωµH ·v+
∫
ΩC
σ−1 rotHC · rotvC =
∫
ΩC
σ−1Je,C · rotvC
(2)
dove H0(rot;Ω) e` l’insieme delle funzioni vettoriali (reali o complesse) di [L2(Ω)]3 aventi
il rotore (distribuzionale) appartenente a [L2(Ω)]3 e con componente tangenziale nulla sul
bordo ∂Ω. Il secondo capitolo si conclude con la dimostrazione di esistenza e unicita` della
soluzione di questo problema.
Nel terzo capitolo si studia l’approssimazione numerica del problema (2) usando il
metodo degli elementi finiti. Imponendo l’ipotesi di semplice connessione dell’isolante e`
possibile introdurre un potenziale scalare magnetico. Infatti in questo caso le funzioni di
V ristrette ad ΩI sono gradienti di funzioni di H10,∂Ω(ΩI) :=
{
φ ∈ H1(ΩI) |φ|∂Ω = 0
}
. Se
indichiamo con gli indici I e C la restrizione di una funzione rispettivamente a ΩI e ΩC,
assumendo di conoscere He ∈ H0(rot;Ω) tale che rotHe,I = Je,I, e chiamando Z = H−He,
6
il problema (2) si puo` riformulare nel seguente modo.
cercare (ZC,ψI) ∈W := {(vC,φI) ∈ H(rot;ΩC)×H10,∂Ω(ΩI) |
vC ×nC +∇φI ×nI = 0 su Γ}
tale che ∀ (vC,ϕI) ∈W
∫
ΩC
[
iωµCZC ·vC +σ−1 rotZC · rotvC
]
+
∫
ΩI
[iωµI∇ψI ·∇ϕ I] =
=
∫
ΩC
[
σ−1(Je,C −rotHe,C) · rotvC − iωµCHe,C ·vC
]
−
∫
ΩI
[iωµIHe,I ·∇ϕ I]
(3)
Con questa formulazione del problema e` naturale usare elementi finiti nodali di La-
grange per l’approssimazione del potenziale scalare ψI ∈ H10 (ΩI) nell’isolante ed elementi
finiti di spigolo di Ne´de´lec per l’approssimazione del campo magnetico HC ∈ H(rot;ΩC)
nel conduttore. Dopo l’introduzione di queste due famiglie di elementi finiti siamo ora in
condizione di definire uno spazio di elementi finiti Wh ⊂W e di formulare l’approssimazione
di Galerkin di (3). La difficolta` principale nella costruzione di una base di Wh e` il dover im-
porre l’incollamento delle componenti tangenziali sull’interfaccia. Puo` essere conveniente
considerare allora una formulazione bidominio del problema e risolvere il problema accop-
piato tramite un’iterazione per sottodomini. La procedura iterativa che proponiamo si basa
sulla formulazione forte del problema (3)



rot(σ−1 rotHC)+ iωµCHC = rot(σ−1Je,C) in ΩC
HC ×nC =−∇ψI ×nI −He,I ×nI su Γ
div(µI∇ψI) =−div(µIHe,I) in ΩI
µI∇ψI ·nI =−µCHC ·nC −µIHe,I ·nI su Γ
ψI = 0 su ∂ΩI \Γ
(4)
che suggerisce la seguente procedura
Dato λ 0 ∈ ϒΓ (spazio della traccia di H(rot;ΩC) su Γ), per ogni k ≥ 0 calcolare HkC
soluzione di
{
rot(σ−1 rotHkC)+ iωµCHkC = rot(σ−1Je,C) in ΩC
HkC ×nC =−λ k −He,I ×nI su Γ ,
(5)
7
quindi calcolare ψk
I
soluzione di



div(µI∇ψkI ) =−div(µIHe,I) in ΩI
µI∇ψkI ·nI =−µCHkC ·nC −µIHe,I ·nI su Γ
ψk
I
= 0 su ∂ΩI \Γ
(6)
Infine porre
λ k+1 = (1−ϑ)λ k +ϑ (∇ψkI ×nI) su Γ , (7)
dove ϑ > 0 e` un parametro d’accelerazione.
Il capitolo si conclude con la formulazione dell’analogo discreto di questo processo iterativo.
Nel quarto capitolo sono riportati alcuni risultati di una serie di prove numeriche che
intendono verificare le proprieta` di convergenza di questa iterazione per sottodomini. Sono
state effettuate in una geometria semplificata e con coefficienti costanti. Per le prove nu-
meriche effettuate il processo iterativo risulta essere convergente con velocita` indipendente
dalla dimensione della griglia di calcolo e dalla posizione dell’interfaccia.
Infine nell’appendice vengono presentati gli aspetti implementativi degli elementi finiti
di Ne´de´lec e di Lagrange e commentati i programmi MATLABTM scritti per realizzare le
prove numeriche presentate nel quarto capitolo.
8
§
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
1
Background fisico
S copo di questo capitolo e` quello di richiamare i concetti di base relativi alle equazioni
che governano l’elettromagnetismo e formulare un modello per il problema delle correnti
parassite. Per una piu` ampia trattazione si vedano ad esempio (7), (8), (10), (12), (14),
(15).
1.1 Equazioni di Maxwell ed equazione di continuita`
Il campo elettromagnetico viene descritto mediante i seguenti campi vettoriali
dipendenti dalla posizione x e dal tempo t:
? D = D(x, t) induzione elettrica [C/m2]
? E = E(x, t) campo elettrico [V/m]
? B = B(x, t) induzione magnetica [Wb/m2]
? H = H(x, t) campo magnetico [A/m]
Richiamiamo le quattro equazioni che governano l’elettromagnetismo:
? il teorema di Gauss dell’elettrostatica per una distribuzione continua di cariche
elettriche con densita` ρ puo` scriversi nella seguente forma differenziale:
divD = ρ; (1.1)
? il teorema di Gauss per la magnetostatica:
divB = 0; (1.2)
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
9
Cap.1 Background fisico
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
? il teorema di Ampe`re per una distribuzione continua di correnti di densita` J:
rotH = ∂D
∂ t
+J; (1.3)
? la legge dell’induzione elettromagnetica di Faraday:
rotE =−∂B
∂ t
. (1.4)
Esse si possono riunire nel seguente sistema di equazioni differenziali:
rotH = ∂D
∂ t
+J (1.5)
rotE = −∂B
∂ t
(1.6)
divD = ρ (1.7)
divB = 0 (1.8)
dove
? J= J(x, t) rappresenta la densita` di corrente, [A/m2]
? e ρ = ρ(x, t) la densita` di carica elettrica. [C/m3]
Osserviamo che il termine ∂D
∂ t
, aggiunto da Maxwell, rende del tutto simmetriche le rela-
zioni tra campo elettrico e campo magnetico: infatti, cos`ı come le variazioni temporali del
campo elettrico inducono un campo di induzione magnetica in base alla relazione
rotH = ∂D
∂ t
(nell’ipotesi, ovviamente, che J = 0), allo stesso modo, in base alla prima equazione di
Maxwell, le variazioni temporali del campo di induzione magnetica inducono un campo
elettrico secondo la relazione
rotE =−∂B
∂ t
.
Le equazioni di Maxwell sono insufficienti per studiare il campo elettromagnetico, anche
nei problemi in cui le densita` di carica e di corrente sono grandezze impresse (cioe` note a
priori). In effetti, per determinare il campo e` necessario associare alle equazioni di Maxwell
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
10
§ 1.1 Equazioni di Maxwell
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
ulteriori equazioni dipendenti dalla natura del mezzo. Tuttavia le sole equazioni di Max-
well, grazie alla loro assoluta generalita`, permettono di dedurre ulteriori relazioni che —
opportunamente interpretate — rappresentano leggi altrettanto generali come, ad esempio,
quella di conservazione della carica.
La legge di conservazione della carica si puo` dedurre dalle equazioni di Maxwell
considerando la divergenza della (1.5) ed eliminando D mediante la (1.7):
divrotH = ∂
∂ t
(divD)+divJ. (1.9)
Si ottiene la cosiddetta equazione di continuita` che esprime, in forma differenziale, la
condizione di conservazione della carica
divJ+ ∂ρ
∂ t
= 0. (1.10)
Poiche´ essa e` conseguenza delle equazioni di Maxwell, tali equazioni non ammetterebbero
soluzione se si cercasse di determinare il campo prodotto da densita` di carica e corrente
assegnate arbitrariamente, in contrasto con l’equazione di continuita`. Osserviamo che, in
condizioni stazionarie, la (1.10) diviene divJ = 0 ossia il vettore densita` di corrente J e`
solenoidale in tutto lo spazio.
1.1.1 Relazioni costitutive
E` doveroso osservare che nelle equazioni di Maxwell non compaiono, in modo esplicito,
le proprieta` del mezzo in cui ci si trova. D’altro canto sotto l’azione del campo il mezzo si
polarizza e — se e` conduttore — viene attraversato da correnti di conduzione. Questi effetti
influenzano il campo e devono essere tenuti in conto attraverso ulteriori equazioni, dette
relazioni costitutive. Poiche´ i meccanismi microscopici che determinano la polarizzazione e
la conduzione dei materiali sono molteplici, la forma delle relazioni costitutive non e` unica
e deve essere dedotta caso per caso. Nel caso particolare del vuoto, che non si polarizza
ne´ conduce, le equazioni costitutive non riflettono alcun fenomeno fisico e dipendono solo
dalla scelta del sistema di unita` di misura. Nel sistema MKSA si ha:
D = ε0E B = µ0H
dove µ0 = 4pi ·10−7 H/m, ε0 ≈ 1/(36pi) ·10−9 F/m. Si ha:
1√
ε0µ0
= c ≈ 3 ·108m/s (velocita` della luce) .
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
11
Cap.1 Background fisico
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
Quando i campi sono “sufficientemente deboli” e quando le loro variazioni spaziali e tempo-
rali sono “sufficientemente lente”, le proprieta` del mezzo sono rappresentate dai parametri
σ conducibilita` [S/m], ε permeabilita` elettrica e µ permeabilita` magnetica. Questi pa-
rametri legano tra loro E, D, B, H e la densita` totale di corrente J tramite le seguenti
relazioni:
J = σE , (1.11)
D = εE , (1.12)
B = µH . (1.13)
Un mezzo anisotropo e` tale quando ε , µ e/o σ sono dei tensori, per cui il campo E non e`
parallelo al campo D oppure il campo B non e` parallelo ad H oppure J non e` parallela ad E.
Esempio tipico sono le ferriti. Un mezzo non lineare si ha invece quando D e` una funzione
non lineare dell’ampiezza di E, quando B e` una funzione non lineare di H e/o quando J e`
una funzione non lineare di E. Un esempio di mezzo non lineare e` dato da un materiale
ferromagnetico in cui il modulo di B e` legato al modulo di H tramite la curva di isteresi, che
e` tipicamente una curva non lineare. Un mezzo non omogeneo e` tale quando i parametri del
mezzo sono funzione della posizione: si ha cioe` ε = ε(x), µ = µ(x) e/o σ = σ(x). Esempi
di mezzi non omogenei sono i circuiti stampati nei quali il campo elettrico che si genera si
trova in parte in aria (dove ε = ε0) ed in parte nel materiale isolante (dove ε 6= ε0). Infine
un mezzo per il quale i parametri σ , ε e µ sono delle costanti di valore noto si dice mezzo
lineare, omogeneo ed isotropo.
Osserviamo che la (1.11) e` la ben nota legge di Ohm: i corpi conduttori (metalli, ...)
sono quelli in cui esistono delle cariche elettriche libere (non legate agli atomi) e poiche´ la
densita` di corrente dovuta a questo tipo di cariche e` funzione della loro velocita`, si ha una
relazione funzionale tra il vettore densita` di corrente J ed il campo elettrico E che, in via
del tutto generale, e` del tipo: J= f (E). Laddove, come molto spesso accade, tali proprieta`
di conduzione non dipendono dalla direzione del campo elettrico che muove i portatori
nel conduttore, si dice che il mezzo e` conduttivamente isotropo (oltre che lineare). Se il
mezzo e` isolante si pone invece σ=0 per cui J = 0. I generatori sono dei mezzi in cui la
densita` di corrente (indicata con Je, e per esterna) e` fissata indipendentemente dal campo
elettrico. Possiamo supporre σ = 0 in questi mezzi e scrivere la cosiddetta Legge di Ohm
generalizzata:
J= σE+Je . (1.14)
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
12
§ 1.1 Equazioni di Maxwell
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
Si noti che l’equazione costitutiva che collega la corrente di conduzione al campo (1.11) e`
richiesta solo quando J e` una densita` di corrente di conduzione incognita. Essa invece non
deve essere considerata se J e` una corrente impressa, dato che in questo caso J interviene
nelle equazioni di Maxwell come una funzione nota, che ricopre il ruolo di “sorgente” del
campo.
Le equazioni di Maxwell e le relazioni costitutive sono sufficienti per affrontare lo
studio del campo in una regione in cui il mezzo e` continuo. Nel caso che porzioni diverse
dello spazio siano riempite con materiali diversi, il problema viene trattato risolvendo
le (1.5)-(1.6) all’interno di ciascun materiale e imponendo ai campi, sulle superfici di
separazione fra materiali diversi, le condizioni di raccordo:
{
E1×n1 + E2×n2 = 0
ε1E1 ·n1 + ε2E2 ·n2 = 0
{
µ−11 B1×n1 + µ−12 B2×n2 = 0
B1 ·n1 + B2 ·n2 = 0
(1.15)
con gli indici 1, 2 a indicare i due diversi materiali.
1.1.2 Regime sinusoidale
Generalmente si lavora con sorgenti di corrente alternata. In questi casi
Je(x, t) = ℜ[Je(x)exp(iωt)] (1.16)
dove ω 6= 0 e` una frequenza angolare assegnata e le equazioni di Maxwell possono essere
espresse, senza perdere di generalita`, con riferimento a campi la cui variazione temporale
e` di tipo sinusoidale:
E(x, t) = E(x)exp(iωt)
H(x, t) = H(x)exp(iωt)
dove E(x) ed H(x) sono campi vettoriali tridimensionali a valori complessi. In tal caso le
(1.5)-(1.6) diventano {
rotE =−iωµH
rotH = iωεE+Je +σE
(1.17)
Nella teoria dei campi in regime armonico queste equazioni sono comunemente dette“equa-
zioni di Maxwell”, anche se, in realta`, esse derivano sia dalle equazioni di Maxwell che dalle
relazioni costitutive.
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
13
Cap.1 Background fisico
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
1.2 Correnti parassite
Supponiamo che, internamente a un materiale conduttore, sia presente un campo di
induzione magnetica B variabile nel tempo (o per variazione dell’induzione stessa, o per
spostamento del conduttore). In tal caso si ha una variazione del flusso del campo magne-
tico Φ(B) ad esso concatenato e, secondo la legge di Faraday-Neumann, si genera una forze
elettromotrice fi (detta forza elettromotrice indotta) data da:
fi =−
dΦ(B)
dt
. (1.18)
E` opportuno sottolineare il segno negativo che compare a secondo membro che esprime
la cosiddetta legge di Lenz: la forza elettromotrice indotta ha verso tale da generare una
corrente indotta il cui flusso magnetico tende ad opporsi a qualsiasi cambiamento del
flusso magnetico originale. Tali correnti indotte sono dette eddy current (o correnti di
Foucault), sono anche chiamate parassite perche´ causano una perdita di energia per effetto
Joule. Se poi il conduttore e` metallico il campo elettrico indotto da` origine a correnti
concatenate alle linee di B che possono essere molto intense dato che la resistivita` del
metallo e` piccola. Se il materiale, oltre ad essere conduttore, e` anche ferromagnetico, alle
perdite dovute alle correnti parassite vanno sommate quelle dovute all’isteresi magnetica.
Per evitare quindi notevoli dissipazioni di energia nei nuclei magnetici sottoposti a campi
d’induzione magnetica variabili si puo` ricorrere alla cosiddetta laminatura: laminare la
massa del conduttore in fogli paralleli alle linee di B e separarli con strati di vernice isolante,
di modo che le correnti debbano attraversare tali strati. Concretamente si realizza il nucleo
con sottilissimi fili, reciprocamente isolati da vernici o fogli di sostanze isolanti.
1.2.1 Freni e forni elettromagnetici
Le correnti parassite si generano in qualsiasi massa metallica che ruoti o si sposti co-
munque entro un campo magnetico. Per la legge di Lenz, queste correnti hanno l’effetto di
frenare il movimento che le induce (attrito elettromagnetico) e l’energia corrispondente a
questa azione frenante si traduce integralmente in calore in seno alla massa, la quale pertan-
to si riscalda. Tale azione frenante viene direttamente utilizzata nella costruzione dei freni
elettromagnetici. Questi vengono realizzati prevalentemente in forma di un disco metallico
che si muove nel traferro di un elettromagnete (o eventualmente di un magnete perma-
nente). In questo modo, lungo i raggi del disco che tagliano le linee di forza del campo si
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
14
§ 1.2 Correnti parassite
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
inducono tante forze elettromotrici che fanno circolare nella massa del disco delle correnti.
Su ogni filetto di corrente agisce cos`ı una forza elettromagnetica diretta in verso opposto
al moto. L’effetto risultante di tutte queste forze viene a costituire l’azione frenante che
si contrappone alla rotazione del disco. Un esempio di utilizzo e` il freno elettromagnetico
impiegato in molte metropolitane: elettromagneti posti sotto una vettura in vicinanza delle
rotaie vengono accesi e il fatto genera correnti parassite nelle rotaie esercitando un’azione
frenate sulle ruote del treno in arrivo e causandone la frenata. Lo stesso accorgimento e`
applicato per smorzare le oscillazioni, ad esempio in alcuni modelli di bilance.
Il fenomeno del riscaldamento, se da un lato e` fonte di gravi problemi in quanto puo`
causare notevoli perdite di energia, puo` d’altra parte essere sfruttato per diverse applicazio-
ni come nei forni ad induzione in cui si fondono metalli sottoponendoli a campi magnetici
variabili. Questo calore viene utilizzato per elevare la temperatura dei corpi. Si fa variare
il flusso d’induzione nel conduttore immobile ponendolo all’interno di un campo magnetico
alternato prodotto, per esempio, da un solenoide. Se il corpo ha la forma di un cilindro
con l’asse parallelo a quello del solenoide, le correnti indotte circolano secondo le sue se-
zioni normali e, per la legge di Lenz, si oppongono alle variazioni dell’induzione magnetica
all’interno del cilindro.
Il dispositivo presenta i seguenti vantaggi:
• il calore viene sviluppato nel corpo stesso che si vuole riscaldare: cio` riduce le perdite
termiche e permette di raggiungere temperature molto alte senza riscaldare troppo
gli involucri interposti;
• il corpo da riscaldare puo` essere un mediocre conduttore, puo` trovarsi ridotto in
pezzetti od anche in polvere, e puo` essere mantenuto al sicuro dalle cause d’alterazione
chimica, specialmente d’ossidazione.
Finche´ la frequenza e` abbastanza bassa da implicare che la profondita` di penetrazione
sia superiore al raggio del cilindro, si dimostra che la potenza P dissipata per effetto
Joule aumenta rapidamente con la frequenza. Alle frequenze elevate, invece, la corrente
resta localizzata in una pellicola superficiale e P e` proporzionale alla superficie (effetto
pelle). Esiste quindi la possibilita` di produrre riscaldamenti in superficie od in profondita`,
variando la frequenza secondo le dimensioni del campione. Un forno ad alta frequenza e`
formato da un generatore di corrente ad oscillazioni smorzate, il cui circuito oscillante e`
accoppiato al circuito di riscaldamento. La frequenza varia, secondo i casi, da 20 a 106 Hz;
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
15