Importanza e limiti della teoria dei giochi.

Introduzione. 
 
 
La tesi tratta principalmente della teoria dei giochi, in relazione alla sua applicazione a modelli 
economici. Ho cercato di non appesantire troppo l’apparato matematico, svolgendo solo quelle 
dimostrazioni che non comportavano eccessiva difficoltà per il lettore. 
Ho considerato come fondamentale dal punto di vista storico il lavoro di Morgenstern e von 
Neumann, di cui ho riportato un ampio dibattito, in cui vengono sviluppate critiche ed elogi. 
I giochi  cooperativi sono sviluppati in maniera assiomatica e spiegati con facili esempi, con 
riferimento in particolare alla nozione di core. 
Per quanto riguarda il caso non-cooperativo, l’esempio classico è il dilemma del prigioniero. 
Ma molto importante è il modello economico del duopolio, elaborato da Cournot. 
Quando la soluzione di equilibrio nel caso non-cooperativo non esiste, nei giochi ripetuti ad 
informazione perfetta esistono meccanismi iterativi in grado di far funzionare gli algoritmi. 
Una via intermedia tra il caso cooperativo e quello non-cooperativo è la teoria del bargaining. 
Definendo quest’ultimo modello in forma assiomatica, esistono applicazioni persino alla 
contrattazione sindacale e alla corsa agli armamenti. 
Esiste una stretta relazione tra equilibrio cooperativo e legge di Walras: ciò può essere 
effettivamente dimostrato matematicamente. 
Interessanti sono anche le applicazioni dei giochi evolutivi alla biologia, in particolare possiamo 
considerare il modello falchi-colombe. 
Sciarra attribuisce a Boudon il paradigma sociologico fondante la teoria dei giochi. Ma per esempio 
Scognamiglio ha affrontato l’aspetto sistemico, Maffettone ha svolto un’attenta disanima delle 
posizioni di Rawls, Kanhemann ha studiato l’aspetto cognitivo. 
Dal punto di vista strettamente matematico, in particolare in relazione con la geometria proiettiva, 
c’è stato l’approccio ai giochi semplici e alle coalizioni vincenti. 
Si è sviluppato il teorema di impossibilità di Arrow, che ha sostenuto il paradosso di avere 
l’unanimità dei consensi in una democrazia.  
Su tale questione è nato una prospettiva di ricerca su cui si sono sviluppate posizioni progressiste o 
conservatrici a seconda che veniva accettato o meno il principio di Pareto di inconfrontabilità delle 
preferenze. 
Un argomento che collega la teoria dei giochi a quella del caos è costituito dai giochi dinamici. 
Alla fine sono presentati alcuni modelli matematici di casi economici reali, come le aste su Google, 
la rete energetica britannica, le tariffe relative alle esportazioni, in cui si cerca la soluzione di Nash.
CAPITOLO I 
 
                             MATEMATICA APPLICATA ALLA TEORIA DEI GIOCHI 
 
        
 
                                L’assiomatica dei giochi cooperativi. 
 
 
Un gioco cooperativo è un modello in cui alcuni agenti capaci di interagire e prendere decisioni. 
L’attenzione dal punto di vista matematico si focalizza sul comportamento di questi agenti. Ad ogni 
gruppo di agenti è associato un insieme di azioni e questo gruppo viene chiamato coalizione. 
L’esito di un gioco cooperativo è una partizione in sottoinsiemi (o gruppi) del dominio degli agenti, 
e viene associata un azione ad ogni gruppo. 
 
 
Definizione di gioco cooperativo. 
Un gioco cooperativo consiste in  
i) un insieme di agenti ; 
ii) un insieme di azioni per ogni coalizione; 
iii) ogni agente ha delle preferenze rispetto alle azioni di ogni coalizione di cui fa parte. 
 
Esempio 1. 
 
Due agenti producono insieme un out-put di 1 unità, che possono dividersi come vogliono. Da soli 
non producono nulla. Ognuno dei due agenti prende una quantità del totale, preferendo una parte 
superiore invece che inferiore. Descriviamo più esattamente il modello. 
 
Agenti: 1 e 2 .  
Azioni: Le coalizioni costituite da un unico agente hanno un out-put nullo. La coalizione costituita 
da entrambi è l’insieme di coppie (x
1
, x
2
) di numeri non-negativi tali che   x
1
+ x
2
=1  . 
Preferenze: Le preferenze di ogni agente sono rappresentate dalla quantità di out-put che ciascuno 
ottiene. 
 
Indichiamo con N la coalizione costituita da tutti gli elementi e con S una coalizione qualsiasi. 
Le azioni di una coalizione S sono una distribuzione tra i membri di S dei beni che S controlla, e 
parleremo di una S-allocazione di beni. Chiameremo semplicemente allocazione una N-allocazione. 
 
 
Esempio 2. 
Una compagnia di un proprietario terriero, usando k lavoratori, produce un out-put di f(k+1) unità 
di cibo, con f funzione crescente. Il numero totale di lavoratori di cui la compagnia può disporre, è 
m. Il proprietario si preoccupa solo della quantità di out-put che riceve, e preferisce una quantità 
maggiore ad una minore; lo stesso vale per ogni singolo lavoratore. Il modello che ne risulta è il 
seguente. 
Agenti: il proprietario e m lavoratori. 
Azioni: Se la coalizione è costituita solo da lavoratori ha un’unica azione in cui nessun membro 
riceve niente. L’insieme delle azioni di una coalizione costituita dal proprietario e da k lavoratori è 
l’insieme di tutte le S-allocazioni di out-put f(k+1) tra i membri di S.
Preferenze: Le preferenze di ogni giocatore sono rappresentate dalla quantità di out-put che essa 
ottiene. 
 
 
 
 
Esempio 3. 
 
Tre agenti si possono spartire 1 unità di out-put. Qualsiasi coalizione di maggioranza (costituita da 2 
o 3 agenti) controlla l’allocazione dell’intero out-put. Ogni agente si preoccupa solo della quantità 
di out-put che essa ottiene. Il modello che ne risulta è il seguente. 
Agenti: 1,2,3. 
Azioni: Ogni coalizione costituita da un singolo agente ha come unica azione l’out-put nullo. Se la 
coalizione è di maggioranza, cioè ha 2 o 3 agenti, essa prende l’intera somma. 
Preferenze: Le preferenze di ogni giocatore sono rappresentate dalla quantità di out-put che essa 
ottiene. 
 
 
Quindi ogni coalizione S ha un insieme di azioni, per cui S può ottenere diverse allocazioni di out-
put, per cui rispetto all’out-put che ottiene la coalizione ogni giocatore esprime delle preferenze, che 
sono dirette ad ottenere una quantità di bene maggiore. In un caso particolare (Giochi cooperativi 
con pay-off trasferibili), ad ogni coalizione S è attribuito un unico valore v(S). 
 
 
Definizione. 
Un gioco cooperativo ha pay-off trasferibili se esiste un insieme di funzioni di pay-off v che 
assegnano un determinato valore v(S) alla coalizione S, per cui ogni S-allocazione ha una 
distribuzione di beni tra i componenti di S tale che la somma di tutti beni vale sempre v(S). 
Chiamiamo v(S) valore di S. 
 
Esempio 1. 
N={1,2}  , v({1})=v({2})=0 , v(N)=1 . 
 
Esempio 2. 
N={1,2,….,m+1}  , dove 1 è il proprietario e 2,…,m+1 sono i lavoratori. 
v(S)=0  se  1 non appartiene a S,  v(S)=f(k+1)   se S è costituito da 1 e da k lavoratori. 
 
Esempio 3. 
N={1,2,3}  , v({i})=0   per i=1,2,3    ,     v(S)=1 per ogni altra coalizione S. 
 
Esempio 4. 
Consideriamo il modello di un asta con un venditore 1 e due compratori 2 e 3. Il venditore 1 valuta 
un quadro una certa somma a, il compratore 2 offre b e il compratore 3 offre c. Abbiamo che a<b<c 
. La funzione valore o funzione caratteristica è     v({1})=a    ,    v({2})= v({3})=0    ,   v({1,2})=b    
, v({1,3})=c, v({2,3})=0   ,   v(N)=c  . 
 
 
 
Noi ci chiediamo secondo quale criterio i membri della coalizione scelgano un’azione invece di 
un’altra. Il modello deve essere in grado di valutare le esigenze di ogni componente della 
coalizione.
Definiremo stabile un’azione se nessuna coalizione è in grado di opporsi e viene scelta un’azione 
preferita da tutti i membri. L’insieme di tutte le stabili azioni della grande coalizione è chiamato 
core  
 
Definizione Il core di un gioco cooperativo è l’insieme di azioni a
N
 della grande coalizione N tale 
che nessuna coalizione ha un’azione che tutti i suoi membri preferiscono ad a
N
 . 
 
Se una coalizione S ha un’azione che tutti i suoi membri preferiscono all’azione a
N
 di N, allora si 
dice che S può migliorare a
N
 . Ciò si può esprimere in maniera equivalente dicendo che il core è 
l’insieme di tutte le azioni a
N
 d di N che non possono essere migliorate dall’azione di qualche 
coalizione S. 
Il core di un gioco cooperativo esiste sempre, ma può essere anche l’insieme vuoto. 
 
Teorema. 
a
N
  è nel core di un gioco cooperativo con payoff trasferibile se e solo se per ogni coalizione S il 
payoff totale x
S
 (a
N
)  di tutti i membri di S è almeno v(S). 
 
 
Esempio 1. 
E’ facile verificare che il core è costituito da tutte le coppie (x
1
 ,x
2
) di numeri non-negativi tali che 
x
1
+x
2
=1. 
 
 
Esempio 2 
 
Sia (x
1
,x
2
, x
3
) un’azione di N, cioè risulta essere un’allocazione dell’out-put f(3) tra 3 agenti. Le 
uniche coalizioni che possono ottenere una quantità positiva di out-put sono quelle che contengono 
il proprietario., in corrispondenza degli out-put f(1) (solo il proprietario), f(2) (il proprietario e uno 
dei due agenti) e f(3) (la grande coalizione N). 
Allora (x
1
,x
2
, x
3
) è nel core se e solo se  
                    x
1
≥f(1)    ,      x
2
≥0      ,       x
3
≥0      ,       x
1
+x
2
≥f(2)   ,     x
1
+x
3
≥f(2)   ,     
                                         x
1
+x
2
+x
3
=f(3)    . 
 
Esempio 3. 
Il core in questo caso è l’insieme vuoto. 
Infatti      
                        x
1
+x
2
≥1          ,        x
1
+x
3
≥1        ,         x
2
+x
3
≥1                     . 
                                    x
1
+x
2
+x
3
=1     . 
 
Esempio 4. 
Le condizioni  sono  x≥a   ,     y≥0    ,  z≥0      ,    x+y+z=c    ,       x+z≥c     ,    x+y≥b   . 
L’insieme delle soluzioni è formato dalle coordinate    (x,y,z)=(x,0,c-x)  , dove x è compreso 
nell’intervallo [b,c] . 
Ciò significa che il venditore cederà il quadro al secondo compratore ad un prezzo più alto di 
quanto offerto dal primo.