I modelli VaR: applicazioni dell'approccio varianza-covarianza e simulazione di Monte Carlo all'analisi di portafoglio

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dei profili di rischio di strumenti caratterizzati da relazioni non lineari rispetto ai fattori 
di rischio. E’ il caso, in particolare, dei portafogli contenenti posizioni in opzioni. 
Il lavoro si divide in due parti. La prima parte è essenzialmente una panoramica dei 
modelli di valutazione del rischio: dai modelli più tradizionali, quali i modelli 
deterministici, ai modelli dell’approccio del Valore a Rischio. 
Per questi ultimi l’analisi entra più nel dettaglio, considerando sia le principali famiglie 
che le diverse articolazioni di ciascuna categoria. 
La seconda parte vuole fornire un’evidenza empirica dei concetti illustrati nella parte 
precedente. Si affronta un esempio pratico di calcolo del VaR utilizzando due diversi 
modelli (il modello Delta-Gamma e il modello di Monte Carlo) e mettendo a confronto i 
due risultati. 
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PARTE I: 
 
MODELLI DI  
 
VALUTAZIONE DEL RISCHIO: 
 
ASPETTI TEORICI 
 
 
 
 
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CAPITOLO PRIMO: 
 
IL RISCHIO DI MERCATO 
 
 
 
In questi ultimi decenni è divenuto sempre più attuale il tema della valutazione degli 
investimenti, cioè il tentativo di valutare un’operazione finanziaria considerando 
congiuntamente la redditività e la rischiosità. 
Tale interesse ha portato allo sviluppo di diverse teorie e l’elaborazione di altrettanti 
modelli, la cui applicazione viene rapidamente assorbita dagli intermediari finanziari
1
. 
Si sta assistendo ad un cambiamento nella filosofia della gestione dei portafogli: alle 
logiche di valutazione soggettiva e a quelle basate su fenomeni empirici si stanno 
affiancando in modo preponderante metodologie di tipo quantitativo, fondate su modelli 
matematici sempre più complessi con cui si cerca di rappresentare la realtà finanziaria. 
Il management deve garantire la protezione della struttura economica da eventi 
sfavorevoli e, in particolare, dalle conseguenze che tali eventi possano avere sulla 
struttura stessa; deve, quindi, basare le sue scelte concentrando l’attenzione 
sull’esposizione complessiva ai rischi di mercato, allocando le risorse ed il capitale a 
rischio tra le diverse unità operative, diversificando le caratteristiche dei prodotti in 
modo da limitare le perdite potenziali. 
Per ottenere questi obiettivi sono necessari strumenti operativi che permettano di 
conoscere in modo continuo l’esposizione ai rischi delle posizioni assunte, di riuscire a 
quantificare il rischio di ogni singola posizione e di interpretare le variazioni delle 
condizioni del mercato come eventuali modifiche della composizione del portafoglio. 
E’ doverosa una precisazione sulla posizione che nella teoria finanziaria assumono i 
fattori di rischio e di incertezza
2
. 
                                                           
1
 Gli intermediari finanziari sono essenzialmente strutture che, basandosi sull'effetto di leva finanziaria, 
prendono a prestito denaro per investirlo a un tasso maggiore. Questo spread, meno i costi operativi, è la 
fonte dei ricavi e ogni variabile che ne indice instabilità è fonte di rischio. (Metelli) 
2
 Cfr. Basile, Erzegovesi “L’analisi del rischio degli investimenti mobiliari” Egea 1989 
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Per incertezza si intende la possibilità di variazioni inattese dei risultati a causa di eventi 
cui non è possibile associare una distribuzione di probabilità, in quanto correlati a fatti 
eccezionali che determinano modifiche strutturali delle condizioni reali (ad esempio 
guerre, calamità naturali). Per la loro natura, gli eventi incerti non sono ricorrenti, ma 
provocano variazioni dei risultati di notevole entità, per questo non possono essere 
controllati mediante tecniche statistiche
3
. 
Per rischio si intende la probabilità di ottenere una pluralità di valori delle variabili 
obiettivo, equivale quindi alla dispersione di questi valori attorno a quello più probabile. 
In una situazione in cui la distribuzione degli eventi futuri dei risultati associati sia 
stimabile allora il rischio è misurabile quantitativamente mediante parametri statistici. 
Il rischio che interessa l’attività di negoziazione svolta dagli intermediari finanziari è 
classificato con il termine di ”rischio di mercato”. 
Il termine indica il rischio di variazioni del rendimento di uno strumento (o portafoglio 
di strumenti) finanziario legate a variazioni inattese delle condizioni di mercato (prezzi 
di mercato, tassi di interessi, volatilità). In particolare , secondo la definizione data dal 
Comitato di Basilea, va inteso come “rischio di perdite nelle posizioni di bilancio e fuori 
bilancio a seguito di sfavorevoli movimenti dei prezzi di mercato
4
” 
Le condizioni di mercato che possono mutare sono molte ed è impossibile che tutte 
rientrino nella costruzione di un modello, dunque il concetto di rischio di mercato 
difficilmente è condiviso universalmente. 
Esso dipende dal tipo di strumenti cui si fa riferimento assumendo connotazioni 
differenti. 
Generalmente si classificano in cinque principali categorie
5
: 
• rischio di cambio: il valore di mercato delle posizioni assunte è sensibile a 
variazioni di tassi di cambio; 
• rischio di interesse: il valore di mercato delle posizioni assunte è sensibile a 
variazione dei tassi di interesse; 
• rischio azionario: il valore di mercato delle posizione assunte è sensibile 
all’andamento dei mercati azionari; 
                                                           
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 Recentemente sono stati sviluppati modelli finalizzati alla previsione di quelli che vengono definiti 
“eventi estremi”. Cfr. Embrechts P. “Extremal Value Theory” 
4
 Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria “Progetto di supplemento all’accordo sui requisiti 
patrimoniali per incorporare i rischi di  mercato” (Basilea, Aprile1995) 
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• rischio merci: il valore delle posizioni assunte è sensibile a variazioni dei prezzi 
delle commodities; 
• rischio di volatilità: il valore di mercato delle posizioni assunte è sensibile a 
variazioni delle volatilità delle variabili considerate nei punti precedenti. 
Le classificazioni non sono mai univoche, è possibile costruire una seconda tassonomia 
dei rischi, particolarmente utile trattando con strumenti derivati poiché si distingue 
l’esposizione rischiosa in funzione del fattore esplicativo della variazione del valore di 
mercato: 
• rischio assoluto di prezzo o rischio delta: l’esposizione a variazione del valore di 
mercato di una posizione (o dell’intero portafoglio) conseguente a una variazione 
del prezzo dell’attività sottostante; 
• rischio convessità o rischio gamma: il rischio che emerge quando la relazione fra il 
valore di mercato di una posizione (e/o del portafoglio) e il prezzo dell’attività 
sottostante non è lineare; 
• rischio volatilità o rischio vega: tipicamente associato ai contratti di opzione, 
rappresenta l’esposizione a variazioni della volatilità attesa del prezzo dell’attività 
sottostante; 
• rischio di time decay o rischio theta; tipicamente associato ai contratti di opzione, 
rappresenta la perdita di valore di mercato di una posizione (e/o di un portafoglio) 
connessa al passaggio del tempo; 
• rischio di base o correlazione: l’esposizione a differenze nelle variazioni di prezzo di 
una posizione (e/o di un portafoglio) e di quelle relative agli strumenti di copertura 
utilizzati; 
• rischio di tasso o rischio rho: l’esposizione a variazioni nel valore di una posizione 
(e/o di un portafoglio) connesse a una variazione del tasso di interesse utilizzato per 
attualizzare i flussi di cassa futuri. 
I rischi di mercato stanno assumendo una rilevanza crescente in seguito a due fenomeni 
in particolare: il processo di titolarizzazione (securization) e la crescita degli strumenti 
derivati
6
 sul mercato. 
                                                                                                                                                                          
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 Cfr. Fabrizi “Nuovi modelli di gestione dei flussi finanziari delle banche” Giuffrè , 1995  
6
 Gli strumenti derivati devono la loro definizione al fatto che il loro valore è direttamente collegato a 
quello dei più tipici strumenti sottostanti (valute, tassi d’interesse, azioni, indici azionari). Le principali 
tipologie di stumenti derivati sono i futures e  le opzioni. 
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Il primo sta portando alla progressiva sostituzione di attività illiquide con attività dotate 
di un mercato secondario liquido e quindi di un prezzo. 
Questo ha inoltre favorito lo sviluppo delle tecniche di misurazione delle posizioni 
evidenziando in tempo reale perdite o profitti connessi alle variazioni del mercato. 
Gli strumenti offerti dal mercato sono sempre in crescita per permettere combinazioni 
sempre più convenienti tra rendimento e rischio. 
Dunque il rischio è un elemento chiave nella gestione di un portafoglio, l’elemento che, 
essendo un’incognita, ci impedisce di prevedere con certezza il rendimento futuro di 
qualsiasi strumento. 
Negli anni è stato considerato in modo diverso: in origine collegato solo a singoli 
strumenti ora, invece, nella sua complessità mettendo in evidenza la correlazione che 
può sussistere tra le diverse aree di mercato. 
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CAPITOLO SECONDO: 
 
I MODELLI DETERMINISTICI 
 
 
L’approccio tradizionale alla gestione dei rischi si fonda su valori nominali delle singole 
posizioni assunte, ogni strumento viene considerato a sé stante, senza tenere presente gli 
altri strumenti presenti in portafoglio. 
L’impiego di questo approccio comporta vari problemi: 
• Non permette di quantificare la perdita potenziale, ovvero l’ammontare 
effettivamente a rischio in un orizzonte temporale. 
• Le singole posizioni non seguono le condizioni del mercato (volatilità), poiché le 
posizioni vengono considerate al loro valore nominale che non rispecchia variazioni 
all’esposizione al rischio dovute a mutazioni delle condizioni di mercato. 
• Le posizioni non sono messe in relazione con il mercato e per questo non è possibile 
confrontare il grado di rischio delle posizioni relative ai vari tipi di strumenti che 
sono offerti. 
Non è quindi possibile aggregare il rischio relativo ad uno stesso strumento acceso in 
posizioni differenti. 
Tuttavia la semplicità, il costo ridotto e le scarse necessità di tipo informatico di un 
sistema di gestione e controllo dei rischi di mercato sono i vantaggi che rendono il 
metodo ancora in uso in caso di portafogli non complessi e in ogni caso come strumento 
di confronto. 
L’approccio tradizionale fa già uso di modelli matematici che fondano le loro ipotesi 
sulla traslazione della curva dei rendimenti in modo parallelo. 
 La curva dei rendimenti rappresenta la frontiera di combinazioni efficienti tra prezzo e 
rendimento, dunque vengono considerate tutte le variabili del mercato. 
La frontiera è sensibile alle variazioni del mercato, ad ogni cambiamento dello scenario 
le combinazioni vengono aggiornate; per questo motivo la teoria è definita sensitivity 
analysis. 
Questo approccio è basato sul calcolo della duration (D, durata media finanziaria): nata 
come indicatore della durata effettiva di un investimento mobiliare ha il pregio di tener 
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conto di tutti i flussi in entrata generati dal titolo in esame e dalla loro distribuzione nel 
tempo; è in definitiva la media ponderata dei tempi tm in cui i pagamenti vengono 
effettuati con pesi pari all’importo dell’m-esimo pagamento (cm) considerato al valore 
attualizzato al tasso di rendimento i. Il peso di ciascun flusso all’interno della media è 
dato dal rapporto fra il suo valore attuale ed il prezzo tel quel del titolo (P). 
 
P
ect
D
n
m
it
mm
m


=
−
=
1
 
 
La duration dipende da molte variabili: innanzitutto la durata residua e il piano di 
rimborso. 
I titoli a cedola zero rappresentano il caso estremo in cui la durata finanziaria coincide 
con la durata residua; nei titoli con cedola la duration sarà inferiore alla vita del titolo, 
quanto più saranno elevate le cedole di rimborso. 
La duration è inversamente proporzionale anche al tasso di rendimento. Questa è una 
variabile che va stimata; nel calcolo della duration viene utilizzato il TRES, tasso di 
rendimento effettivo a scadenza, cioè il tasso  di  attualizzazione che rende uguale la 
somma dei valori attuali dei flussi futuri al prezzo tel quel.  
La determinazione della duration si sviluppa in condizioni di incertezza e la verifica 
può avvenire solo ex post, dopo che sia stato definito il periodo di riferimento sul quale 
commisurare la durata finanziaria e misurare la redditività dello strumento considerato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Consideriamo un titolo a cedola semestrale con le seguenti caratteristiche: 
 
Tabella 2.1 Titolo a cedola semestrale 
 
Data di emissione 01/03/90 
Data di scadenza 01/03/93 
Prezzo di emissione (P) 98,5 
Tasso nominale annuo 12% 
Ritenuta fiscale 12,50% 
Tasso semestrale 6% 
Data di valutazione 01/03/90 
Numero di cedole 6 
TRES semestrale 5,52% 
 
 
Si considerano i flussi attesi e si calcola la duration: 
 
Tabella 2.2 Determinazione della duration 
 
Tk 
(semestrali) 
Flussi  Pesi 
percentuali 
netti 
Tk pesi 
percentuali 
netti 
 Lordi Netti Netti attualizzati 
1 6.00 5.25 4.98 5.05 0.051 
2 6.00 5.25 4.41 4.79 0.096
3 6.00 5.25 4.47 4.54 0.136 
4 6.00 5.25 4.23 4.30 0.172
5 6.00 5.25 4.01 4.07 0.204 
6 106.00 105.06 76.10 77.25 4.635
  Pzotelqu  Duration 
 98.50 5.294
 
 
 
È stato dimostrato che la duration di un titolo rappresenta anche, con un grado di 
approssimazione accettabile, l’elasticità del relativo prezzo a fronte di variazione del 
tasso d’interesse; infatti: 
 
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D
i
i
P ⋅
+
∆
−≅∆
1
 
 
 
∆P = variazione percentuale del prezzo 
∆ i/i+1 = variazione relativa al rendimento atteso 
D = duration 
 
Graficamente l’equazione è rappresentata da una retta che non descrive esattamente le 
effettive variazioni dei prezzi; la retta presuppone una relazione lineare tra prezzi e 
rendimento, relazione che nella realtà ha invece una forma convessa. 
La retta e la curva convessa sono tangenti nel punto di origine, allontanandosi dal quale 
la divergenza tra le relazioni aumenta e l’errore di approssimazione della duration 
diviene più rilevante.