2
CAPITOLO 1
LAVALUTAZIONE DELLE OPZIONI FINANZIARIE
1.1 Il modello di Black e Scholes
Nel 1973 Black e Scholes1introducono un metodo di pricing per i derivati finanziari del tutto
innovativo e destinato a costituire il termine di paragone per gli studi successivi in questo settore. I
modelli di valutazione sviluppati antecedentemente all uscita del loro articolo studiavano il
comportamento dei prezzi azionari sulla base del moto browniano e arrivavano alla conclusione che
il valore di un derivato dipendesse dalla propensione al rischio dell investitore. Black e Scholes al
contrario, pur considerando un mercato ideale, dimostrano che un derivato finanziario presenta un
fair value unico e indipendente dalle preferenze del possessore semplicemente introducendo
l ipotesi di assenza di arbitraggi non rischiosi.
Vediamo innanzitutto le caratteristiche generali del modello. Le ipotesi semplificatrici sono le
seguenti:
• Il sottostante rischioso Ł distribuito secondo il moto browniano geometrico
• Non ci sono costi di transazione ne tasse
• I titoli possono essere venduti allo scoperto
• I titoli sono infinitamente divisibili
• Il trading delle attivit Ł nel continuo
• Il tasso risk free Ł costante ed identico per tutte le scadenze
• Non sono possibili arbitraggi non rischiosi
In questo mercato sono presenti due attivit quotat e: il sottostante rischioso S e il money market
account B, un titolo privo di rischio, caratterizzati dalle seguenti equazioni differenziali stocastiche
nella misura di probabilit naturale P:
dttrBtdB )()( = (1.1)
)()()()( tdWtSdttStdS σα += (1.2)
nell intervallo ],0[ t . Dove r Ł il tasso risk free costante per l istante di tempo t, α e σ sono ancora
delle costanti reali che rappresentano, rispettivamente, il tasso di rendimento e il parametro di
volatilit dell attivit rischiosa S. Se per le equazioni (1.1-1.2) utilizziamo le seguenti condizioni
iniziali: bB =)0( e 0)0( SS = possiamo arrivare alla distribuzione di probabilit delle due attivit :
rtbetB =)( (1.3)
+
−= )(
2
1
exp)( 20 tWtStS σσα (1.4)
1
Black F., Scholes M., The pricing of option and corporate liabilities , Journal of Political Economy, 81, 637-653,
1973.
3
La strategia attuata dagli autori Ł quella di costruire un portafoglio composto dal sottostante S e dal
derivato stesso la cui dinamica Ł calcolata attraverso il Lemma di Ito. Il valore di questo portafoglio,
che possiamo chiamare V dipende quindi dalla distribuzione di probabilit del sottostante e dal
trascorrere del tempo. Alla dinamica del portafoglio viene imposta arbitrariamente l ipotesi di
attivit priva di rischio congiuntamente all assenz a di arbitraggi non rischiosi. In questo modo si
ottengono delle condizioni vincolanti sui pesi delle attivit che compongono il portafoglio e
implicitamente sul fair value del derivato. In definitiva il processo di valore di V dovr essere privo
di aleatoriet (componente stocastica nulla) ed ave re un rendimento pari al tasso risk free r. Tali
condizioni permettono agli autori di costruire una equazione differenziale parziale del secondo
ordine avente come funzione incognita il processo di valore del derivato:
))(,(
)(
))(,(
)(
2
1
)(
))(,())(,(
2
2
22
tStrF
tS
tStF
tS
tS
tStF
rS
t
tStF
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ σ (1.5)
))(())(,( TSTSTF Φ=
nell intervallo ],[ Tt , dove: ))(,( tStF Ł il processo stocastico del prezzo del derivato che si intende
valutare. Questo dipende soltanto dall istante di tempo considerato e dal valore del sottostante S in
quello stesso istante. ))(( tSΦ Ł la funzione del pay off del derivato che per una call europea con
strike K varr : )0,max( KS
t
− .
L equazione (1.5) Ł nota come equazione del calore e pu essere risolta applicando la formula di
Feyman-Kac2 . Questo risultato Ł noto come formula di valutazione risk neutral e fornisce un
importante interpretazione economica del modello:
{ } ]))(([)(exp),(
, t
Q
st
fTSEtTrstF Φ−−= (1.6)
dove la dinamica di S nella misura di probabilit Q Ł la seguente:
)()()()( udWuSdturSudS Qσ+= (1.7)
stS =)( (1.8)
per ogni ],[ Ttu ∈ e con
t
f la filtrazione generata dal moto browniano al tempo t, ],0[ Tt ∈∀ con Q
misura di probabilit neutrale al rischio.
Dall equazione(1.6) notiamo che il fair value del derivato Ł pari al valore atteso scontato del suo
pay off a scadenza nella misura di probabilit risk neutral. Infatti il drift del processo sottostante
non Ł piø α come avveniva nella probabilit naturale, ovvero n el caso di avversione al rischio, ma
r , rientrando nel caso di neutralit verso il risch io. E importante sottolineare che questo risultato
non deriva dalle ipotesi fatte dagli autori ma dal cambio di probabilit dovuto all applicazione
dell ipotesi di non arbitraggio.
La distribuzione di probabilit a scadenza ( T) del sottostante nella misura Q pu essere ottenuta
ancora una volta dalla soluzione del moto browniano geometrico:
( )
−+−
−= )()()(
2
1
exp)( 2 tWTWtTrsTS QQσσ (1.9)
2
Bjork T., Arbitrage Theory in Continuous Time , Oxford University Press, seconda edizione.
4
Dalla (1.6) avremmo che:
∫
+∞
∞−
Φ=Φ dzzfseTSE ZQ
st
)()())](([
,
(1.10)
con
−
−≈ tTrNZ σσ ,
2
1 2
L equazione (1.10) mantiene ancora la funzione generica del pay off Φ . Un caso in cui tale
equazione pu essere risolta analiticamente Ł quello di una call con esercizio a scadenza. In questo
caso per lo strike price K e la scadenza T la funzione del pay off Ł data da:
+−=Φ ][)( Kxx (1.11)
Ed il valore dell opzione nell istante t Ł3:
)()()())(,()( 2
)(
1 dNKedNtStStFtCall
tTrBS −−−== (1.12)
dove:
tT
tTr
K
s
d
−
−
++
=
σ
σ
)(
2
ln
2
1 (1.13)
tTdd −−= σ12 (1.14)
Dalla (1.12) si nota che:
),,,),(()( σrTKtSftCall BS = (1.15)
I cinque input della formula contengono quattro valori osservabili sul mercato, S, K, T ,r, ed uno, la
volatilit del sottostante, non osservabile. Inoltr e Ł piuttosto evidente che il tasso privo di rischio e
la volatilit si modifichino al trascorrere del tem po4.
Un interessante approssimazione Ł quella di utilizzare un valore medio atteso per queste due
variabili. Infatti i valori passati non sono affatto una buona stima dei valori futuri neppure
considerando una serie storica di durata pari alla vita residua residua dell opzione. Nel caso della
volatilit la capacit predittiva dei valori passat i aumenta con la dimensione temporale del
campione analizzato e con la durata del periodo storico di verifica5. La volatilit storica Ł infatti una
misura della variabilit del prezzo del sottostante nel passato. A titolo di esempio riportiamo le serie
della volatilit a cinque e trenta giorni dell indi ce Eurostoxx 50 su di un orizzonte temporale di
venti anni. Le osservazioni vanno dal novembre 1987 al novembre 2007. Come possibile notare la
dimensione del campionamento influenza in modo decisivo i valori realizzati della volatilit
3
Tralasciando per semplicit la trattazione dei div idendi.
4
Le serie storiche di entrambe le variabili sono eteroschedastiche
5
Figlewski S, Forecasting volatility using historical data , Working Paper, New York University, 1994.
5
volatilit a 5 giorni
16
/
11
/
19
87
16
/
11
/
19
89
16
/
11
/
19
91
16
/
11
/
19
93
16
/
11
/
19
95
16
/
11
/
19
97
16
/
11
/
19
99
16
/
11
/
20
01
16
/
11
/
20
03
16
/
11
/
20
05
Figura 1.1
volatilit a 30 giorni
16
/
11
/
19
87
16
/
11
/
19
88
16
/
11
/
19
89
16
/
11
/
19
90
16
/
11
/
19
91
16
/
11
/
19
92
16
/
11
/
19
93
16
/
11
/
19
94
16
/
11
/
19
95
16
/
11
/
19
96
16
/
11
/
19
97
16
/
11
/
19
98
16
/
11
/
19
99
16
/
11
/
20
00
16
/
11
/
20
01
16
/
11
/
20
02
16
/
11
/
20
03
16
/
11
/
20
04
16
/
11
/
20
05
16
/
11
/
20
06
Figura 1.2
Inoltre tanto piø la serie storica Ł ampia tanto piø Ł probabile che le condizioni aziendali del titoli
siano cambiate nel tempo e quindi la stima della volatilit non sia adeguata alle caratteristiche
correnti del titolo. Inoltre la stima basata sui valori passati non considera la possibilit che il fu turo
sia caratterizzato da eventi eccezionali che non si sono verificati nel passato.
Tuttavia la possibilit di ottenere una soluzione an alitica per il fair value dell opzione Ł di
fondamentale importanza ed Ł, come vedremo, una caratteristica assai desiderabile delle strutture di
pricing piø moderne. Infatti in questo caso possiamo scrivere:
),()( σoftCall BS = (1.16)
CioŁ lasciamo nella formula incognito il valore della volatilit inserendo tutti gli altri input. Il
valore dell opzione Ł una funzione monotonicamente crescente della volatilit , in quanto
all aumentare di σ aumenta la probabilit che il sottostante realizzi un valore assoluto alto ma
essendo la perdita dello strumento limitata al premio pagato il valore dell opzione cresce. Inoltre la
derivata prima del valore della call europea rispetto aσ Ł positiva.
A questo punto potremmo invertire la (1.16) in funzione di σ. Ovvero dovremmo trovare una
funzione 1()() −= fg tale che:
)),(( otCg
implied =σ (1.17)
6
dove: )(tC Ł il prezzo di mercato della call e
impliedσ Ł la volatilit implicita nel prezzo di mercato
del derivato. In realt salvo il caso di opzioni at the money la formula di Black e Scholes non pu
essere invertita in modo analitico; non esiste cioŁ una forma chiusa per la sua inversa ()g ed allora
si ricorre ad approssimazioni numeriche, come ad esempio il metodo di Newton-Raphson6, che
consistono nel trovare la radice dell equazione:
0)(),( =− tCf
impliedσo (1.18)
Tra le ipotesi del modello di Black e Scholes troviamo che la volatilit implicita dovrebbe essere
identica per ogni opzione con medesimo sottostante e vita residua. In altre parole
impliedσ non
dovrebbe variare in funzione dello strike e dell expiry. Se consideriamo le opzioni quotate con uno
strike K pari al prezzo forward corrente F (per la scadenza T) la corrispondente volatilit im plicita
prende il nome di ScholesBlack −σ 7. L analisi empirica ci mostra come KScholesBlackKimplied ∀≠ −σσ . In altri
termini, la volatilit implicita Ł sensibile al variare dello strike K e della scadenza T . In
quest ultimo caso si parla struttura per scadenza della volatilit . Essa incorpora gli eventi futuri
attesi sul sottostante. Ad esempio la volatilit di un titolo azionario cresce notevolmente nel giorno
in cui la societ emittente si appresta a pubblicar e i propri risultati aziendali. Lo stesso vale per la
vola implicita di opzioni che dipendono da sottostanti per i quali l informazione contabile non Ł
ancora stata assorbita. Successivamente alla notifica degli utili la volatilit implicita decresce. Di
conseguenza opzioni con expiry minore presentano valori piø alti per
impliedσ .
La relazione funzionale tra la volatilit implicita e il valore dello strike genera tipicamente due
fenomeni. Infatti si possono osservare sia andamenti monotoni decrescenti sia dinamiche prima
decrescenti e poi crescenti attorno alla volatilit at-the-money. Nel primo caso si parla di volatility
skew nel secondo di volatility smile. Questi effetti sono accentuati per contratti con scadenza breve
ma quasi inesistenti per quelli con scadenza lunga. Vediamo alcuni esempi tratti da un book di
opzioni call europee sull indice azionario europeo Eurostoxx 50. Posizionandosi in data 17 luglio
2007 si osserva un comportamento che pu essere ria ssunto dalle figure 1-3. In particolar modo
sembra marcata l asimmetria della volatilit per sc adenze brevi mentre all aumentare dell expiry
questo effetto si attenua.
Volatilit implicita luglio 07
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
strike
Figura 1.3
6
Watsham T J, Parramore K, Quantitative methods in finance , Thompson, capitolo 8, 1997
7
Volatilit ATM; la maggior parte delle opzioni tra ttate hanno uno strike pari forward corrente:
ScholesBlackFKimplied −=
= σσ
7
Volatilit implicita ad un mese
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
strike
Figura 1.4
Volatilit implicita a quattro anni
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
strike
Figura 1.5
Se si considera la volatilit implicita al variare sia dello strike price sia dell expiry per un insieme di
contratti sul medesimo sottostante si ottiene una superficie di volatilit . Un grafico di questo tipo
permette di visualizzare immediatamente la forma e la pendenza della volatilit implicita per un
determinato asset. Sempre con riferimento all indice Eurostoxx 50 alla data 17 luglio 2007 abbiamo
la seguente superficie di volatilit implicita.
14
00
19
00
24
00
29
00
34
00
39
00
44
00
49
00
54
00
59
00
64
00
69
00
74
00
S1
S15
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
strike
expity
Superficie di volatilit implicit
Figura 1.6
Le spiegazioni che sono state date alle caratteristiche della volatilit implicita sono molteplici.
Alcune si basano sul comportamento dei mercati e presuppongono la correttezza del modello di
Black e Scholes. In particolare si ritiene che le cause possano essere:
8
1. l eccessiva paura delle crisi finanziarie degli operatori che si riflette nei prezzi di mercato in
particolar modo dopo il crash del 1987
2. le discrepanze tra le quotazioni del sottostante e del derivato che rendono non corretto il
calcolo della volatilit implicita
Altre spiegazioni sottolineano l eccessiva semplicit delle ipotesi su cui Ł costruita la formula di
pricing:
1. la distribuzione lognormale del prezzo del sottostante non corrisponde a ci che si osserva
empiricamente
2. l assenza di attriti8 nel mercato Ł un assunzione troppo restrittiva
3. la volatilit si evolve nel tempo in modo stocastic o e non pu essere rappresentata da una
media attesa
1.2 Le imperfezioni del modello di Black e Scholes
E stato osservato che la formula di Black e Scholes sottostima le call deep out of the money e
sovrastima quelle deep in the money (succede il contrario per le put) mentre sovrastima le opzioni
con vita residua inferiore a tre mesi. Le difficolt e le imprecisioni nell applicazione della formula
di Black e Scholes sono l altra faccia della medaglia della semplicit con cui il modello Ł costruito.
Vediamo quali sono le cause delle imperfezioni del modello. Il primo aspetto che dobbiamo
considerare Ł l assunzione di rendimenti distribuiti normalmente9. I test statistici applicati rifiutano
tale ipotesi ed in particolar modo si evidenzia che la distribuzione dei rendimenti Ł caratterizzata da
code grasse rispetto alla normale; questo vuol dire che i valori estremi hanno una maggiore
probabilit di realizzarsi. In ogni caso i rendimen ti presentano una media e una skewness prossima a
zero e diminuendo la frequenza delle osservazioni (da giornaliera a mensile o annuale) la
distribuzione si avvicina comunque alla normale.
Black e Scholes prevedono che i rendimenti finanziari si distribuiscano indipendentemente tra di
loro. In realt si osservano due caratteristiche. L a correlazione seriale Ł in effetti prossima a zero
anche per osservazioni giornaliere; questo evidenza sostiene l ipotesi debole della teoria del
mercato efficiente secondo cui il prezzo di un titolo contiene tutta l informazione sul suo passato e
quindi i rendimenti futuri non possono essere previsti sulla base delle serie storiche. Tuttavia esiste
un legame seriale tra il quadrato dei rendimenti che si manifesta per circa due mesi. Questa
caratteristica prende il nome di volatility clustering, cioŁ persistenza della volatilit e pu essere
espressa in questo modo: a rendimenti elevati in valore assoluto seguono rendimenti elevati in
valore assoluto. E il contrario per rendimenti bassi, sempre in valore assoluto. Questo significa che
nei mercati finanziari sono frequenti periodi in cui la volatilit si mantiene particolarmente alta o
bassa per un periodo di circa due mesi. La serie storica dei rendimenti giornalieri pu dare un idea
dell esistenza dei periodi ad alta o bassa volatili t . Di seguito riportiamo i rendimenti giornalieri per
venti anni dell indice Eurostoxx 50.
8
Costi di transazione, tasse, illiquidit , contratt azioni nel discreto,
9
implicita nella distribuzione lognormale del sottostante.
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