5
CAPITOLO 1
PRELIMINARI DI ALGEBRA
TEORIA DEI GRUPPI
DEFINIZIONE 1.1.1 :
Una struttura algebrica con un‟operazione interna si dice gruppo se è
un‟operazione associativa in , esiste in l‟elemento neutro, rispetto all‟operazione , e ogni
elemento di è simmetrizzabile.
DEFINIZIONE 1.1.2 :
Un gruppo si dice abeliano se l‟operazione interna è commutativa.
Senza perdita di generalità usiamo per l‟operazione in un gruppo la notazione moltiplicativa, in tal
caso l‟elemento neutro in si denota col simbolo 1 e il simmetrico di un elemento si denota
con
. In notazione additiva, invece, l‟elemento neutro si denota col simbolo 0 e il simmetrico di
un elemento , detto opposto, si denota con – .
DEFINIZIONE 1.1.3 :
Sia un gruppo e un suo elemento. Qualunque sia un numero intero relativo, la potenza
di con esponente è l‟elemento di definito ponendo
e, per induzione,
,
se . Se poi dovesse essere negativo si pone
.
6
DEFINIZIONE 1.1.4 :
Sia un gruppo. Una parte stabile di si dice sottogruppo di , e si scrive , se la
sottostruttura è a sua volta un gruppo. Poiché l‟operazione in è ovviamente associativa, in
quanto tale è l‟operazione in , la parte stabile di è un sottogruppo se, e solo se, la struttura
possiede elemento neutro e ogni suo elemento è simmetrizzabile.
PROPOSIZIONE 1.1.5 :
Sia un gruppo. Una parte non vuota di è un sottogruppo se, e solo se, per ogni coppia
di elementi di anche il prodotto
appartiene ad .
Introduciamo ora le equivalenze in un gruppo.
Siano un gruppo e un sottogruppo di . Si consideri in la relazione binaria
, definita
ponendo
se, e solo se, e sono elementi di tali che
.
è una relazione di equivalenza, inoltre , risulta
.
La classe
si dice laterale sinistro di in determinato da , e si denota col simbolo .
Notiamo che se l‟operazione in è denotata additivamente il laterale sinistro di in determinato
da si denota col simbolo , ed è l‟insieme .
Facendo lo stesso discorso fatto per i laterali sinistri, dato un gruppo e un suo sottogruppo e
considerata la relazione binaria
definita ponendo
se, e solo se,
, si ottiene che
è una relazione di equivalenza e una classe di equivalenza corrispondente ad un elemento di
si definisce come segue:
. Una tale classe di equivalenza prende il nome di
laterale destro di in determinato da e si denota col simbolo .
7
OSSERVAZIONE 1.1.8 :
1. I laterali sinistri e destri costituiscono una partizione di .
2.
e
.
3.
e
definiscono un unico laterale che coincide col gruppo stesso.
e
definiscono i laterali del tipo , con , ovvero i singleton di .
DEFINIZIONE 1.1.9 :
Data una struttura algebrica , una relazione di equivalenza in S si dice compatibile a sinistra
(rispettivamente a destra) con l‟operazione se, qualunque siano gli elementi
e
di tali che
, si ha che
(
rispettivamente
) .
DEFINIZIONE 1.1.10 :
Data una struttura algebrica , con operazione interna, una relazione di equivalenza
in si dice conguenza in se
tali che
e
, risulta anche
.
Data una struttura algebrica e una relazione di equivalenza in , l‟operazione interna
induce un‟operazione sull‟insieme quoziente se, e solo se, è una congruenza in .
Si dimostra inoltre che è una congruenza in se, e solo se, è compatibile a sinistra e a destra
con l‟operazione
. Vediamo ora come si caratterizzano le congruenze in un gruppo.
TEOREMA 1.1.11 :
Sia un gruppo. Una relazione di equivalenza in è una congruenza se, e solo se, esiste un
sottogruppo di tale che
.
8
DEFINIZIONE 1.1.12 :
Sia un gruppo. Un sottogruppo di si dice normale in se risulta
.
In tal caso la relazione di equivalenza
si denota semplicemente con il simbolo
.
PROPOSIZIONE 1.1.13 :
I sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti sottogruppi normali.
Possiamo ora affermare che una relazione di equivalenza in un gruppo è una congruenza in
se, e solo se, esiste un sottogruppo normale tale che coincida con la relazione
(dei laterali)
determinata dal sottogruppo normale stesso.
Sia un gruppo e sia un suo sottogruppo normale. Poiché la relazione di equivalenza
è una
congruenza in , è possibile definire sull‟insieme quoziente , come già osservato in
precedenza, un‟operazione, detta operazione quoziente:
.
Si dimostra che l‟operazione in è associativa,
è l‟elemento neutro in e
l‟inverso di ogni elemento di è il laterale
.
Pertanto, possiamo asserire che la struttura algebrica è un gruppo chiamato gruppo
quoziente di rispetto al sottogruppo normale , i cui elementi sono i laterali di in .
In particolare, se è abeliano anche il gruppo quoziente da esso definito è abeliano.
9
TEORIA DEI CAMPI
DEFINIZIONE 1.2.1 :
Sia un insieme non vuoto. La struttura algebrica dotata delle due operazioni binarie
interne “ ” si dice campo se valgono le seguenti:
1. è un gruppo abeliano.
2. è associativa.
3. Esiste in l‟elemento neutro rispetto a .
4. Ogni elemento di non nullo è invertibile.
5. è commutativa.
6. Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma, ovvero:
.
L‟elemento neutro di
è lo 0 e si dice anche elemento nullo, mentre 1 è l‟elemento neutro di e
prende il nome di unità o elemento unitario.
Se la cardinalità del campo, che si indica con , è un intero positivo finito, allora il campo si dice
finito, altrimenti il campo si dice infinito.
Introduciamo ora il concetto di caratteristica di un campo .
Premettiamo che, dato un anello unitario, la cui unità si denota con , e considerata l‟applicazione
, si dimostra che è un omomorfismo, per cui
è un sottoanello di isomorfo a , detto sottoanello fondamentale di .
Il generatore non negativo dell‟ideale di prende il nome di caratteristica di .
In particolare, se è un campo, si dice sottocampo fondamentale di , e si indica con
, il
campo dei quozienti del sottoanello fondamentale di .
10
Si dimostra inoltre che, fissato un campo , la seguente definizione è equivalente alla precedente.
DEFINIZIONE 1.2.2 :
Sia un campo e sia 1 il suo elemento unitario e 0 il suo elemento nullo.
Si definisce caratteristica del campo , e si indica con , il minimo numero intero positivo
tale che .
Se un siffatto non esiste allora si pone .
PROPOSIZIONE 1.2.3 :
Sia un campo . Allora la caratteristica di è zero oppure è un numero primo.
PROPOSIZIONE 1.2.4 :
Sia un campo di caratteristica . Se , il sottocampo fondamentale
di è isomorfo al
campo Q dei numeri razionali, mentre se è un numero primo, il sottocampo fondamentale
di
è isomorfo al campo
degli interi modulo .
COROLLARIO 1.2.5 :
Sia un campo con caratteristica 0, allora è infinito.
Il viceversa del teorema precedente non vale, infatti basta prendere il campo
, delle funzioni
razionali su un campo finito, per avere un semplice controesempio.
TEOREMA 1.2.6 :
Sia un campo finito, allora la sua caratteristica è un primo .
TEOREMA 1.2.7 :
Sia un campo finito. Allora l‟ordine di è una potenza
di un numero primo .
11
TEOREMA 1.2.8 :
Per ogni potenza
di un numero primo , esiste, a meno di isomorfismi, un unico campo
finito di ordine .
Consideriamo ora un argomento che utilizzeremo spesso nel prosieguo della tesi, ovvero le
estensioni. Tratteremo quest‟argomento dando per scontati alcuni concetti algebrici di base,
soprattutto sulla teoria degli anelli, e alcuni risultati formali, onde evitare inutili divagazioni.
DEFINIZIONE 1.2.9 :
Sia un campo. Un campo si dice estensione di se esiste un monomorfismo ,
ovvero ciò equivale a chiedere che sia isomorfo a un sottocampo di .
DEFINIZIONE 1.2.10
Sia un campo, un suo sottocampo e un elemento di .
Si consideri il sottoinsieme di costituito dagli elementi
, dove è un
intero non negativo e i
sono elementi di .
Tale insieme è il sottoanello di generato da ed è un dominio di integrità.
Consideriamo ora il sottoinsieme di così definito:
,
e
.
, che prende il nome di estensione semplice di mediante , è isomorfo al campo dei
quozienti di ed è, più precisamente, il sottocampo di generato da .
DEFINIZIONE 1.2.11 :
Siano un campo, un suo sottocampo e
una parte finita di .
Il sottocampo di generato dall‟insieme
si denota col simbolo
e
risulta
.
12
DEFINIZIONE 1.2.12 :
Siano un campo e un suo sottocampo.
Un elemento di si dice algebrico su se è radice di un polinomio non nullo a coefficienti in ,
cioè se esiste non nullo tale che .
Un elemento di che non sia algebrico su si dice trascendente.
Sia ora un campo, un suo sottocampo e un elemento di .
L‟applicazione:
è un epimorfismo.
Infatti
è ovviamente suriettiva e risulta che qualunque siano i polinomi e in :
e
.
Segue allora che è isomorfo all‟anello
, dove
, ovvero l‟ideale di
costituito dai polinomi di cui è radice.
Pertanto è trascendente su se, e solo se,
, ma in questo caso l‟applicazione
è anche
iniettiva per cui e sono isomorfi.
Sia invece
, allora esiste un unico polinomio monico a coefficienti in tale che
. Tale polinomio si dice polinomio minimo di su ed ha grado minimo tra i polinomi
non nulli a coefficienti in di cui è radice.
Inoltre, dalla minimalità di , si dimostra che quest‟ultimo è un polinomio irriducibile.
Di seguito enunciamo alcuni ulteriori risultati.
PROPOSIZIONE 1.2.13 :
Sia un campo e siano un sottocampo di e un elemento di algebrico su .
Un polinomio a coefficienti in è il polinomio minimo di su se, e solo se, è irriducibile,
monico e .
13
PROPOSIZIONE 1.2.14 :
Siano un campo e un sottocampo di . Un elemento di è algebrico su se, e solo se,
.
TEOREMA 1.2.15 :
Sia un campo e siano un sottocampo di e un elemento di algebrico su .
Se è il grado del polinomio minimo di su , allora ogni elemento del campo si esprime in
un unico modo nella forma
, con
.
DEFINIZIONE 1.2.16 :
Sia un campo e un sottocampo di .
La restrizione della moltiplicazione in all‟insieme è un‟operazione
esterna ad con dominio di operatori e le proprietà delle operazioni in assicurano che la
struttura algebrica è uno spazio vettoriale sul campo .
Si dice grado di su , e si denota col simbolo , la dimensione di come spazio vettoriale
su , cioè il numero cardinale di una base dello spazio vettoriale stesso.
In particolare se tutte le basi di sono finite e hanno ordine , risulta .
DEFINIZIONE 1.2.17 :
Un‟estensione si dice finita se ha grado finito, infinita altrimenti.
DEFINIZIONE 1.2.18 :
Siano un campo e un sottocampo di . Si dice che è un‟estensione algebrica di se ogni
elemento di è algebrico su .
Se non è un‟estensione algebrica, allora si dice trascendente.
14
TEOREMA 1.2.19 :
Sia un campo e sia un‟estensione di di grado finito . Allora è un‟estensione algebrica su
, e ogni elemento di è radice di un polinomio non nullo a coefficienti in di grado al più .
TEOREMA 1.2.20 :
Sia un campo, un sottocampo di e un elemento di algebrico su . Se è il grado del
polinomio minimo di su , allora l‟estensione semplice ha grado su .
In particolare è un‟estensione algebrica di .
COROLLARIO 1.2.21 :
Sia un campo e sia un sottocampo di . Allora ha grado finito su se, e solo se, esistono
degli elementi
di algebrici su tali che
.
OSSERVAZIONE 1.2.22 :
Esistono estensioni algebriche di grado infinito. Consideriamo ad esempio, fissato l‟intero , il
numero reale
. Tale elemento è algebrico su Q, in quanto radice del polinomio
, ma tale
polinomio è irridicibile in Q ed è il polinomio minimo di
su Q.
Dunque
non è radice di alcun polinomio non nullo a coefficienti razionali di grado minore di
, segue allora dalla proposizione 1.2.19 che la chiusura algebrica (DEFINIZIONE 1.3.10) di Q
nell‟insieme dei numeri reali è un‟estensione algebrica di grado infinito di Q.
Poiché un elemento trascendente su un sottocampo di un campo non è soluzione di alcun
polinomio a coefficienti in , il grado dell'estensione su è infinito; di conseguenza, il grado
di qualsiasi estensione trascendente è infinito, e questo strumento in tal caso si rivela inutile.
Al suo posto si introduce la nozione di grado di trascendenza, ottenuto sostituendo al concetto di
indipendenza lineare quello di indipendenza algebrica.
15
DEFINIZIONE 1.2.23 :
Sia un campo e sia un suo sottocampo. Gli elementi
sono algebricamente
dipendenti su se soddisfano una relazione polinomiale non banale su , ovvero se
non nullo tale che
. Se ciò non accade allora gli
si dicono
algebricamente indipendenti su .
DEFINIZIONE 1.2.24 :
Sia un campo, un suo sottocampo e un sottoinsieme di infinito. si dice algebricamente
indipendente su se ogni sottoinsieme finito di è algebricamente indipendente su , altrimenti
si dice algebricamente dipendente su .
DEFINIZIONE 1.2.25 :
Sia un campo, un suo sottocampo e
un insieme massimale di elementi di
algebricamente indipendenti su , allora
si dice base di trascendenza di su .
La seguente proposizione ci permette di correlare la nozione di elementi di un campo
algebricamente indipendenti su un sottocampo con quella di estensione.
PROPOSIZIONE 1.2.26 :
Se
è una base di trascendenza finita del campo su un suo sottocampo , allora ogni
, o più, elementi di sono algebricamente dipendenti su .
Si ha inoltre che ogni coppia di basi di trascendenza di su finite hanno lo stesso numero di
elementi, e tale numero prende il nome di grado di trascendenza di su .
Notiamo, in particolare, che un‟estensione algebrica ha grado di trascendenza 0.
16
Trattiamo, infine, estensioni separabili e inseparabili (o non separabili), tali nozioni saranno
utilizzate in seguito nello studio delle curve in caratteristica positiva.
DEFINIZIONE 1.2.27 :
Sia un campo e sia un polinomio irriducibile a coefficienti in di grado , esiste
allora un‟estensione algebrica
di in cui si fattorizza in fattori lineari,
, con ;
tale estensione prende il nome di campo di spezzamento di .
Si dice che è separabile se è privo di radici multiple in , ovvero
, in caso
contrario il polinomio si dice inseparabile (o non separabile).
Un polinomio si dice separabile se ogni suo fattore irriducibile in è separabile.
Se il campo ha caratteristica zero tutti i polinomi irriducibili sono separabili, nel caso invece della
caratteristica positiva un polinomio irriducibile
è separabile se, e solo se,
tale che
.
Inoltre si dimostra facilmente, che un utile criterio di separabilità è che il polinomio
, derivata di rispetto alla variabile , sia diverso dal polinomio nullo.
DEFINIZIONE 1.2.28
Data un‟estensione algebrica di un campo sul suo sottocampo , un elemento è separabile
su se il suo polinomio minimo è separabile. Inoltre l‟estensione di si dice separabile se ogni
è separabile su . In caso contrario l‟estensione si dice inseparabile (o non separabile).
Se il campo ha caratteristica zero o è un campo finito, allora ogni estensione algebrica è
separabile. In generale in caratteristica positiva ciò non vale.
17
DEFINIZIONE 1.2.29 :
Sia un campo e un suo sottocampo di caratteristica . Un elemento si dice puramente
inseparabile su se una qualche potenza
di con appartiene a .
Ciò accade soltanto se il polinomio minimo di su è del tipo
, con ed .
Come nel caso della separabilità, un‟estensione di si dice puramente inseparabile se ogni
elemento di è puramente inseparabile su .
Chiudiamo questa parte enunciando le seguenti proposizioni, che evitiamo di dimostrare.
PROPOSIZIONE 1.2.30 :
Data un‟estensione algebrica di un campo , esiste un unico campo intermedio , ovvero
, tale che è un‟estensione di separabile, mentre è un‟estensione di puramente
inseparabile. In particolare si ha che , dove si dice grado inseparabile e
si dice grado separabile dell‟estensione di .
PROPOSIZIONE 1.2.31 :
Sia un‟estensione di grado di trascendenza 1 su un campo , allora
è
un sottocampo di , inoltre è un‟estensione di
puramente inseparabile di grado . Viceversa se
e è un‟estensione di
puramente inseparabile di grado , allora
.
PROPOSIZIONE 1.2.32 (TEOREMA DELL‟ELEMENTO PRIMITIVO) :
Sia un campo infinito e sia un‟estensione algebrica di . Allora, se almeno uno tra e
è un elemento separabile su , esiste tale che .
PROPOSIZIONE 1.2.33 :
Sia un campo algebricamente chiuso e sia un‟estensione avente grado di trascendenza 1 su .
Se è un elemento trascendente su , allora esiste tale che .
18
POLINOMI
DEFINIZIONE 1.3.1 :
Sia un campo e consideriamo
variabili.
Si definisce monomio nelle variabili
a coefficienti sul campo un‟espressione del tipo:
, con
e . Si dice grado del monomio la somma degli
esponenti delle variabili incognite, ovvero
.
DEFINIZIONE 1.3.2 :
Si dice polinomio nelle variabili
una somma finita di monomi, ovvero
.
Si definisce grado del polinomio, e si indica con , il massimo tra i gradi dei monomi che lo
compongono. I polinomi di grado zero sono le costanti, mentre l‟unico polinomio a cui non è
assegnato un grado è il polinomio nullo, in notazione 0, cioè il polinomio somma di monomi nulli.
L‟insieme
denota l‟insieme dei polinomi a coefficienti in nelle variabili
e può essere dotato di alcune operazioni:
1) Prodotto esterno di uno scalare per un polinomio:
.
2) Prodotto interno tra due polinomi:
.
3) Somma interna tra due polinomi:
.
Una volta definite tali operazioni si ha che:
19
(i)
è uno spazio vettoriale di dimensione infinita.
(ii)
è un gruppo abeliano.
(iii)
è un dominio di integrità.
Poiché l‟operazione ristretta a
coincide con il prodotto esterno ·
, d‟ora in avanti,
per semplicità, useremo la notazione · per entrambi i prodotti.
OSSERVAZIONE 1.3.3 :
Siano
due polinomi in
allora si ha che:
e .
DEFINIZIONE 1.3.4 :
Sia un polinomio in
, allora un polinomio
si dice associato di se
, con .
DEFINIZIONE 1.3.5 :
Siano
due polinomi in
, con .
i dice che è un divisore di (in notazione ) o equivalentemente che divide
se
tale che .
Osserviamo che tutti i polinomi ammettono divisori: i loro associati e le costanti.
Tali divisori si dicono divisori banali.
Notiamo inoltre che, banalmente, ogni polinomio in
divide il polinomio nullo.
DEFINIZIONE 1.3.6 :
Un polinomio
, non costante, è irriducibile se ammette solo divisori banali.
PROPOSIZIONE 1.3.7 :
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
