Analisi spettrale ciclica di segnali per telecomunicazioni: segnale ASK

Introduzione 2
frequenze cicliche, sono tutte multiple del reciproco del periodo di 
ciclostazionarietà. I processi ciclostazionari sono anche chiamati processi 
periodicamente correlati. Più in generale si parla di processi quasi ciclostazionari  
(o processi quasi periodicamente correlati) quando la funzione di autocorrelazione 
è una funzione quasi periodica nel tempo. La proprietà di periodicità della 
funzione di autocorrelazione si riflette in una proprietà equivalente nel dominio 
spettrale: infatti i processi quasi ciclostazionari sono tali che le componenti 
spettrali del processo che sono separate in frequenza di quantità pari alle 
frequenze cicliche sono correlate. In contrasto con ciò i processi stazionari in 
senso lato del secondo ordine hanno una funzione di autocorrelazione che dipende 
solo dal parametro di ritardo e componenti spettrali separate sono incorrelate. 
Un modo alternativo per descrivere la presenza di un fenomeno periodico nel 
meccanismo di generazione dei dati  è quello di assumere un modello per cui i 
dati disponibili non sono modellati come una realizzazione di un processo 
stocastico ma piuttosto come una singola funzione del tempo. In quest’ottica una 
serie temporale è caratterizzata da una ciclostazionarietà del secondo ordine se 
esiste una trasformazione quadratica tempo invariante della serie temporale che dà 
luogo a componenti additive sinusoidali di potenza finita. 
In questo elaborato di tesi verrano dapprima introdotte le proprietà generali dei 
processi stocastici ciclostazionari e quasi ciclostazionari a tempo continuo e a 
tempo discreto (capitolo 2). Successivamente, nel capitolo 3, si considererà un 
approccio alternativo a quello stocastico, l’approccio così detto FOT,  con 
l’introduzione delle serie temporali e si analizzerà anche il caso in cui i segnali di 
interesse sono a valori complessi. Nel capitolo 4 si affronteranno problemi ed 
applicazioni relativi al filtraggio lineare, alla modulazione a prodotto ed al 
campionamento di processi ciclostazionari. Nel capitolo 5 si discuterà la stima 
delle funzioni di autocorrelazione ciclica e degli spettri ciclici. Il capitolo 6 
presenta un caso di studio particolare: il segnale ASK. Tale sezione rappresenta il 
nucleo del lavoro di tesi in cui convergeranno risultati analitici e risultati ottenuti 
numericamente mediante il calcolatore. In un primo momento infatti si presenterà 
Introduzione 3
il calcolo analitico delle funzioni di autocorrelazione ciclica e degli spettri ciclici 
per un segnale ASK. Successivamente, dopo aver descritto la funzione MATLAB 
xcorr.m, si passerà al lavoro con il calcolatore: si genererà un segnale ASK, si 
calcoleranno le funzioni di autocorrelazione ciclica e gli spettri ciclici e si 
confronteranno i risultati analitici ottenuti in precedenza con i risultati offerti dal 
calcolatore. Infine, nel capitolo 7, sono presentate brevemente applicazioni della 
ciclostazionarietà nell’ambito dell’elaborazione dei segnali e delle comunicazioni 
con particolare attenzione posta al problema della sincronizzazione di simbolo. 
Capitolo 2 4
2 PROCESSI STOCASTICI
CICLOSTAZIONARI E QUASI
CICLOSTAZIONARI
2.1 INTRODUZIONE
Le proprietà generali dei processi stocastici ciclostazionari si possono ricavare 
dall’analisi dell’espansione in serie di Fourier della funzione di autocorrelazione. 
Le frequenze, chiamate frequenze cicliche, sono multipli del reciproco del periodo 
di ciclostazionarietà e i coefficienti, detti funzioni di autocorrelazione ciclica,
sono funzioni continue del parametro di ritardo. I processi ciclostazionari sono 
caratterizzati nel dominio della frequenza dagli spettri ciclici che sono le 
trasformate di Fourier delle funzioni di autocorrelazione ciclica. Lo spettro ciclico 
ad una data frequenza ciclica rappresenta la densità di correlazione spettrale tra 
due componenti spettrali del processo che sono separate in frequenza di una 
quantità uguale alla frequenza ciclica. I processi quasi ciclostazionari sono 
caratterizzati da una funzione di autocorrelazione quasi periodica che può essere 
espansa attraverso una serie di Fourier generalizzata le cui frequenze possono 
essere incommensurabili. 
Capitolo 2 5
2.2 PROCESSI STOCASTICI CICLOSTAZIONARI A TEMPO
CONTINUO
Consideriamo un processo stocastico a tempo continuo e a valori reali 
^ `
(, ), ,xtw t w:\ , più brevemente ()x t  se tale notazione non crea ambiguità.
Il processo ()x t  si dice ciclostazionario in senso lato del secondo ordine [2.1], 
[2.2] se la sua media
^ `
E()x t  e la sua funzione di autocorrelazione : 
^ `
(, ) E ( ) ()
x
Rt xt xtWW    (2.1) 
sono funzioni periodiche in t di uno stesso periodo che denotiamo con :
0
T
^ ` ^ `
0
0
E() E( )
(,)(,
xx
)
x txtT
Rt RtTWW
 
 
,.t W 
(2.2)
Dunque, ipotizzando la uniforme convergenza dell’espansione in serie di Fourier 
di (, )
x
R t W , possiamo scrivere 

0
0
2
(, ) ( )
jnTt
nT
xx
n
Rt R e
S
WW
f
 f
 
¦
  (2.3) 
dove i coefficienti di Fourier

0
0
0
0
2
2
0 2
1
() (,) d
T
jnTt
nT
xx
T
R Rt e t
T
S
WW


³
 (2.4)
sono denominati funzioni di autocorrelazione ciclica, le frequenze
^ `
0
n
nT
]
 sono 
chiamate frequenze cicliche e  è il periodo di ciclostazionarietà. E’ bene fare 
0
T
Capitolo 2 6
una precisazione sulla assunta ipotesi di uniforme convergenza [2.3, par. 2.3]: per 
i segnali che si incontrano comunemente nelle applicazioni pratiche questa ipotesi
è sempre verificata; spesso però, per schematizzare fenomeni fisici, si fa ricorso a 
funzioni che non rappresentano esattamente i segnali in esame, ma che offrono il 
vantaggio non indifferente di una maggiore semplicità. Per tali funzioni, tuttavia,
non è più assicurata in generale la convergenza uniforme dello sviluppo in serie di 
Fourier e diventa quindi necessario disporre di criteri che garantiscono la 
correttezza di tale sviluppo. Un insieme di condizioni sufficienti che garantiscono
la possibilità di sviluppare un segnale periodico  in serie di Fourier è il 
cosiddetto criterio di Dirichlet che può essere enunciato come segue: 
()zt
x se  è assolutamente integrabile sul periodo  (vale a dire se verifica
la condizione 
()zt
0
T
0
0
2
2
()d
T
T
zt t

f
³
);
x se è continua o presenta in un periodo un numero finito di 
discontinuità di prima specie;
()zt
x se è derivabile rispetto al tempo nel periodo, escluso al più un 
numero finito di punti nei quali esistono finite la derivate destra e sinistra, 
()zt
allora la serie di Fourier converge al valore assunto dalla funzione nei
punti in cui questa è continua, e alla semisomma dei limiti destro e sinistro nei 
punti in cui presenta eventuali discontinuità di prima specie.
()zt
()zt
La terza ipotesi del criterio può anche essere sostituita con la seguente, che risulta 
del tutto equivalente:
x se  presenta un numero finito di massimi e di minimo nel periodo. ()zt
Capitolo 2 7
Torniamo ora ai processi ciclostazionari e notiamo come i processi stazionari in
senso lato possono essere ottenuti come caso particolare dei processi 
ciclostazionari quando 
0
() 0
nT
x
R W z  solo per 0n  . In tal caso infatti

0
00
2
0
(, ) ( ) ( ) ( ) ( )
jnTt
nT T
xx x
n
Rt R e n R R
S
x
WWGW
f
 f
 
¦
W{ . (2.5)
Mostriamo che se ()x t  è ciclostazionario con periodo  allora il processo
stocastico
0
T
() ( )yt xt T , con T  variabile aleatoria uniforme distribuita in 

(indipendente da 
0
0,T
()x t ), è stazionario in senso lato. Dobbiamo quindi mostrare che 
il processo  ha una media costante ed una funzione di autocorrelazione 
indipendente dalla variabile temporale t, cominciamo dalla media: 
()yt
^ `
E()yt                                                                  (2.6) 
^ `
x,
E(xt
T
)T      (2.7) 
x
E()()dxt f
T
T T
­½
 
®¾
¯¿
³
\
   (2.8) 
0
x
0 0
1
E()d
T
xt
T
TT
­½
°°
 
®¾
¯¿
³
   (2.9) 
ponendo tOT  e invertendo l’operatore di media con quello di integrale 
(entrambi lineari), d’ora in poi più brevemente
^ `
E ˜
³
R
^`
0
x
0
1
E()d.
tT
t
x
T
OO

 
³
 (2.10) 
Capitolo 2 8
Ricordiamo ora che la media del processo ()x t  è una funzione periodica di 
periodo  e notando che l’integrale a cui siamo giunti si estende proprio su un 
periodo possiamo affermare che 
0
T
^ `
E()yt  non dipende da t ed è quindi una 
costante come si addice ad un processo stazionario in senso lato. Calcoliamo ora 
la funzione di autocorrelazione:
(, )
y
R t W      (2.11) 
^ `
x,
E( )()xt xt
T
TW T     (2.12) 
0
x
0 0
1
E()()d
T
xt xt
T
TW TT
­½
°°
 
®¾
¯¿
³
  (2.13) 
ponendo tOT  e 
^ `
E ˜
³
R
^
0
 x
0
(,)
1
E( )()d
x
tT
t
R
x
T
OW
`
OW O

 
³

	

O   (2.14) 
0
0
1
(,)d.
tT
x
t
R
T
OW O

 
³
    (2.15) 
Il risultato a cui siamo giunti è simile a prima: abbiamo l’ integrale su un periodo 
di una funzione periodica, l’integrale non dipende quindi dagli estremi di 
integrazione e quindi non dipende da t e pertanto il processo  è dotato di una
funzione di autocorrelazione indipendente dalla variabile temporale t. In definitiva 
il processo
()yt
() ( )yt xt T  è un processo stazionario in senso lato.
Una classe più ampia di processi stocastici ciclostazionari si può ottenere
considerando una funzione di autocorrelazione (, )
x
R t W  quasi periodica in t per
ogni W .
Capitolo 2 9
Una funzione  è detta quasi periodica (almost-periodic (AP)) se()zt
0 l
H
0H! !  tale che per ogni intervallo 
 
00 00
,,tt l tt l
H H
W
H
    tale che
()()zt zt t
H
WH \ .   (2.16) 
H
W  è noto come numero di traslazione di  corrispondente ad ()zt H  [2.4], [2.5]. In 
[2.4, cap. 1] è mostrato che ogni funzione AP è limitata ed è pari al limite di una 
sequenza di polinomi trigonometrici in t uniformemente convergente: 
2
()
j t
A
zt z e
S D
D
D
 
¦
   (2.17) 
dove A è un insieme numerabile, le frequenze AD   possono essere 
incommensurabili e i coefficienti z
D
 sono definiti in tal modo:
2
2
2
1
() lim () d
T
jt jt
t
T
T
zzte zte
T
SD SD
D

of

 
³

2
t

. (2.18)
Queste funzioni sono chiamate quasi periodiche nel senso di Bohr o, 
equivalentemente, uniformemente quasi periodiche in t nel senso di Besicovitch. 
Con riferimento alle proprietà della funzione di autocorrelazione, un processo 
stocastico a tempo continuo e a valori reali ()x t  è detto quasi ciclostazionario in 
senso lato (wide-sense almost-cyclostationary (ACS)) [2.1], [2.2], se la sua 
funzione di autocorrelazione (, )
x
R t W  è una funzione quasi periodica in t (con le 
frequenze che non dipendono da W ). Quindi (, )
x
R t W  è il limite di una sequenza di 
polinomi trigonometrici in t:
Capitolo 2 10
2
(, ) ( )
j t
xx
A
Rt R e
DSD
D
WW

 
¦
   (2.19) 
dove
2
2
2
1
() lim (,) d
T
jt
xx
T
T
R Rt e t
T
D
WW

of

³

SD
  (2.20) 
è la funzione di autocorrelazione ciclica alla frequenza ciclica D  e 
^ `
:()0
x
AR
D
DW\ z . Dalla (2.20) segue che se ()x t  è un processo ACS allora
()x t  e la sua versione ritardata in frequenza
2
()
j
xt e
tSD
  sono correlati quando 
AD  . Infatti:
2
2
2
1
() lim (,) d
T
jt
xx
T
T
RRte
T
D
WW

of

³
 t
SD
  (2.21) 
^`
2
2
2
1
lim E ( ) ( ) d
T
jt
T
T
x txte
T
SD
W

of

 
³
t (2.22)
^ `
2
E( )() 0
jt
t
x txte
SD
W

  zAD . (2.23)
I processi quasi ciclostazionari in senso lato sono anche detti processi quasi
periodicamente correlati. I processi ciclostazionari in senso lato possono essere 
ottenuti come un caso particolare dei processi ACS quando
^ `
0
n
AnT

{
]
 per
qualche .
0
T
Più in generale si dice che un processo stocastico ()x t esibisce
ciclostazionarietà alla frequenza ciclica D  se () 0
x
R
D
W z  [2.2]. In tal caso la
funzione di autocorrelazione può essere espressa in tal modo:
Capitolo 2 11
2
(, ) ( ) (, )
jt
xx x
A
R tRert
DSD
D
WW

 W
¦
  (2.24) 
dove il termine ( , )
x
rtW  non contiene alcuna componente sinusoidale additiva: 
2
(, ) 0
jt
x
t
rt e
SD
W

D \ .   (2.25) 
Nel caso particolare in cui lim ( , ) 0
x
t
rtW
of
 , ()x t  è detto asintoticamente quasi 
ciclostazionario.
Sia
2
() () d
jft
Xf xte t
S
³
\
   (2.26) 
il processo stocastico ottenuto come trasformata di Fourier di un processo ACS 
()x t  reale. Utilizzando la (2.19) nel senso delle distribuzioni (funzioni 
generalizzate) otteniamo
^ `
*
12 112
E()() ()(
x
A
Xf X f S f f f
D
D
)GD

 
¦
(2.27)
dove
2
() () d
jf
xx
Sf R e
DDSW
W

³
\
    (2.28) 
prende il nome di spettro ciclico alla frequenza ciclica D . Proviamo come sia 
possibile arrivare alla (2.27): 
Capitolo 2 12
^ `
*
12
E()()X fXf      (2.29) 
12
*
2
=E ( ) d ( ) d
jf jf
xe x e
S[ S\
[ \

­½
§·
°°
®¾¨
©¹
¯¿
³³
\
¸
(2.30)
12
22
=E ()() dd
jf jf
xxe e
S[ S\
[ \

³³
\\
[\   (2.31) 
ponendo
t
t
[ W
\
­
®
¯


 e 
^ `
E ˜
³
R
^ `
12
2() 2
(, )
=E( )() dd
x
jft jft
Rt
x txte e t
SW S
W
W


³³
\\

	

(2.32)
11
22(
=(,) d d
jf j fft
x
2
)
R te e t
SW S
W

³³
\\
  (2.33) 
11
22(2
=() d
jf j fftjt
x
A
2
)
dR ee e
SW SDSD
D
W


¦
t (2.34)
invertendo l’operatore di somma con quello di integrale (entrambi lineari), d’ora 
in poi più brevemente
¦
³
R
12
2( )
1
=()
jff t
x
A
Sf e t
SDD
D


¦
³
\
d
..
   (2.35) 
112
=()( )
x
A
Sf f f cvd
D
D
GD


¦
   (2.36) 
Quindi, un processo ACS è tale che le componenti spettrali separate in frequenza 
di una quantità pari alle frequenze cicliche sono correlate; diversamente  accade 
per un processo stazionario in senso lato, infatti, partendo dalla (2.33), 
Capitolo 2 13
^ `
11
22(*
12
()
E()()= (,) d d
x
jf j fft
x
R
2
)
X fXf Rt e e t
SW S
W

{
³³
\\
	

(2.37)
 
12
2
0
1
() d
jfft
x
Sf e t
S
 
³
\
(2.38)
0
112 1
()( ) 0solose
x
Sf f f f fG z
2
 . (2.39)
Il supporto nello spazio 

12
,f f  della funzione di correlazione spettrale 
^ `
*
12
E()()X fXf  è costituito da righe con pendenza unitaria. La densità di 
correlazione spettrale su tale supporto è descritta dagli spettri ciclici , con ()
x
Sf
D
AD   e può essere espressa come in [2.2] nel seguente modo
^`
2
*
11
0
2
1
() limlim E (,) (, )d
T
xf
fT
T
Sf fX tfX tf t
T
D
D
''
'o of

 
³
f
 (2.40)
dove l’ordine dei due limiti non può essere invertito e
2
2
2
(, ) ( ) d.
tZ
jfs
Z
tZ
X tf xse s
S



³
   (2.41) 
Inoltre gli spettri ciclici  sono anche chiamati funzioni di densità di 
correlazione spettrale. Per 
()
x
Sf
D
0D   lo spettro ciclico si riduce allo spettro di 
potenza o funzione densità spettrale .
0
()
x
Sf