Filtraggio di sistemi singolari

In questa tesi viene preso in esame il problema del filtraggio per la classe dei sistemi lineari, tempo-discreti, singolari. Esiste una cospicua letteratura a proposito dei sistemi singolari, anche detti descrittivi, e molte sono le situazioni reali in cui tali equazioni descrivono le relazioni tra le variabile descrittive del sistema. Un sistema in forma descrittiva, ad esempio, può essere usato trattando sistemi causali il cui modello dinamico non è completamente conosciuto. All’interno di questa classe di sistemi causali, i cosiddetti failure systems sono particolarmente significativi: i sistemi soggetti a guasti possono essere modellati come sistemi dotati di componenti che possono commutare dal proprio valore di lavoro in caso di guasto. A partire da queste considerazioni sorge spontaneo il tentativo di costruire un filtro che fornisca la stima dello stato per questa particolare classe di sistemi. E’ stato analizzato il caso di sistemi singolari, lineari, tempo-discreti, con rumore gaussiano che agisce sullo stato e sulle misure. Innanzitutto è stato illustrato un filtro già presente in letteratura, che utilizza il criterio di massima verosimiglianza. Si è poi cercato di costruire un nuovo filtro che adotta il criterio di minima varianza. Entrambi gli approcci partono dalla stessa ipotesi di lavoro. Il filtro di minima varianza viene costruito partendo dal sistema singolare e arrivando, attraverso una serie di trasformazioni operate sul sistema di partenza, ad un sistema regolare con rumore di stato e di osservazione che sono sequenze bianche, standard e scorrelate tra di loro. A questo sistema è possibile applicare il classico filtro di Kalman e quindi risalire dalla stima del sistema esteso alla stima dello stato del sistema singolare. Quindi si è ottenuto un filtro che fornisce la stima ottima dello stato secondo il criterio di minima varianza. Attraverso le simulazioni effettuate è stato dimostrato un altro aspetto di notevole importanza e cioè come i due filtri siano tra loro statisticamente equivalenti dato che forniscono la stessa matrice di covarianza dell’errore di stima. Sebbene da questo punto di vista i due filtri siano tra loro identici, quello sviluppato in questo lavoro, al contrario dell’altro, presenta il notevole vantaggio di poter essere facilmente esteso al caso di sistemi con rumore non gaussiano attraverso la stima polinomiale. Infine sono state presentate alcune interessanti simulazioni Matlab. Sono state fatte delle simulazioni di alcune delle situazioni di interesse. Si è ad esempio mostrato come il filtro possa essere utilizzato come rivelatore di guasti sia nel caso di guasti che vanno a modificare la struttura della matrice dinamica A, sia nel caso di guasti agli attuatori di ingresso.