Introduzione
2
emergono, il più delle volte, durante il processo di creazione di un modello
matematico atto a rappresentare un sistema complesso: si comincia con la
definizione di una serie di variabili che descrivono le relazioni tra le grandezze
del sistema. In generale alcune saranno dinamiche, ossia legano le variabili in
istanti di tempo differenti, altre statiche a descrivere i vincoli istantanei.
Come verrà mostrato in seguito, i modelli singolari possono essere usati per
descrivere sistemi elettrici, economici, biologici o sistemi non causali, dove ad
esempio il parametro k non è il tempo bensì lo spazio.
Spesso, infine, è la non esatta conoscenza del modello in esame a generare una
formulazione implicita. Un sistema in forma descrittiva, ad esempio, può essere
usato trattando sistemi causali il cui modello dinamico non è completamente
conosciuto. In questo caso la singolarità riflette la mancanza di informazioni sul
sistema, come ad esempio la presenza di ingressi deterministici sconosciuti
(disturbi, vedi Darouach et al. [9]), o il fatto che si è a conoscenza di un set
ridotto di relazioni tra un più ampio set di variabili descrittive: il sistema
singolare è parte di un sistema interconnesso (Sing et al. [22]). All’interno di
questa classe di sistemi causali, i cosiddetti failure systems sono particolarmente
significativi: i sistemi soggetti a guasti possono essere modellati come sistemi
dotati di componenti che possono commutare dal proprio valore di lavoro in caso
di guasto. In questi casi è di fondamentale importanza garantire che le specifiche
richieste per il sistema a catena chiusa siano soddisfatte anche in caso di un
eventuale guasto.
Il primo capitolo della tesi propone una panoramica sui modelli descrittivi ed
alcune applicazioni nel campo della modellizzazione dei circuiti elettrici,
dell’evoluzione di una popolazione e, in particolar modo, dei sistemi con disturbi
e di quelli soggetti a guasti.
Introduzione
3
Il secondo capitolo, di introduzione al tema del filtraggio, tratta di elementi di
teoria della stima. Essa propone diversi metodi per pervenire alla valutazione
dello stato del sistema. Per valutare la bontà di una stima è necessario definire dei
criteri oggettivi; quindi di una stessa quantità è possibile calcolare diverse stime,
ognuna calcolata rispetto al criterio fissato. Si può pensare di ottenere la stima di
un parametro come quel valore che rende più probabile il valore misurato in
uscita. E’ questo il criterio della massima verosimiglianza. Un’altra possibilità è
quella di cercare la stima di minima varianza di una grandezza di cui si conosce
una misura corrotta da rumore. La stima ottima in questo caso è quella che
determina la minima varianza dell’errore di stima. Nel caso in cui l’obiettivo sia
di ricostruire lo stato di un sistema, sulla base delle sue misure, lo strumento più
importante è senza dubbio il ben noto filtro di Kalman ([10]). Tale filtro,
ricorsivo e lineare nelle misure, è ottimo, nel senso della minima varianza, se il
sistema è affetto da rumore additivo bianco gaussiano. Nel caso di sistemi
stocastici non gaussiani, comunque, tale algoritmo garantisce la miglior stima
lineare tra le trasformazioni lineari delle misure. In questo caso, dunque, il filtro
è subottimo. Del filtro di Kalman si parla nel terzo capitolo. Il quarto riguarda il
filtraggio dei sistemi singolari.
Nel corso degli anni sono stati proposti diversi lavori per la stima del vettore
descrittivo di sistemi in forma implicita; i primi approcci riguardano il problema
del filtraggio per sistemi singolari tempo-invarianti. Dai ([5] e [6]) si basa su due
passi fondamentali:
- sotto determinate ipotesi, opportune trasformazioni convertono il
sistema singolare in un sistema regolare;
- lo stato del nuovo sistema è stimato attraverso una versione modificata
del filtro di Kalman in presenza di correlazione tra rumore di stato e di
misura.
Introduzione
4
Lo svantaggio di questo approccio consiste nelle ipotesi di lavoro, che
restringono l’applicabilità del filtro solo a ristrette sottoclassi di sistemi singolari.
Sono esclusi ad esempio, tutti i sistemi in cui J è una matrice rettangolare.
I primi contributi riguardanti il problema del filtraggio di sistemi rettangolari
vengono proposti da Darouach et al. ([9]) che ottengono una soluzione ai minimi
quadrati, in cui una sola condizione viene imposta per la stimabilità del vettore
descrittivo, cioè che la matrice
C
J
abbia rango pieno.
I maggiori risultati vengono ottenuti da Nikoukhah et al., in particolare in [20],
dove viene descritto un filtro per sistemi singolari utilizzando il criterio di
massima verosimiglianza sotto le stesse ipotesi non restrittive formulate in [9]. I
grandi risultati raggiunti in questo lavoro possono essere riassunti nei seguenti
punti:
- il filtro può essere applicato ad un’ampia classe di sistemi tempo-
varianti singolari;
- non ci sono restrizioni sulle dimensioni delle matrici che possono
anche variare al trascorrere del tempo k. Questo può essere importante
soprattutto nei sistemi non causali, in cui k è un parametro spaziale;
- se J è la matrice identità, il filtro coincide con il filtro di Kalman.
Nel quarto capitolo, inoltre, verrà utilizzato il criterio di minima varianza come
approccio di base al problema del filtraggio. E’ questo il contributo originale
della tesi. Si mostrerà come il filtro di minima varianza, in accordo con quanto
avviene nel caso di una formulazione esplicita, coincida con quello di massima
verosimiglianza nel caso di rumore gaussiano.
Infine, e questa è la motivazione portante della tesi, un approccio basato sulla
minima varianza consente una normale disposizione alla determinazione di filtri
subottimi in presenza di rumore non gaussiano.
Introduzione
5
Nel capitolo 5, a conclusione della tesi, sono considerate significative
applicazioni nel campo dei sistemi con disturbi e soggetti a guasti. Le
simulazioni, effettuate in Matlab, avvalorano i risultati previsti dalla teoria.
1. I Sistemi Singolari
6
Capitolo 1
I Sistemi Singolari
1.1 Generalità
I sistemi lineari singolari sono sistemi descritti da un’equazione in forma
implicita del tipo
(t))t(B(t))t(A)t()t(J uxx +=& (1.1.1a)
nel caso continuo, oppure nel discreto
(k))k(B(k))k(A)1k()1k(J uxx +=++ (1.1.1b)
dove J(t) e J(k) sono in generale matrici singolari o non quadrate. Ci sono
molte situazioni reali in cui un sistema può essere descritto in questa forma.
In questo capitolo si descrivono gli esempi più significativi, prestando
particolare attenzione ai sistemi in forma descrittiva derivanti dalla
modellizzazione dei guasti e dei disturbi.
1. I Sistemi Singolari
7
1.2 Circuiti elettrici
Si consideri un circuito elettrico composto da induttori, resistori e
condensatori. Se q è la carica associata a ciascun condensatore e
dt
dq
i = è la
corrente, le leggi di Kirchoff portano ad equazioni differenziali del secondo
ordine che possono essere portate nella forma (1.1.1a) definendo un
opportuno vettore descrittivo
=
2
1
e
x
x
x dove x
1
=q e
dt
dq
2
=x .
Quando alcuni dei termini della matrice J costruita per descrivere il sistema
sono molto piccoli, è interessante vedere cosa succede se vengono trascurati
e posti uguali a zero. Questa operazione può rendere la matrice J singolare.
Un’altra possibilità si ha quando il vettore descrittivo x ha molte
componenti e c’è una ridondanza che rende J singolare.
Si supponga ancora che un circuito stia funzionando al tempo t<t
0
.
All’istante t=t
0
il circuito viene riassemblato in maniera tale che lo stato
iniziale, quello determinato dalla vecchia configurazione, sia inconsistente
rispetto al nuovo sistema. Il risultato è una risposta impulsiva del sistema
che porta ad un nuovo stato consistente rispetto alla nuova configurazione.
Un esempio intuitivo di questa situazione è la scintilla che si genera quando
vengono interconnessi due sistemi elettrici. Si consideri ad esempio il caso
di un condensatore alimentato da un generatore di tensione. In questo caso
la carica ai suoi capi vale q=CV è la corrente a regime è nulla. Ad un certo
istante il condensatore viene cortocircuitato, per cui, da questo istante in poi
deve essere q=0 con corrente nulla. In questo caso q subisce una
discontinuità nell’istante considerato e si genera un impulso di corrente
)t(CV)t(i δ−= .
1. I Sistemi Singolari
8
1.3 Il Modello di Leslie
Per studiare l’andamento demografico di una popolazione questa può essere
divisa per gruppi di età. Dati i tassi di natalità e mortalità insieme con una
certa distribuzione della popolazione in un determinato momento, il
modello di Leslie descrive l’evoluzione della popolazione nel tempo.
Sia ∆ t l’unità di misura del tempo e m∆ t la massima età considerata. Si
possono così costruire m classi di età ( ]t)1i(,tiA
i
∆+∆= con 1mi0 −≤≤ .
Sia t
0
l’istante iniziale e per ogni intero n sia t
n
= n∆ t + t
0
. Si focalizzi
l’attenzione sul sesso femminile. Un elemento della popolazione appartiene
ad A
k
al tempo t se è vivo al tempo t e se la sua età è compresa
nell’intervallo A
k
. Sia p
k
(t) la probabilità che una femmina in A
k
al tempo t
sia in A
k+1
al tempo t+∆ t (tasso di sopravvivenza). Sia b
k
(t) il numero atteso
di figlie partorite nell’intervallo [t,t+∆ t) da una femmina in A
k
, vive nello
stesso periodo di tempo (tasso di natalità). Sia ancora x
k
(t) il numero di
femmine in A
k
all’istante t. Si ponga [])t(),.....,t(),t()t(
m21
xxxx = e, per
comodità, x(i)=x(t
i
), p
k
(i)=p
k
(t
i
), b
k
(i)=b
k
(t
i
).
Da queste informazioni si può ottenere un modello per la popolazione dato
da:
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
+
⋅
⋅
+
−
)i(
)i(
0)i(p0
0)i(p0
00)i(p
)i(b)i(b)i(b
)1i(
)1i(
m
1
1m
2
1
m21
m
1
x
x
x
x
1. I Sistemi Singolari
9
che può essere scritta, in forma compatta, come:
)i()i(T)1i( xx =+
Supponendo che i tassi di natalità e mortalità siano costanti nell’intervallo
di tempo considerato, si ha:
)i(T)1i( xx =+ (1.3.1)
Frequentemente i membri di una popolazione possono crescere o diminuire
per motivi differenti da nascite o morti. E’ il caso ad esempio di movimenti
di migrazione o immigrazione, per cui alla (1.3.1) bisogna aggiungere un
termine modellato come un ingresso, cioè:
)i(B)i(T)1i( uxx +=+ (1.3.2)
Tramite questo modello esplicito l’evoluzione della popolazione è
immediatamente determinata a partire dalla conoscenza della distribuzione
della popolazione e dell’ingresso in un certo istante.
Un problema potrebbe nascere quando si è interessati a risalire, a partire
dalla conoscenza della distribuzione della popolazione in un dato momento,
alla distribuzione che ha portato a questa situazione, cioè quando si voglia
scorrere il tempo all’indietro. Se la matrice T è invertibile non c’è nessun
problema, ma se non lo è, e spesso ci si trova in questo caso perché non
tutte le classi di età hanno discendenti, non può essere usata direttamente la
(1.3.2).
1. I Sistemi Singolari
10
In questo caso si ha un modello retrogrado del tipo:
)k(B)1k()k(T uxx −+=
con T singolare e quindi si ha un sistema nella forma (1.1.1b).
1.4 Perturbazioni singolari
In molte applicazioni nel modello che descrive il sistema in esame c’è la
dipendenza da piccoli parametri ε . Un modo per semplificare il modello
può essere quello di trascurare tali parametri in modo che il sistema di
equazioni differenziali “completo” sia di ordine superiore rispetto a quello
“ridotto”. Un esempio pratico è quello del flusso di un fluido a bassa
viscosità nei pressi delle pareti di un tubo. Nel flusso viscoso, la velocità
tangenziale deve essere nulla sulle pareti, mentre nel flusso non viscoso, il
fluido può scorrere senza attrito lungo le pareti. Così, se la viscosità viene
trascurata, la soluzione di questo problema “ridotto” non approssimerà bene
la situazione reale nelle vicinanze delle pareti. Comunque, per basse
viscosità, questa approssimazione è ragionevolmente valida nelle altre zone.
Si ha quindi in generale un modello del tipo
(t)B)t()(A)t()(J uxx += εε &
con J(ε )
ε =0
singolare. Sistemi meccanici, elettrici, chimici sono coinvolti
da questa problematica. Il parametro ε può rappresentare piccole quantità
come ad esempio masse, momenti di inerzia, costanti di tempo, capacità,
1. I Sistemi Singolari
11
concentrazioni. Quando si trascura il parametro ε il sistema assume una
forma del tipo (1.1.1a) con J singolare. Si consideri ad esempio il sistema:
)t(B)t(A)t(J
)t(B)t(A)t(J
221222
211111
xxx
xxx
+=
+=
&
&
ε
trascurando ε , ossia ponendo ε = 0, si ottiene un nuovo sistema
)t(B)t(A0
)t(B)t(A)t(J
2212
211111
xx
xxx
+=
+=
&
che è un sistema singolare. Il problema “completo”, senza trascurare ε , può
essere di difficile soluzione, così avere un sistema “ridotto” può
semplificare le cose e costituisce una soluzione approssimata del sistema
“completo” anche se ci si trova di fronte ad un sistema singolare.
1.5 Ingressi sconosciuti
Esistono sistemi in cui per diversi motivi alcuni ingressi deterministici,
tipicamente disturbi, sono sconosciuti e non manipolabili. Vediamo in
dettaglio come ricondurre questa perdita di informazioni ad un sistema
singolare. Si consideri dapprima il caso in cui dell’ingresso non si conosca
nulla. Il sistema può essere modellato dall’equazione:
)k(C)k(
)k(F)k(B)k(A)1k(
xy
uxx
=
++=+ ν
(1.5.1)
1. I Sistemi Singolari
12
dove x(k)∈ℜ
n
è lo stato del sistema, u(k)∈ℜ
p
è il disturbo, ν (k)∈ℜ
m
è un
generico ingresso di controllo, y(k)∈ℜ
q
fornisce alcune misure sulle
variabili di ingresso.
Il sistema si trasforma nel seguente modo:
)k(C)k(
)k(F)k(A)k(B)1k(
xy
xux
=
+=−+ ν
Definendo uno stato esteso:
pn
e
)1k(
)k(
)k(
+
ℜ∈
−
=
u
x
x (1.5.2)
si ha:
[] []
[])k(0C)k(
)k(F)k(0A)1k(BI
e
ee
xy
xx
=
+=+− ν
che può essere riscritto come:
)k(C)k(
)k(F)k(A)1k(J
ee
ee
xy
xx
=
+=+ ν
(1.5.3)
1. I Sistemi Singolari
13
in cui:
[] []
)pn(nx
e
)pn(nx
0AA,BIJ
++
ℜ∈=ℜ∈−=
[]
)pn(qx
e
0CC
+
ℜ∈=
la (1.5.3) rappresenta un sistema singolare. J è una matrice rettangolare a
rango-riga pieno, il che assicura soluzioni al sistema in forma implicita
qualunque sia lo stato iniziale e l’ingresso di controllo. Vi sono, comunque,
infinite soluzioni, come è ragionevole che sia dato che il sistema non è
completamente conosciuto.
1.6 Failure systems
Si supponga che in un dato sistema si possa ad un certo istante verificare un
guasto che ne alteri il funzionamento. Ad esempio, si consideri il sistema
(1.5.1) e si supponga che per il sopraggiungere di un guasto cambi un
elemento della matrice A:
)kk()()k(acon
a..a
..)k(a.
....
a..a
)k(AA
ij
nn1n
ij
n111
−−+=
== δαβα
1. I Sistemi Singolari
14
All’istante k , varia il parametro a
ij
(k), commutando dal valore di lavoro α a
quello di guasto β . )kk( −δ è la funzione a gradino definita come:
≥
<
=−
kkse1
kkse0
)kk(δ
La matrice A può essere riscritta nel seguente modo:
)kk(AA)kk(
0..0
...
....
0..0
a..a
...
....
a..a
A
g0
nn1n
n111
−+=−
−
+
= δδ
αβα
L’equazione di stato diventa così:
)k(B)k()kk()(
0
1
0
)k(A
)k(B)k()kk(A)k(A)1k(
j0
g0
uxx
uxxx
+−−
+=
=+−+=+
δαβ
δ
M
da cui:
)k(B)k(A)k()kk()(
0
1
0
)1k(
0j
uxxx +=−−
−+ δαβ
M
1. I Sistemi Singolari
15
Definendo anche qui uno stato esteso:
−−−−
=
=
+
)1k()k1k()(
)k(
)k(
)k(
)k(
j
1n
e
x
x
x
x
x
δαβ
(1.6.1)
si ottiene
[]
[])k(0C)k(
)k(B)k(0A)1k(
0
1
0
I
e
ee
xy
uxx
=
+=+
−
M
Posto
[] []0CC,0AA,
0
1
0
IJ
ee
==
−=
M
si ha:
)k(C)k(
)k(B)k(A)1k(J
ee
eee
xy
uxx
=
+=+
(1.6.2)
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