La prezzatura delle opzioni asiatiche nei mercati di Lèvy

V Introduzione L’obiettivo di questa tesi è quello di studiare i processi di Lévy e mostrare come questi ultimi si siano rivelati particolarmente adatti e utili per la prezzatura delle opzioni; in particolare, in questo elaborato, prenderemo in esame un determinato tipo di opzione esotica: l’opzione asiatica. Tra tutti i diversi strumenti finanziari derivati, le opzioni sono sicuramente quello più utilizzato dagli investitori e quello maggiormente studiato e analizzato dagli esperti. Un’opzione è un contratto che conferisce un diritto, non un obbligo, di acquistare o vendere una certa attività finanziaria, il titolo sottostante, a un certo prezzo ed entro una data prefissata. Il diritto è rilasciato dal venditore all’acquirente dietro il pagamento contestuale di una somma di denaro, detta premio dell’opzione. Molti studiosi hanno affrontato il problema della determinazione del giusto prezzo che un’opzione deve avere. Tali studi hanno avuto un brusco incremento agli inizi degli anni ’60, quando gli strumenti finanziari hanno cominciato a diffondersi sempre di più nei mercati finanziari mondiali. Per avere una prima soluzione davvero soddisfacente a tale problema occorre però aspettare fino al 1973 quando Black e Scholes, in contemporanea con Merton, sviluppano un modello di valutazione che da loro prende il nome: il modello Black- Scholes. Col passare del tempo, però, l’ipotesi fondamentale alla base di tale modello, ossia che il sottostante segua una diffusione log-normale con una volatilità costante si è rivelata sempre più difficile da sostenere. Infatti, si è iniziato ad osservare divari molto significativi tra prezzi di opzioni su vari indici azionari e prezzi dati dal modello di Black & Scholes: questo perché il modello richiedeva un unico valore della volatilità o meglio sosteneva che tale valore fosse indipendente dal prezzo di esercizio e dalla scadenza dell’opzione. Ciò, però, si è dimostrato essere non veritiero: infa tti, la volatilità presenta un caratteristico andamento a smile (sorriso), dimostrazione, questa, che la stessa sia funzione del prezzo di esercizio e della scadenza. Inoltre, nelle analisi applicative si è riscontrato che le serie storiche dei prezzi dei titoli presentano salti e picchi e che la distribuzione empirica dei rendimenti mostra code grasse (cioè è leptocurtica) e asimmetrie, comportamento, questo, che devia dalla normalità.